唐古生

(湖南科技大學數(shù)學系，湖南湘潭411201)

由于實變函數(shù)的高度抽象和概括，使得這門課程在學生心目中有一種先入為主的恐懼心理，因而在第一堂課上不能急于進行正式內容的教學活動，而應著重介紹實變函數(shù)論課程的內容框架、發(fā)展歷史、以及要達到的目的，闡述該課程的基本特點。實變函數(shù)論是在集合論與Rieman積分的基礎上產(chǎn)生和發(fā)展起來的，許多性質、概念、定義與數(shù)學分析有著相似之處，但在很多方面有著質的飛躍。對于實變函數(shù)的學習，第一堂課中回顧數(shù)學分析中Rieman積分的缺陷，找出Rieman積分的缺陷的根源，從而分析對癥下藥的方法，指出拓展Rieman積分所需的理論準備，展望Lebesgue積分的優(yōu)越性會激發(fā)學生對實變函數(shù)的學習興趣。

1 分析數(shù)學分析中Rieman積分的缺陷

實變函數(shù)的核心是推廣Rieman積分建立Lebsgue積分，因而作為教師應清楚數(shù)學分析中Riemann積分的概念，應善于從概念中分析引導起缺陷。

設f(x)定義于區(qū)間［a，b］上的有界實值函數(shù)。在區(qū)間［a，b］上作分劃

對每個i，令

從而f(x)在［a，b］上Rieman可積的充要條件是:

這樣為保證 f(x)在［a，b］上可積，f(x)在［a，b］上的不連續(xù)點不能太多。正因Riemann積分對被積函數(shù)的連續(xù)性要求太強，這個定義及由此產(chǎn)生的有關積分理論存在一系列缺陷:

(1)黎曼意義下可積的函數(shù)類范圍太小。典型的不R可積的例子如:

例題1):Dirichlet函數(shù):

這樣的簡單函數(shù)卻不是R(常義)可積的。

(2)R積分與極限可交換順序的條件太苛刻。在數(shù)學分析中，交換函數(shù)列極限與積分的順序，需要函數(shù)列一致收斂的條件來保證，而能夠達到一致收斂條件的函數(shù)列并不多，并且一致的條件也難以驗證。

(3)積分運算不完全是微分運算的逆運算。由微積分基本定理，我們知道可微函數(shù)的導數(shù)再積分能夠得到原函數(shù)，但是已證明一個可微的函數(shù)求導以后可以不是Riemann 可積的［1］。

(4)數(shù)學分析中，R可積的充要條件沒有用函數(shù)本身的性質來刻畫，而用函數(shù)自身性質刻畫的可積的充分條件又過于苛刻。

以上幾點表明，Riemann積分有不少缺陷，限制了Riemann積分的應用，因此有必要加以改進。20世紀初，法國數(shù)學家Lebesgue(1875－1941)創(chuàng)建了一種新的積分理論，稱之為Lebesgue積分，Lebesgue積分理論是Riemann積分理論的推廣和發(fā)展。并且克服了Riemann積分的上述缺陷［2］。

2 分析改進Rieman積分的思路

如何改造積分定義來達到拓廣積分范圍的目的呢?讓我們先分析一下造成這一缺陷的根本原因。由數(shù)學分析知:對任意分劃

T:a=x0＜x1＜…＜xn=b

對于例題1)由正長度的區(qū)間內既有有理數(shù)又有無理數(shù)，所以恒有:

S(T，D)－s(T，D)=1－0=1

如果分劃不是這樣刻板地要求一定要從左到右分成區(qū)間的話，是有可能滿足大小和之差任意小的。比如，只要允許將有理數(shù)分在一起，將無理數(shù)分在一起，那么大小和之差就等于零了。這就是問題的著眼點，首先讓分化概念更加廣泛，更加靈活，從而可將函數(shù)值接近的分在一起以保證大小和之差任意小［1］。

對于例題2)，將區(qū)間［0，1］等分成n等份，取 ξ1=，則

導致如此的原因，是在一個微小的區(qū)間內，函數(shù)值的變化太大。

3 引導學生感知數(shù)學新理論體系建立的奧妙

通過這一部分的分析，使學生感受到數(shù)學建立一套新的理論體系，需要環(huán)環(huán)相扣的理論準備。理論的嚴謹性是數(shù)學的妙趣之所在。

設f(x)為［a，b］上的有界實值函數(shù)。前面已經(jīng)提到，為使f(x)在［a，b］上Riemann可積，必須使Mi－mi比較大的那些小區(qū)間的長度之和很小，或者應使函數(shù)是在一個微小的區(qū)間內，函數(shù)值的變化不太大。這樣那些在很多地方振幅很大的函數(shù)或在微小范圍內變化很大的就不可積了。為了使得更多連續(xù)性不好，函數(shù)值在微小范圍內函數(shù)值變化很大的函數(shù)也可積，法國數(shù)學家Lebesgue提出了一種新的積分思想，主要想法就是不從分割區(qū)間［a，b］著手，而是從分割函數(shù)的值域出發(fā)［3］。為簡單計，這里只考慮f(x)≥0的情況。設f(x)定義于區(qū)間E=［a，b］上，m ＜ f(x)＜ M。在區(qū)間［m，M］作分劃

