狄 沖，汪 朗，鮑曉華，朱慶龍

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.大型潛水電泵裝備技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 231131）

大型潛水電機(jī)通常作為水泵的動(dòng)力來(lái)源，在國(guó)家防治水安全領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。由于大型潛水電機(jī)一般在特殊工況下工作，并且與人民財(cái)產(chǎn)安全息息相關(guān)，因此其工作的可靠性問(wèn)題值得人們重視。作為大型潛水電機(jī)，偏心將嚴(yán)重影響其工作的可靠性，因此，分析轉(zhuǎn)子偏心情況下大型潛水電機(jī)的各項(xiàng)性能指標(biāo)就變得尤為重要。

引起轉(zhuǎn)子偏心主要有2個(gè)因素：制造加工中的公差和電機(jī)軸承的磨損。目前，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者在對(duì)轉(zhuǎn)子偏心的研究之中已取得了一系列的研究成果。Kim U和Lieu D K先后建立了永磁電機(jī)不考慮開(kāi)槽效應(yīng)與考慮開(kāi)槽效應(yīng)的偏心模型［1-2］，并且分析了轉(zhuǎn)子偏心情況下氣隙磁場(chǎng)的畸變特性。Dorrell D G則提出了一種新型的模型，用來(lái)計(jì)算由轉(zhuǎn)子偏心引起的軸向不平衡磁拉力，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型的正確性［3］。Belahcen A研究了轉(zhuǎn)子偏心對(duì)電機(jī)損耗的影響，并且指出在相同偏心度的情況下，靜偏心引起的損耗要比動(dòng)偏心引起的損耗大［4］；朱海峰等人則采用解析法與有限元相結(jié)合的方法計(jì)算了在轉(zhuǎn)子靜偏心情況下的徑向電磁力的分布狀況［5］；仇志堅(jiān)等人則針對(duì)標(biāo)貼式永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子偏心問(wèn)題，建立了基于邊界攝動(dòng)法的偏心解析模型，采用解析法計(jì)算出了偏心情況下的磁通密度，并使用有限元分析結(jié)果驗(yàn)證其模型的有效性［6］。然而，更多的學(xué)者將研究重點(diǎn)集中在偏心故障的檢測(cè)之中。Cameron J R通過(guò)傳統(tǒng)的磁勢(shì)磁導(dǎo)解析法計(jì)算出了轉(zhuǎn)子偏心引起的氣隙磁密諧波，并證明這些磁密諧波將在定子繞組中感應(yīng)出一定特征頻率的電流信號(hào)［7］。此外，還有一些文獻(xiàn)研究了靜偏心（SE）、動(dòng)偏心（DE）以及混合偏心（ME）情況下其電流檢測(cè)特征值，以及偏心對(duì)電機(jī)的影響，并通過(guò)一系列實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證檢測(cè)技術(shù)的有效性［8-12］。

筆者建立轉(zhuǎn)子氣隙偏心模型，并且考慮到開(kāi)槽影響，為了準(zhǔn)確計(jì)算偏心特征量的幅值，引入動(dòng)態(tài)卡式系數(shù)理論，忽略飽和影響、假設(shè)線性磁路，應(yīng)用解析計(jì)算的方法得到偏心特征量的幅值解析式，并通過(guò)有限元仿真，驗(yàn)證理論的可靠性。

1 理論分析

1.1 轉(zhuǎn)子氣隙偏心建模

轉(zhuǎn)子發(fā)生偏心時(shí)，不管是靜偏心、動(dòng)偏心還是混合偏心，其氣隙長(zhǎng)度將發(fā)生變化。然而，由于電機(jī)定、轉(zhuǎn)子兩側(cè)都開(kāi)槽，其氣隙將在原有氣隙的基礎(chǔ)上疊加由開(kāi)槽引起的“附加氣隙”。如圖1所示，建立混合偏心情況下氣隙長(zhǎng)度、定轉(zhuǎn)子幾何中心及旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)系。

