☉浙江省紹興市建功中學 曹 青

一題激起千層浪 萬流歸宗能力成
——對充分挖掘題目教學功能的案例剖析與反思

☉浙江省紹興市建功中學 曹 青

《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》強調四基四能（四基，即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗；四能，即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力），關注學生的學習興趣與習慣，倡導創(chuàng)新型和應用型人才的培養(yǎng).要實現(xiàn)這些目標，離不開過程與方法教學，沒有充分展開問題教學的時間和空間是不行的，在中考系統(tǒng)復習階段時間緊任務重的情況下更是如此.本文深入分析一例，從中獲得教學啟示.

一、教學案例

出于問題引領系統(tǒng)復習教學的考慮，在充分研究的基礎上，我們設計了一節(jié)以一題多解為特征的幾何復習課，達到了良好效果.

問題：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

首先把問題符號化：已知，如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.求證：BC=AB.

在學生眼里，此定理應用廣泛，早已了然于胸.中考復習時施以“多證”，學生們切入容易，方法眾多，堪稱“一題激起千層浪”.由之理順解題規(guī)律，水到渠成，自然流暢.

（一）截長補短法

顧名思義，“截長法”即在長線段上截下一段，使之等于短線段的方法；“補短法”則是在短線段上補上一段，使之等于長線段的方法.如此，往往能把分散的條件給集中起來，迅速釋放題目內涵.

1.截長法

解法1：如圖1，取AB的中點D，連接CD.結合∠ACB=90°，利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得CD=AD=BD=AB.又∠B=60°，則△BCD是等邊三角形，于是有BC=BD=AB.

異曲同工之法，還有（只提供輔助線，不贅詳解）：

方法變式1-1：在AB上取一點D，使BD=BC，連接CD.

方法變式1-2：作BC的中垂線交AB于點D，連接CD.

方法變式1-3：以點C為圓心、CB長為半徑作圓弧，交AB于點D，連接CD.

方法變式1-4：在AB上取一點D，使∠BCD=60°.

方法變式1-5：作AC的中垂線交AB于點D，連接CD.

方法變式1-6：在AB上取一點D，使∠ACD=30°，連接CD.

2.補短法

方法變式2-2：作AB的中垂線交BC的延長線于點D，連接AD.

點評：遇到線段（角）的和、差、倍、分問題，采用截長（大）補短（?。┑牟呗酝茚尫蓬}、圖信息內涵，打開思路.

（二）線段疊合法

把一條線段疊合到另一條線段上去，讓它們的一端重合，觀察另一端的情況，就可比較兩條線段的長短，同樣也是判斷和證明線段大小關系的常用策略.

解法3：如圖3，作∠B的平分線，交AC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E.容易證明圖中分出的三個小三角形全等，從而使問題獲解.異曲同工之法，還有（只提供輔助線，不贅詳解）：方法變式3-1：作AB的中垂線ED，交AC于點D，連接BD.

方法變式3-2：如圖4，作∠B的平分線，交AC于點D，延長BC到點E，使BE=BA，連接DE.

方法變式3-3：作∠B的平分線，交AC于點D，以D為圓心、DB為半徑作圓弧，交BC的延長線于點E.

點評：關注到兩個銳角內在的數量關系和圖形特征，結合待證目標，容易聯(lián)想到借助角平分線巧妙完成線段疊合.角是以其平分線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，我們常利用這一點把一側的圖形翻折到另一側去，或無中生有——過角平分線上的上點向角的兩邊引垂線——完善圖形成軸對稱圖形，同時一舉多得，打開解證思路.

（三）“同一”證明法

當命題的條件與結論所指的事件是唯一的，且范圍相同，則原命題的逆命題一定成立.這時若證明原命題不易入手，可改證其逆命題，是一種間接證法，我們稱之為“同一法”.

運用“同一法”，一般經歷如下步驟：

（1）作一個具有命題所述屬性的圖形；

（2）證明這個圖形與已知條件符合；

（3）通過推理，說明所作圖形與題設要求的圖形是一致的；

（4）判斷原命題所述圖形具有某種屬性.

解法4：如圖5，延長CB到D，使BD=BC，以BD為一邊作等邊△BDE，連接CE，則DE=CD.又容易證明△CED≌△ACB，則有BC=AB.

點評：從本質上說，這個辦法與前述“截長”各法是相通的，但從思路上卻各有千秋.本法突出在先構造符合目標條件的圖形，再證明它與原圖形全等；而“截長法”則指向探究對象的變更，如解法1中，由判斷BC=AB轉為判斷BC=BD.

（四）相似推理法

全等是特殊（相似比為1∶1）的相似，相似是全等的深化.判定圖形全等離開等線段是不行的，而判定相似則不然.因此，運用相似這個解證工具往往更加方便.

解法5：如圖6，作∠ABC的平分線，交AC于點D.

點評：利用相似，一個典型的幾何問題最終被化歸為解一個代數方程.雖然在方程解法上，需要分組分解因式的方法，技巧性比較強，卻不需要特殊的構圖技巧，對幾何思考的能力放低了一些.

