☉江蘇省連云港外國語學(xué)校 胡曉偉

貼近課堂主線，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)
——“勾股定理（第1課時(shí)）”學(xué)程設(shè)計(jì)與反思

☉江蘇省連云港外國語學(xué)校 胡曉偉

勾股定理是數(shù)形結(jié)合的典范，完美地將三角形有一個(gè)直角的“形”的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為三邊之間的“數(shù)”的關(guān)系；是直角三角形特有的性質(zhì)；是初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)之一.

一、“勾股定理（第1課時(shí)）”學(xué)程設(shè)計(jì)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)技能：了解勾股定理的文化背景，體驗(yàn)勾股定理的探索過程.

（2）數(shù)學(xué)思考：在勾股定理的探索過程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

（3）解決問題：通過拼圖活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維；獲得勾股定理后能解決簡單的“已知直角三角形兩邊求第三邊”問題.

（4）情感態(tài)度：通過對(duì)勾股定理的了解，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情；在探究活動(dòng)中，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)與探索精神.

2.教學(xué)重點(diǎn)

探索和證明勾股定理.

3.教學(xué)難點(diǎn)

用拼圖的方法探索勾股定理的證明.

4.學(xué)程設(shè)計(jì)

（1）故事引入，引發(fā)思考.

相傳兩千多年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客.在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來.原來，朋友家的地是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的（如圖1），黑白相間，非常美觀大方.主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回家去了.原來，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系.

圖1

你知道他發(fā)現(xiàn)的三個(gè)正方形之間存在著怎樣的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)說明：教師給出一個(gè)歷史小故事，設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生思考，點(diǎn)燃學(xué)生的求知欲，以景激情，以情激思，為本節(jié)課的課堂教學(xué)和評(píng)價(jià)做好充分鋪墊.

（2）自主探索，合作交流.

探究活動(dòng)一：數(shù)一數(shù).

在圖2~4所示的正方形網(wǎng)格中，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)圖中正方形A、B、C各占多少個(gè)小格子，完成表格，探究規(guī)律.

正方形A的面積（單位面積）正方形B的面積（單位面積）正方形C的面積（單位面積）觀察、探究圖2觀察、探究圖3觀察、探究圖4正方形A、B、C 的 面積的關(guān)系直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系得出結(jié)論：等腰直角三角形的三邊滿足a2＋b2=c2的數(shù)量關(guān)系.

設(shè)計(jì)說明：語言激勵(lì)評(píng)價(jià)-師生評(píng)價(jià).通過小組內(nèi)的合作交流，搭建本節(jié)課小組競爭的平臺(tái).小組之間的比賽開始了！鼓勵(lì)學(xué)生合作、競爭，積極參與到課堂評(píng)價(jià)的活動(dòng)中.鼓勵(lì)學(xué)生重點(diǎn)講出正方形C的面積的求解方法，挖掘小組學(xué)習(xí)過程中涌現(xiàn)的“導(dǎo)學(xué)小老師”.

探究活動(dòng)二：議一議.

在圖5～6所示的正方形網(wǎng)格中，你還能數(shù)出圖中正方形A、B、C各占多少個(gè)小格子嗎？完成表格，探究規(guī)律.

正方形A的面積（單位面積）正方形B的面積（單位面積）正方形C的面積（單位面積）得出結(jié)論：等腰直角三角形的三邊滿足a2＋b2=c2的數(shù)量關(guān)系.觀察、探究圖5觀察、探究圖6正方形A、B、C 的 面積的關(guān)系直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系

設(shè)計(jì)說明：小組內(nèi)評(píng)價(jià)、分層評(píng)價(jià)、獎(jiǎng)勵(lì)評(píng)價(jià)－師生評(píng)價(jià)、生生評(píng)價(jià).鼓勵(lì)學(xué)生重點(diǎn)講出正方形C的面積的求解方法，鼓勵(lì)學(xué)生的多種思路和多種解法，自然地強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，滲透割補(bǔ)思想，重點(diǎn)培養(yǎng)“導(dǎo)學(xué)小老師”.

（3）歸納結(jié)論，探究證明.

探究證明：拼圖游戲——我們一起來驗(yàn)證！

已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.求證：a2+b2=c2.

預(yù)設(shè)：（老師發(fā)給每個(gè)同學(xué)提前準(zhǔn)備好的兩組三角形學(xué)具）你能分別用這兩組圖片（如圖7），拼出兩個(gè)既無縫隙又不重疊的正方形嗎？

圖7

學(xué)生活動(dòng)（有趣地拼圖）.

設(shè)計(jì)說明：通過使用直角三角形模具完成拼圖過程，讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用圖形“割補(bǔ)拼接”面積不變的特點(diǎn)來驗(yàn)證直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的猜想，培養(yǎng)學(xué)生由數(shù)到形再由形到數(shù)的數(shù)學(xué)思想以及轉(zhuǎn)化的能力.在實(shí)驗(yàn)拼圖探究的過程中發(fā)展學(xué)生的空間想象力和合情推理能力.

老師讓學(xué)生把作品展示在黑板上，并讓最快的小組來談?wù)劗?dāng)時(shí)是如何考慮拼接的，然后引導(dǎo)學(xué)生通過拼好的圖形來發(fā)現(xiàn)勾股定理.

學(xué)生活動(dòng)(展示作品，談拼接理由，并在老師的引導(dǎo)下，自主探索、合作交流、師生互動(dòng)獲得勾股定理證明的推導(dǎo)過程).