圖1 偏心情況下定轉(zhuǎn)子及旋轉(zhuǎn)中心示意Figure 1 Position diagram of rotational center，rotor and stator geometric center under eccentricity

圖1中，Os為定子幾何中心；Or為轉(zhuǎn)子幾何中心；Oω為轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)中心；g為電機(jī)正常運(yùn)行時(shí)的氣隙長(zhǎng)度；δs，δd和δm分別為靜偏心度、動(dòng)偏心度以及混合偏心度。ωr為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角速度，其表達(dá)式為

式中 ω1為電源角頻率；p為電機(jī)極對(duì)數(shù)；s為轉(zhuǎn)差率。

由幾何關(guān)系可以得到圖1中的混合偏心度以及轉(zhuǎn)子幾何中心相對(duì)于定子幾何中心的角位置：

圖1中，假設(shè)P點(diǎn)為電機(jī)定子內(nèi)表面上任意一點(diǎn)，Rs，Rr分別為定子幾何中心和轉(zhuǎn)子幾何中心到P點(diǎn)的距離。由幾何關(guān)系可以得到氣隙長(zhǎng)度表達(dá)式：

電機(jī)轉(zhuǎn)子發(fā)生靜偏心時(shí)候，其幾何中心與定子中心發(fā)生偏移，但其旋轉(zhuǎn)中心仍然與定子幾何中心相重合。電機(jī)轉(zhuǎn)子發(fā)生動(dòng)偏心時(shí)候，其幾何中心與定子中心發(fā)生偏移，但其旋轉(zhuǎn)中心變?yōu)檗D(zhuǎn)子自身中心。然而，電機(jī)發(fā)生混合偏心時(shí)候，其轉(zhuǎn)子幾何中心與定子幾何中心發(fā)生偏移，并且產(chǎn)生一個(gè)既不是定子幾何中心，又不是轉(zhuǎn)子幾何中心的新的旋轉(zhuǎn)中心。因此，電機(jī)在純靜態(tài)偏心和純動(dòng)態(tài)偏心時(shí)候其氣隙長(zhǎng)度表達(dá)式分別為

式（5）為靜偏心下氣隙長(zhǎng)度分布函數(shù)，而式（6）為動(dòng)偏心下氣隙長(zhǎng)度分布函數(shù)。從式（5）、（6）中可以看出，轉(zhuǎn)子靜態(tài)偏心時(shí)候，其氣隙長(zhǎng)度將偏向某一位置，然后按圓周方向呈余弦分布。然而，轉(zhuǎn)子發(fā)生動(dòng)態(tài)偏心時(shí)候，氣隙長(zhǎng)度將是一個(gè)隨著時(shí)間和空間同時(shí)變化的二維時(shí)空函數(shù)。在解析法計(jì)算氣隙磁密時(shí)，筆者應(yīng)用傳統(tǒng)的磁勢(shì)乘以磁導(dǎo)的方法求取電機(jī)氣隙磁密表達(dá)式。氣隙磁導(dǎo)可以表示為

將式（5）、（6）分別代入式（7）中，得到靜偏心和動(dòng)偏心情況下的氣隙磁導(dǎo)表達(dá)式：

將式（8）、（9）展成傅里葉級(jí)數(shù)形式［13］，得到

為尋求在靜偏心以及動(dòng)偏心情況下氣隙長(zhǎng)度的分布規(guī)律，由式（5）、（6）可以作出在不同靜偏心下氣隙長(zhǎng)度隨定子位置的分布曲線，以及在動(dòng)偏心下氣隙長(zhǎng)度的時(shí)空分布圖，如圖2所示，可以看出，轉(zhuǎn)子靜偏心情況下，轉(zhuǎn)子向某一位置發(fā)展偏移，氣隙長(zhǎng)度按定子圓周角位置展開(kāi)后保持不變，不隨時(shí)間變化，因此，靜偏心時(shí)候，氣隙長(zhǎng)度變化是有傾向性的。而轉(zhuǎn)子發(fā)生動(dòng)偏心時(shí)，其氣隙長(zhǎng)度將隨著時(shí)間和空間的變化而變化，各位置經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，其總的平均氣隙長(zhǎng)度均等，因此，動(dòng)偏心時(shí)氣隙長(zhǎng)度變化不具有傾向性。