二、教學啟示

一題多解有利于加深對概念、命題的認識和理解，溝通數學各分支內容間的聯(lián)系，以點帶面地復習章節(jié)知識，找到最優(yōu)解證思路，可以激發(fā)學習興趣，促進探究學風的形成，是常用且有效的教學策略.

那么，上述案例達到這些目的了嗎？能給我們一些什么教學啟示呢？

（一）推陳出新，充分挖掘經典題目的教學功能

經典或說好的數學問題不一定是繁難問題，它應該是知識的交匯平臺，有眾多的思維切入點，能承載更多的思想方法成分.本例系教材定理，學生們熟能成誦，但上述處理卻似枯樹生新芽，各種方法均給人以新鮮之感，教學上主要體現(xiàn)為以下三點：

1.舍簡求繁，只為領悟方法

教材是在學習完等邊三角形以后，借助其對稱性，觀察局部與整體（命題對應三角形是等邊三角形的一半）關系的基礎上，以推論的形式自然引入該定理的，堪謂水到渠成.如果單從理解和證明命題考慮的話，顯然毫無再度研究的必要.此處舍簡求繁，在中考系統(tǒng)復習階段又深入解讀，目的只為在過程中感悟思想，提煉方法，積累數學活動經驗.

2.顛覆經典，體味數學魅力

數學是思維的藝術.上述問題的解決一改傳統(tǒng)思路，另辟蹊徑，顛覆經典解法，展示了數學“道無止境，思有路徑”的無窮魅力.當然，上述各思路并非全部生成于課堂，也并非完全生成于學生，其中有教師充分的研究、預設、點撥與啟發(fā)，有學生開放的探索、合作、嘗試與頓悟，更有師生間相互的“靈犀一動”！

3.承載思想，升華思維品質

經典問題必然能承載更多的思想方法，能建立并強化學生的數學意識，升華學生的數學觀念，讓學生“數學地思考”的能力不斷提高.實際上，在本教學結束時，我們布置了一份作業(yè)，即證明上述命題的逆命題.二者的結合，不僅實現(xiàn)了方法的類比和遷移，更對截長補短法、線段疊合法、同一證明法、相似推理法做了再次極佳的詮釋.不知不覺中，思維品質得到了升華.

（二）以點帶面，充分感悟零散知識的內在聯(lián)系

數學是一個有機的整體，各部分內容之間有著千絲萬縷的聯(lián)系.如何發(fā)現(xiàn)和感受這些聯(lián)系，梳理知識網絡，構建知識系統(tǒng)，以便在應用時“牽一發(fā)而動全身”，順利提取和應用知識，釋放題目內涵，是數學教學的追求.可從以下兩點考慮：

1.經緯分明，手提金線串珍珠

學習數學的過程猶如編織一張漁網的過程.網面越大，則一網下去，即可覆蓋更大的范圍，獲取更多的捕魚機會；網眼越細，則大小魚兒皆入網中；經緯線越粗，則網越發(fā)牢固.將之遷移到數學學習中，一張經緯分明、系統(tǒng)清晰的知識大網自然有助于信息的提取和應用.反映到教學設計中，教師首先要找到合適的數學問題，提煉引導學生學習的思維（或問題）線索，并以之串聯(lián)起散落滿地的數學珍珠——章節(jié)知識或數學不同領域的知識.

2.源流清晰，理順脈絡成網絡

數學知識之間不僅存在以并列為特征的經緯分明的橫向聯(lián)系，更存在著先與后、主與次、源與流這些縱向的辯證聯(lián)系.可以想象，要提起一大串葡萄，比較理想的辦法是抓住果蒂.理順出數學知識間的源流關系，則數學就可以成為一種結構，如因果、相關、相似、對比、相近等可實現(xiàn)相互推理的結構，以減少記憶量，更加容易聯(lián)想.如解法1中，是線段的倍與分讓我們聯(lián)想到了截長補短；解法2中，把分散的兩條線段集中到一條線上，容易發(fā)現(xiàn)圖形的內在聯(lián)系；解法3中，則先構造“理想目標”，再將之嫁接到原圖形上；解法4中，則是發(fā)現(xiàn)并開發(fā)了兩個銳角的內在數量關系，從而聯(lián)想到構造角平分線，找到一對相似三角形.多種方法的實踐與感悟，讓學生們深入領會了作圖、全等、相似、勾股定理、等腰三角形性質等諸多數學知識.一方面是從源到流的發(fā)散與分類，另一方面是從流到源的收斂與概括，二者的結合讓數學在縱向發(fā)展上脈絡清楚.

如上般組織教學，對教師的專業(yè)素養(yǎng)和研究能力是個挑戰(zhàn)，而且教學可能顯得費時費力，但其價值卻是毋庸置疑的，實現(xiàn)了笨中取巧.望各位同仁再行深究，推廣應用，服務教學，再入佳境.

1.王義堂.新課程理念與教學策略［M］.北京：中國言實出版社，2003.

2.陳明華.數學教學實施指南·初中卷［M］.武漢：華中師范大學出版社，2003.

3.苑建廣.信息轉化——問題解決的核心策略［J］.中國數學教育（初中版），2012（3）.

4.苑建廣.激趣引思 移情啟智——例談教學內容的組織和引入［J］.中學數學（下），2012（9）.FH