黑龍江 張春紅 王家宇 田 宇

數(shù)學模型是針對現(xiàn)實世界的某一特定現(xiàn)象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內在規(guī)律，作出必要的簡化和假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，采用形式化語言，概括或近似地描述出來的一種數(shù)學結構。數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值，是隨機變量最基本的特征之一，是反映隨機變量總體取值平均水平的一個重要數(shù)字特征。基于數(shù)學期望這一數(shù)學工具建立的各種決策模型，在實際中有著廣泛的重要應用，為決策者做出最優(yōu)決策提供重要的理論依據(jù)。

一、數(shù)學期望的基本知識

定義1（離散型隨機變量的數(shù)學期）：設離散型隨機變量的分布律為

P｛X=xK｝=Pkk=1、2、3…

若級數(shù)

定義3（方差和標準差）：若隨機變量X2的數(shù)學期望E(X2)存在，則稱偏差平方(X-E(X))2的數(shù)學期望E[X-E(X)]2為隨機變量(或相應分布)的方差，記為：

二、以數(shù)學期望為基礎建立的各種決策模型

1.最優(yōu)存儲決策

已知一商家在一展銷活動期間供應一種商品，正常進價50元/件，售價56元/件，若銷售勢頭良好，很快銷售一空，需緊急從其他渠道調貨，調貨價格52元/件，若貨物供應量過大，活動結束后造成貨物積壓，每件需在現(xiàn)有價格上降價10元出售。已知該商品的需求量X服從[2000-6000]上的均勻分布，商家應該準備多少貨源才能獲得最佳收益？

因為需求量X服從[2000-6000]上的均勻分布，故需求量X的概率密度函數(shù)為

不妨設存儲量為y，則2000≤y≤6000

儲量為y時利潤為

期望利潤為

取近似值y≈2700（件）

即儲存量大約是2700件時，期望利潤最大且最大期望利潤為

從上述的計算可知由于一旦造成商品積壓，將有損失，所以不是進貨越多利潤越大。

2.商業(yè)營銷決策

作為一種營銷策略，廠家經(jīng)常推出一些有獎銷售活動，以擴大銷售量，現(xiàn)有一兒童食品生產(chǎn)廠家欲采用將印有各種圖案的小卡片作為贈券放入每一包裝袋中，集齊一套有獎作為促銷模式。這里假設每套張且裝有各種不同類型的卡片的袋子出廠時是均勻混合的。為了使該方案可行，廠家事先必須推算出顧客搜集齊這些卡片的難易程度，即平均需買多少袋能集齊，然后才能決定設置的獎項應該多大。

實際上，該問題與下列問題同屬一個模型，即：

有一個盒子裝有標號為1-n的n張不同卡片，每次獨立的從盒子中取一張，看后放回，并記錄取出卡片的標號，問題是平均需抽多少次才能抽齊這張不同的卡片。

引入隨機變量Xk(k=1,2,3,…,i…):表示已經(jīng)取得k-1張不同花色的卡片后為獲得第k張卡片所需的抽檢次數(shù)，若設每次抽取成功率為Pk，則易得Xk服從參數(shù)為Pk的幾何分布，且相互獨立。

下求 E(Xk)(k=1,2,3,…,i…)

只需先求Xk的分布列

設A={收集到第k張卡片}則

故P(Xk=1)=P(A)=Pk

P(Xk=2P(A)=(1-Pk)Pk

即取得第k張型卡片所需的平均抽取次數(shù)為

故取到n張不同卡片的平均次數(shù)

建立了數(shù)學模型后我們可知

當n=10時 E(X)=10In10=23.03≈23

當n=15時 E(X)=15In15=40.62≈41

當n=20時 E(X)=20In20=59.91≈60

當n=30時 E(X)=30In30=102

當n=50時 E(X)=50In50=195.6≈196

當n=100時 E(X)=100In100=460.51≈461

當n=200時 E(X)=200In200=1059.67≈1060

由此可知，期望次數(shù)隨著n的增大而快速增加，即使廠家沒有故意讓某些卡片少一些。但只要n足夠大，要收集到整套的卡片還是相當困難的。比如，廠家若設置水滸108將作為一整套卡片，為集齊該套卡片顧客需平均購買大約

E(X)=108In108=505.67≈500（袋）

食品。依據(jù)該數(shù)學模型的計算結果廠家制定營銷計劃，對后期的營銷成果做到心中有數(shù)。

3.經(jīng)濟方案決策

在商業(yè)活動中偷稅漏稅可非法獲益，造成國家財政損失。國家為了防止稅收流失,通常對偷稅者除補交稅款外還要處以偷稅額n倍的罰款。統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，偷漏稅者被查出的概率為0.2。這時罰款額度n至少多大才能起到懲罰作用，讓我們?yōu)闆Q策者提供決策依據(jù)。

引入隨機變量X，X表示偷稅時商家的收益數(shù)，x為假設偷稅額，則X的數(shù)學期望為

E(X)=0.8x-0.2x-0.2nx

=0.2x(3-n)

要使處罰行之有效，必須使逃稅者無利可圖，即平均收益E(X)＜0

由上式知3-n＜0

故n>3

也就是說一旦查出有偷稅行為，執(zhí)法者至少要對偷稅者處以3倍以上的罰款，才能起到防止偷稅漏稅現(xiàn)象發(fā)生的作用。

4.項目投資決策

現(xiàn)有一企業(yè)擬投資兩個項目，分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品與乙產(chǎn)品，其收益與市場狀態(tài)相關。若把該項目生產(chǎn)的產(chǎn)品未來市場銷售形勢列為好、中、差3個等級，根據(jù)市場調查研究發(fā)現(xiàn)其發(fā)生概率均分別為0.3、0.5、0.2，但相應收益不同。詳見下表：

根據(jù)這些信息該企業(yè)投資哪一個項目好呢？

我們先考慮一下平均收益，即其數(shù)學期望值：

從平均收益上看，生產(chǎn)甲產(chǎn)品比生產(chǎn)乙產(chǎn)品要多贏利15萬元。

我們知道方差、標準差越大，收益的波動就越大，從而風險越大。因此，在已知該項目的數(shù)學期望后還應考察其方差、標準差這些指標才能進行進一步的評估。

從方差標準差來看，生產(chǎn)乙產(chǎn)品減少風險約32%，但收入相應減少15萬。

這類問題是根據(jù)期望利潤最大的原則進行決策，是建立在風險中性的基礎上，也是風險決策的前提。如果有兩個方案都能使期望收益達到最大，那么就應該比較收益的方差（風險），風險較小較優(yōu)。所以，在風險投資決策中，應綜合考慮收益的期望和方差，將超額收益（超過無風險收益的部分）作為承擔風險的補償。選擇最優(yōu)方案才是最合理的，這是我們?yōu)闆Q策者提供的決策理論依據(jù)。

[1]張少華.數(shù)學期望在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的應用[J].安徽農(nóng)業(yè)科學，2011（8）.

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[3]盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2001，12.

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