證法1：將四個(gè)全等的直角三角形圍成如圖8所示的正方形.

圖8

證法2：將四個(gè)全等的直角三角形圍成如圖9所示的正方形.

圖9

歸納總結(jié)：上面得到直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示這種關(guān)系.

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

符號(hào)語言：如圖10，在Rt△ABC中，∠C=90°，有a2+b2=c2.

圖10

我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家之一，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載：公元前1100年人們已經(jīng)知道“勾廣三，股修四，徑隅五”，把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦，將此定理命名為勾股定理.

設(shè)計(jì)說明：通過歸納，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言和符號(hào)語言的表達(dá)能力，感受勾股定理的作用.

（4）實(shí)踐應(yīng)用一：應(yīng)用定理.

①在△ABC中，∠C=90°.若a=6，b=8，則c=______.

②在△ABC中，∠C=90°.若c=13，b=12，則a=_____.

③若直角三角形中，有兩邊長是3和4，則第三邊長的平方為（ ）.

A.25 B.14 C.7 D.7或25

設(shè)計(jì)說明：小組內(nèi)評(píng)價(jià)、分層評(píng)價(jià)、獎(jiǎng)勵(lì)評(píng)價(jià)－師生評(píng)價(jià)、生生評(píng)價(jià).語言激勵(lì)評(píng)價(jià)－師生評(píng)價(jià).開展小組競技.

（5）實(shí)踐應(yīng)用二：探索情境.

①如圖11，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)中于離地面9米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處.大樹在折斷之前高多少？

圖11

②如圖12，有一個(gè)長方形盒子，長、寬、高分別為4厘米、3厘米、12厘米，一根長為13厘米的木棒能否放入？為什么？

設(shè)計(jì)說明：分層評(píng)價(jià)、師生評(píng)價(jià)、生生評(píng)價(jià).

（6）回顧反思，提煉精華.

①你這節(jié)課的主要收獲是什么？

②該定理揭示了哪一類三角形中的什么元素之間的關(guān)系？

③在探索和驗(yàn)證定理的過程中，我們運(yùn)用了哪些方法？

④你最有興趣的是什么？你有沒有感到困難的地方？設(shè)計(jì)說明：引導(dǎo)學(xué)生反思，完整認(rèn)知，讓知識(shí)建構(gòu)完整化.

（7）布置作業(yè)，課后延伸.（略）

圖12

二、三點(diǎn)反思

1.定位于“學(xué)程設(shè)計(jì)”

學(xué)程設(shè)計(jì)不同于教學(xué)設(shè)計(jì)，不僅是教案，指向?qū)W生，包括三個(gè)方面：一是學(xué)習(xí)內(nèi)容（學(xué)什么），二是學(xué)習(xí)過程（怎么學(xué)），三是學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)（學(xué)到什么程度），就是以過程為核心，以內(nèi)容為載體，以目標(biāo)為導(dǎo)向.學(xué)程預(yù)設(shè)時(shí)就是把學(xué)生獲取知識(shí)和能力的過程預(yù)設(shè)出來，教師要站在學(xué)生的角度研究琢磨學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的路徑（學(xué)路）、方法和規(guī)律.可以發(fā)現(xiàn)，本課時(shí)在情境引入、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)、定理證明、簡單應(yīng)用、反思提升等環(huán)節(jié)，都精心預(yù)設(shè)了學(xué)情，讓師生在學(xué)習(xí)時(shí)有一個(gè)很好的抓手，圍繞“核心主線”［1］有序展開，漸入佳境.

2.基于“再創(chuàng)造”發(fā)現(xiàn)式的理念

本課時(shí)以弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”［2］發(fā)現(xiàn)式理念為指導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)歷合情推理、歸納推理、演繹推理，“發(fā)現(xiàn)”勾股定理，并進(jìn)行十分簡單的應(yīng)用（稍難的應(yīng)用將在后續(xù)課時(shí)完成），重在激發(fā)興趣，讓學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等“四基”特色.特別地，由于勾股定理的證法十分多，課堂上的時(shí)間有限，因此課堂上教者的駕馭將發(fā)揮極大的作用，因?yàn)楦ナ铣珜?dǎo)的“再創(chuàng)造”、“發(fā)現(xiàn)式”教學(xué)并不是“原生態(tài)”的“復(fù)古”數(shù)學(xué)家們當(dāng)初的努力，而是在教師的引導(dǎo)下、參與下、幫助下完成的.

3.融入HPM的一次努力

由于勾股定理的史料十分豐富，本課是踐行HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注的研究領(lǐng)域，具體可參見文3）最佳教學(xué)內(nèi)容.從上面的學(xué)程設(shè)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)，情境引入、定理發(fā)現(xiàn)與證明等環(huán)節(jié)都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史內(nèi)容.事實(shí)上，很多同行在教學(xué)勾股定理時(shí)，都會(huì)追求數(shù)學(xué)史融入的教學(xué)設(shè)計(jì)，這也說明教師們都十分重視數(shù)學(xué)史在勾股定理教學(xué)中的體現(xiàn).需要指出的是，實(shí)際授課時(shí)，我們提倡的是數(shù)學(xué)史與所授知識(shí)的融入式“無縫對(duì)接”，而不能僅僅滿足于那種無厘頭的嵌入式講解數(shù)學(xué)史.

1.李善良.理清核心主線，優(yōu)化教學(xué)過程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（10）.

2.漢斯·弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

3.汪曉勤.HPM研究的內(nèi)容與方法［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（1）.