圖2 偏心情況下氣隙長(zhǎng)度分布情況Figure 2 Distribution condition of air-gap length under eccentricity

1.2 偏心情況下的動(dòng)態(tài)卡式系數(shù)

以上分析在轉(zhuǎn)子偏心情況下的氣隙長(zhǎng)度以及氣隙磁導(dǎo)的變化函數(shù)是假設(shè)定轉(zhuǎn)子表面都光滑的情況下而得到的。而實(shí)際電機(jī)中，一般情況下，定、轉(zhuǎn)子兩側(cè)都將開(kāi)槽。現(xiàn)先考慮電機(jī)不偏心情況下定、轉(zhuǎn)子開(kāi)槽對(duì)氣隙磁密的變化情況。如圖3中所示，假設(shè)不開(kāi)槽時(shí)，電機(jī)氣隙中的磁密幅值為Bmax，開(kāi)槽后使得氣隙中產(chǎn)生一個(gè)附加氣隙，故磁密幅值將降低，變?yōu)锽min，同時(shí)，沿著一個(gè)槽距td內(nèi)的平均氣隙磁密降為Bav。對(duì)于這種現(xiàn)象，文獻(xiàn)［14］引入了卡式系數(shù)kc，用來(lái)描述因開(kāi)槽引起的氣隙磁密的變化。假設(shè)定子開(kāi)槽，轉(zhuǎn)子光滑時(shí)，由定子開(kāi)槽引起的卡式系數(shù)為

從圖3中看出，齒邊緣處的邊緣效應(yīng)非常顯著，其邊緣效應(yīng)作用延續(xù)到了槽中心，因此，可知卡式系數(shù)與槽深無(wú)關(guān)?？ㄌ亟?jīng)過(guò)保角變換導(dǎo)出了卡式系數(shù)的表達(dá)式［15］：

對(duì)于定子光滑、轉(zhuǎn)子開(kāi)槽的情況應(yīng)將式（13）、（14）中的參數(shù)換成相應(yīng)轉(zhuǎn)子側(cè)的參數(shù)。因此，考慮定、轉(zhuǎn)子兩邊同時(shí)開(kāi)槽的卡式系數(shù)可以表示為

圖3 一個(gè)槽下的氣隙磁密分布示意Figure 3 Distribution diagram of flux density under a slot

該文中涉及的干式潛水電機(jī)由于其定子為開(kāi)口槽，轉(zhuǎn)子為閉口槽，按式（13）、（14）計(jì)算時(shí)，閉口槽卡式系數(shù)等于0，因此，總的卡式系數(shù)就等于有定子開(kāi)槽引起的卡式系數(shù)kcs。在偏心情況下，電機(jī)氣隙長(zhǎng)度發(fā)生變化，而卡式系數(shù)表達(dá)式與氣隙長(zhǎng)度有關(guān)，故筆者提出“動(dòng)態(tài)卡式系數(shù)理論”，用以描述在偏心情況下各個(gè)槽口的卡式系數(shù)分布情況。靜偏心時(shí)，取槽中心線處對(duì)應(yīng)的偏心氣隙長(zhǎng)度作為計(jì)算動(dòng)態(tài)卡式系數(shù)的氣隙長(zhǎng)度，則