記

(如果極限存在)。這樣定義積分的好處在于，函數(shù)值的變化不大的自變量x已置于一個集合E［yi－1≤f＜yi］之中。在該集合中，f(x)的振幅小于λ，因此很多連續(xù)性不好的函數(shù)(例如Dirichlet函數(shù))或在微小范圍內函數(shù)值變化很大的函數(shù)對于上述和式極限不存在的缺陷就有可能克服，從而讓更多函數(shù)納入可積范疇。但是按照Lebesgue的方式定義積分首先要掃除一個障礙，就是必須使可以量長度。但是一般情況下不是區(qū)間，甚至也不是有限個不相交區(qū)間的并。為此必須將普通長度公理加以推廣，使直線上比區(qū)間更一般的盡可能多的集，有一種類似于區(qū)間長度的度量。這導致了Lebesgue測度理論的建立。由于測度理論要經(jīng)常地遇到集的運算和歐氏空間上的各種點集，因此本課程首先要介紹集合論和歐氏空間上集論的知識。因此本課程首先要介紹集合論和歐氏空間上點集的知識，然后介紹測度理論［4］。由于Lebesgue測度理論并不能給直線上的每個集定義測度，只能對一部分集即所謂“可測集”給出測度，因此要定義f(x)的Lebesgue積分，必須要求由 f(x)產(chǎn)生的型如的集是可測集，這樣的函數(shù)稱為可測函數(shù)，只有對可測函數(shù)才能定義新的積分。因此在定義Lebesgue積分之前，需要討論可測函數(shù)的性質。作了這些準備后，就可以定義Lebesgue積分并討論Lebesgue積分的性質及其應用。

4 激發(fā)學生強烈的求知欲望

在測度理論的基礎上建立的Lebesgue積分理論到底有何優(yōu)越性?由于學生學識所限，不必過于講的詳細與深奧，我們只需給出以下幾點，足可讓學生感到驚奇，激發(fā)學生的強烈求知欲望。

(1)得到了用函數(shù)本身性質刻畫Riemann可積的充要條件，函數(shù)Riemann可積的充要條件是不連續(xù)的點所構成的集合是一個零測集。

(2)極限與積分交換要求相對沒有這么強，Riemann積分要求一致收斂，而Lebesgue積分只要有一個控制收斂定理保證。

(3)得到的Fubni定理，可以使得累次積分交換積分次序可以在非常寬松的條件下實現(xiàn)。

(4)函數(shù)作為一個距離空間的完備性，Riemann可積類的函數(shù)序列極限可能不是Riemann可積的，也就是基本點列的極限不在其中，而Lebesgue可積類構成的函數(shù)空間(當然其中的點應該換成為是幾乎處處相等的函數(shù)類)是完備的距離空間［5］。

由此看出，法國數(shù)學家Lebesgue在測度基礎上建立的Lebesgue積分，彌補了R積分的諸多不足。實變函數(shù)論一方面可以為以后的數(shù)學學習和數(shù)學思維能力的培養(yǎng)奠定堅實的理論基礎，另一方面可以再返回去溫習數(shù)學分析Rieman積分、重積分、級數(shù)收斂的基本理論，加強自身數(shù)學分析的理論功底［6］。通過以上分析與介紹，學生們會盡管覺得艱難與深奧，但在看到Lebesgue積分能如此極大的推進Riemann積分理論與克服Riemann積分的缺陷時，會極大增強他們的求知欲望，使他們覺得有勇氣也有憧憬深入研究與學習這一門課程。

［1］程其襄，張奠宙，魏國強.實變函數(shù)與泛函分析基礎［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［2］王軍濤，宋林森.Riemann積分與Lebesgue積分的比較［J］.河南科技學院學報(自然科學版)2008，36(4):120－122.

［3］陳 志.《實變函數(shù)》概念教學的探討［J］.寧夏大學學報(自然科學版)，1990，11(4):69－73.

［4］江澤堅，吳智泉.實變函數(shù)論(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［5］江 楓.Riemann可積函數(shù)與連續(xù)函數(shù)［J］.寧德師專學報(自然科學版)，2010，22(3):288－290.

［6］倪仁興.淺議實變函數(shù)與數(shù)學分析間的聯(lián)系［J］.紹興文理學院學報，2001，21(3):93－97.