陸健

（南通職業(yè)大學(xué)，南通 226007）

對(duì)一類(lèi)和式極限計(jì)算公式與方法的改進(jìn)

陸健

（南通職業(yè)大學(xué)，南通 226007）

針對(duì)有關(guān)一類(lèi)常見(jiàn)的和式極限計(jì)算的研究結(jié)果，給出并證明了減弱條件后公式仍然成立的結(jié)論；進(jìn)一步為在實(shí)際計(jì)算中避免高階求導(dǎo)的復(fù)雜性，給出了冪級(jí)數(shù)展開(kāi)、舍去余項(xiàng)的簡(jiǎn)便計(jì)算方法。

和式極限；高階導(dǎo)數(shù)；冪級(jí)數(shù)；余項(xiàng)

定理設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處m階可導(dǎo)，且實(shí)數(shù)p，q滿足p＞q≥0或p＞0＞q＞-m-1，記k=（p-q）m-1，則有

xi=iqn-p（1≤i≤n）。若p＞q≥0，則xi≤nq-p→0(n→∞)；若p＞0＞q＞-m-1，則xi≤n-p→0（n→∞）。

定理得證。

求相關(guān)的和式極限可直接套用定理公式，但需引入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，還要求出非零的導(dǎo)數(shù)值，并核對(duì)參數(shù)p、q、k是否滿足條件。

在許多情形下，可引入的函數(shù)f(x)并不明顯，而且在處x=0不為零的導(dǎo)數(shù)階數(shù)m較大，這時(shí)直接套用定理公式就會(huì)很困難，不僅計(jì)算量龐大，而且還顯得呆板。定理的實(shí)質(zhì)是利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)化簡(jiǎn)極限式，展開(kāi)到第一個(gè)非零項(xiàng)即可，余項(xiàng)作為高階無(wú)窮小在極限計(jì)算中不起作用，可直接舍去。這種展開(kāi)級(jí)數(shù)的處理方法較為簡(jiǎn)便且靈活。

解難以找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，只能分項(xiàng)處理。用級(jí)數(shù)展開(kāi)法則不必引入函數(shù)：

解如果引入合適的函數(shù)f(x)=3x2-3arctanx2+2cosx3-2，則需要求出f（10）(0)。現(xiàn)在延續(xù)例2的思路展開(kāi)冪級(jí)數(shù)。arctan t和cos t有現(xiàn)成的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)公式，利用這些公式將例3中括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式展開(kāi)：

本例若按文獻(xiàn)[1]中的公式處理，導(dǎo)數(shù)一直要求到10階，且須核對(duì)參數(shù)k=(p-q)m-1方可選用4個(gè)結(jié)果中的第一個(gè)，而運(yùn)用上述直接展開(kāi)級(jí)數(shù)的方法則省去了這些繁瑣環(huán)節(jié)，其優(yōu)越性可見(jiàn)一斑。同樣，當(dāng)k≠(p-q)m-1時(shí)也無(wú)需核對(duì)參數(shù)，比如，將例3題目中括號(hào)前的n4改成n3，用級(jí)數(shù)展開(kāi)求解也很方便：

解利用sin t的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)公式，將括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式展開(kāi)并略去余項(xiàng)，得：

本文首先在理論上將文獻(xiàn)[1]結(jié)果中的條件減弱，擴(kuò)大了其適用的范圍，更主要的是指出了定理的本質(zhì)在于函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)極限式化簡(jiǎn)的支撐作用。因此，在處理這類(lèi)和式極限問(wèn)題時(shí)，不能拘泥于某個(gè)特定的公式，而須針對(duì)具體問(wèn)題抓住關(guān)鍵特征，采用最合適的方法，才能取得事半功倍的效果。

[2]李冬梅.一類(lèi)特殊和式極限的簡(jiǎn)便求法[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào).2007，19（1）：11-13.

[3]翟龍余.一類(lèi)和式極限的求解[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào).2008，30（4）：21-22.

[4]吳彬.極限運(yùn)算中的局部無(wú)窮小等價(jià)替換規(guī)則[J].2011，25（4）：78-80.

（責(zé)任編輯：王曉燕）

Improvement of Calculating Formula and Method of a Sum Limit

LU Jian
(Nantong Vocational University，Nantong 226007，China)

Based on research findings of a common sum limit calculation，the paper draws and proves the conclusion that the formula is still workable under a weakened condition.Then it gives a simple way to carry out the expansion and the reminder rejection of power series in order to avoid the complexity of high order derivation in practical calculation.

sum limit；high order derivation；power series；reminder term

O171

A

1671-6191（2014）04-0032-02

2014-09-16

陸?。?979-），男，江蘇南通人，南通職業(yè)大學(xué)講師，研究方向?yàn)閳D論、數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)建模。

江蘇省高等教育教學(xué)改革研究課題重點(diǎn)項(xiàng)目（編號(hào)2011JSJG085）；南通職業(yè)大學(xué)教改研究青年專(zhuān)項(xiàng)課題（編號(hào)2013-QN-02）。