式中 k1為槽號(hào)；Z1為定子槽數(shù)。比較式（5）與式（16）可以看出，由于靜偏心時(shí)轉(zhuǎn)子偏向某一位置，因此，槽中心線處的氣隙長(zhǎng)度與靜偏心下氣隙長(zhǎng)度具有相同的分布狀況，如圖4所示，可作出靜偏心情況下不同槽口的卡式系數(shù)分布圖。

圖4 靜偏心情況下不同槽口卡式系數(shù)分布示意Figure 4 Distribution diagram of cater factor at different slots under static eccentrictiy

同理，在動(dòng)態(tài)偏心時(shí)，槽中心線處對(duì)應(yīng)的偏心氣隙長(zhǎng)度作為計(jì)算動(dòng)態(tài)卡式系數(shù)的氣隙長(zhǎng)度則有

根據(jù)式（17），同樣能夠作出動(dòng)偏心情況下的不同槽口時(shí)空分布的卡式系數(shù)圖，如圖5所示，可知卡式系數(shù)與氣隙長(zhǎng)度具有相同的分布規(guī)律。因此，為考慮開(kāi)槽對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響，對(duì)于式（10）、（11），都需要除以一個(gè)動(dòng)態(tài)卡式系數(shù)。

圖5 動(dòng)偏心情況下不同槽口卡式系數(shù)分布示意Figure 5 Distribution diagram of cater factor at different slots and time under dynamic eccentrictiy

2 偏心磁場(chǎng)特征量的分析與計(jì)算

感應(yīng)電機(jī)三相對(duì)稱繞組通以三相對(duì)稱電流時(shí)，其氣隙合成磁場(chǎng)可以表示［16］為

式中 Fp，F(xiàn)v和Fμ分別表示主波磁勢(shì)幅值，定子繞組諧波磁勢(shì)以及轉(zhuǎn)子繞組諧波磁勢(shì)；φ0，φv和φμ分別為各部分初相角；v和μ分別代表定、轉(zhuǎn)子繞組諧波極對(duì)數(shù)，其中齒諧波引起的諧波幅值較大，可以表示為

式中 k1，k2都為非零整數(shù)。轉(zhuǎn)子μ次諧波相對(duì)于定子的角頻率為

應(yīng)用傳統(tǒng)的磁勢(shì)磁導(dǎo)法，可以得到感應(yīng)電機(jī)氣隙磁密的函數(shù)式，將式（10）中k取1，與式（18）相乘，可得到一系列諧波磁場(chǎng)，其中由靜偏心引入的諧波磁密為

觀察式（22）～（24），不難發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子靜偏心新引入的磁密諧波其頻率不變，而階次發(fā)生變化，因此，在分析有轉(zhuǎn)子靜偏心引入的諧波磁密時(shí)，需要通過(guò)對(duì)氣隙磁密按定子角位置作傅里葉分解，從而得到各次諧波磁密的幅值。正常情況下氣隙磁密幅值的分布狀況如圖6所示。

圖6為電機(jī)正常運(yùn)行時(shí)按定子周向傅里葉分解得到的各次諧波磁密幅值，其中，1次基波和29，31次定子繞組引起的齒諧波具有較大的幅值。分析所用樣機(jī)為4極電機(jī)，定義基波即1次波為p對(duì)極波，因此，1，29，31次諧波分別對(duì)應(yīng)2，58，62對(duì)極諧波。由理論分析可以知道，靜偏心引入的諧波為1，3，57，59，61和63對(duì)極的諧波，故應(yīng)著重關(guān)注。筆者將采用有限元以及解析的方法計(jì)算引入的諧波磁密幅值，在應(yīng)用解析法計(jì)算時(shí)，假設(shè)：忽略飽和對(duì)磁路的影響；磁路為線性。

通過(guò)假設(shè)，根據(jù)式（22）、（23）可計(jì)算出靜偏心引入的磁密幅值，并且對(duì)于其中的卡式系數(shù)，可以求取所有槽對(duì)應(yīng)卡式系數(shù)的平均值，如表1所示。

圖6 正常運(yùn)行時(shí)各次諧波磁密幅值Figure 6 Air-gap flux density harmonics of a health motor

表1 靜偏心下平均卡式系數(shù)Table 1 Average cater factor under different static eccentricity

在計(jì)算由靜偏心引入的諧波磁密時(shí)，為方便取57和61對(duì)極磁密分別進(jìn)行有限元計(jì)算與解析計(jì)算。如圖7所示，可以看出，解析計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果基本一致。在偏心度為0時(shí)，有限元計(jì)算仍有結(jié)果是因?yàn)樵谟邢拊?jì)算中考慮了飽和效應(yīng)，而解析計(jì)算是不考慮飽和效應(yīng)的，因此，兩者在偏心度為0時(shí)有較大差異。

按照同樣的方法可以求取動(dòng)偏心引入的磁密特征量：

圖7 靜偏心氣隙磁密主要諧波計(jì)算值Figure 7 Calculation results of air-gap flux density harmonics under static eccentricity

表2 動(dòng)偏心下平均卡式系數(shù)Table 2 Average cater factor under different dynamic eccentricity

從式（25）～（27）可以看出，當(dāng)轉(zhuǎn)子發(fā)生靜偏心時(shí)，將引入新的特征頻率的諧波磁密，其特征頻率為ω1±ωr和ωμ±ωr。在動(dòng)偏心狀態(tài)下，實(shí)際上各槽的卡式系數(shù)隨時(shí)間變化結(jié)果一致，因此，可取某一槽的卡式系數(shù)隨時(shí)間變化的結(jié)果求平均值，從而求得動(dòng)偏心下的平均卡式系數(shù)，如表2所示。動(dòng)偏心引入的諧波磁密如圖8所示，25.5和74.5 Hz分別為式（25）、（26）所反映的磁密諧波，這2個(gè)諧波是由不同階次的磁密諧波相互疊加而成，因此，采用一維傅里葉分解難以區(qū)別，一般采用二維傅里葉分解來(lái)計(jì)算。為了簡(jiǎn)化計(jì)算僅分析由式（27）引入的1 227.5Hz諧波。提取圖8中的特征頻率并計(jì)算其不同偏心度下的幅值，如圖9所示，可以看出，動(dòng)偏心引入的諧波磁密幅值非常小，遠(yuǎn)小于靜偏心引入的諧波磁密幅值。因此，可以在靜偏心定量計(jì)算時(shí)重點(diǎn)研究偏心特征量的定量計(jì)算。

圖8 動(dòng)偏心磁密特征量Figure 8 Characteristic parameters of flux density under dynamic eccentricity

圖9 動(dòng)偏心氣隙磁密主要諧波計(jì)算值Figure 9 Calculation results of air-gap flux density harmonics under dynamic eccentricity

3 結(jié)語(yǔ)

筆者建立了精確的復(fù)雜氣隙偏心模型，為研究開(kāi)槽對(duì)氣隙磁密的影響，引入了動(dòng)態(tài)卡式系數(shù)理論，采用解析法與有限元相結(jié)合的方法，分析了動(dòng)偏心與靜偏心引入的偏心特征磁密，并結(jié)合動(dòng)態(tài)卡式系數(shù)理論定量計(jì)算了特征磁密幅值。分析表明，靜偏心情況下由于氣隙長(zhǎng)度不旋轉(zhuǎn)，具有傾向性，其引入的磁密諧波幅值較大，便于作為檢測(cè)信號(hào)用來(lái)檢測(cè)。而動(dòng)偏心情況下，由于氣隙長(zhǎng)度始終旋轉(zhuǎn)，因此對(duì)各個(gè)位置影響是均勻的，其引入的諧波磁密幅值較小，不便于定量檢測(cè)。該文為今后偏心的定量檢測(cè)奠定了一定的基礎(chǔ)。

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