熊云峰 陳章蘭 葉家瑋

（集美大學輪機工程學院1） 廈門 361021） （華南理工大學土木與交通學院2） 廣州 510090）

0 引 言

對承受動載的結構來說，如何避免共振一直是困擾結構設計和結構優(yōu)化的關鍵問題，而對結構模態(tài)精確計算是振動控制的前提．模態(tài)是結構的固有振動特性，每一個模態(tài)對應有固有頻率及振型．影響結構模態(tài)的因素很多，以船體結構為例，凡是影響船體的剛度、質量和阻尼的因素，如船體結構、船舶機電設備和壓載水布置、流體和結構耦合作用等，都會直接或間接影響到結構振動特性［1－2］．內應力是在結構加工或服役時產生的，如索結構的預應力，膠接、焊接、注塑、電鍍等接頭加工工藝產生的應力．內應力對結構動力學性能影響的研究，主要圍繞橋梁工程的梁結構或懸索結構的預應力［3－4］，而在諸如焊接殘余應力等內應力對復雜結構動力學性能影響的研究方面，尚非常缺乏；而且，由于內應力的隱性性，其對結構動力學性能的影響往往易被忽略．然而，隨著振動控制技術的提高，探討內應力對結構動力學性能影響的定性定量評價問題、是否存在改變振型、使同振型頻率偏離或是滋生新振型等問題，對豐富結構的振動控制技術、完善內應力對結構動力學影響理論顯然具有非常重要的意義．

從材料本構方程出發(fā)，采用有限元方法和矩陣范數(shù)工具，探討內應力對結構動力學性能的影響，對認識內應力影響結構動力學性能規(guī)律以及結構振動控制、改善引起內應力的加工工藝等提供參考．

1 內應力影響結構模態(tài)理論

1．1 內應力對結構剛度的影響

結構承載過程的變形問題可視為大變形、小應變情形，采用有限元法，結構中具有內應力時應力σ與應變ε關系滿足［5］

式中：D為結構單元彈性矩陣；σ0為結構內應力．結構幾何方程

式中：B為結構單元應變矩陣；δ為位移向量．

設系統(tǒng)所受內力、外力F外的矢量和為F，根據(jù)虛功原理，內力在虛位移δ＊上所做的功，與系統(tǒng)應力在虛應變ε＊上所做的功相等，即

將式（2）代入（3），并由虛位移δ＊的任意性，可得幾何非線性問題的一般平衡方程

若上式σ中考慮內應力情形，即將式（1）代入（4）

設系統(tǒng)所受力為保守力系，取式（5）的微分

對上式右側第一項，代入式（2），有

同理，式（6）右側第二項變形為

將式（7），（8）代入式（6），得結構存在內應力時平衡表達式的微分形式

而一般情況下平衡方程微分表達式為

對比式（9）與（10），則考慮結構存在初始內應力情況下，結構單元剛度矩陣具有形式

由式（11）單剛可集合成總剛∑Ke．

1．2 考慮內應力影響的模態(tài)方程的修正

模態(tài)分析基本方程可表述為

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；x，˙x，¨x分別為位移．速度和加速度向量；F（t）為載荷向量．

若忽略阻尼的影響，即考慮結構自由振動模態(tài)，式（12）可進一步簡化成

將式（11）代入式（13），可得考慮結構內應力影響下的結構自由振動模態(tài)方程

式（14）進一步可轉變?yōu)榍缶仃嚨奶卣鞲吞卣鞣匠?/p>

式中：ω為固有頻率．

顯然，上式根據(jù)結構實際應力狀態(tài)考慮了結構內應力對模態(tài)影響的效應，F(xiàn)EM模態(tài)計算結果更符合實際工況，內應力使剛度變化的同時，使矩陣特征值改變，必然改變結構自由振動模態(tài)．

2 內應力對結構模態(tài)影響程度

為討論剛度矩陣產生變化時，自由振動模態(tài)固有頻率發(fā)生的影響，將式（13）改寫為

式中：φ為振型向量．

引入結構內應力，即當系數(shù)矩陣K產生擾動Kσ0 時，相應地引起擾動 Δω2，式（16）變?yōu)?/p>

式（16）代入（17），則得頻率平方的偏離量

對非零振型，可將式（18）等式兩側同除式（16），得內應力對固有頻率平方影響幅度的一般表達式?

由式（19）可見，由內應力引起相同振型固有頻率平方的偏離，其相對偏離大小與結構剛度、內應力引起剛度的改變量及質量矩陣有關，即對剛度值的偏離產生一定程度的放大．

3 內應力影響結構模態(tài)的數(shù)值驗證

考慮內應力影響的有限元結構模態(tài)分析分2步，第一步計算由應力產生的應力剛化矩陣，生成emat文件；第二步，通過激活應力剛化效應，有限元以emat文件重構結構剛度陣，即疊加應力剛度陣到主剛度陣，構成完全一致剛度陣．模態(tài)提取采用Lanczos方法．有限元分析時，內應力可采用link單元，通過設置其初始應變，且以不同初始應變值代表應力水平．下面以簡單結構為例直觀闡明內應力對結構模態(tài)影響理論，而以復雜結構為例說明內應力對結構動力學性能影響的實踐意義．

3．1 簡單結構

設結構為一個具有兩節(jié)點的link單元，則其總剛度矩陣K為

在桿上施加固有應變ε代表內應力，產生的擾動矩陣為

顯然，應力剛度陣隨施加ε即初始應力變化．將式（20）和（21）兩剛度疊加作為模態(tài)計算的總剛矩陣，現(xiàn)取五種應力水平，σ0＝0，100，150，200，250 MPa，運行模態(tài)分析并提取固有頻率，列于表1．

表1 二節(jié)點桿件振動頻率

由表1可見，（1）當有內應力存在時，新增模態(tài)，即有內應力情形的一階固有頻率，不過新增的固有頻率與無應力時固有頻率相比很?。唬?）當ε＜0．01（對應應力水平＜σs）時，振型相同的固有頻率幾乎隨ε增加“線性”增加，但增加幅度不超過1%．只有ε增加到0．1時，固有頻率才會出現(xiàn)10%左右的增幅，但幾乎不可能達到此種極端情形．所以說，二節(jié)點桿件結構的僅具有理論驗證意義．

3．2 復雜結構

復雜結構剛度矩陣非常龐大，列出并非易事，因此內應力水平對結構動力學性能影響還須借助數(shù)值模擬．考慮加載的復雜性，以686TEU集裝箱船的機艙段作為復雜結構、焊接殘余應力作為內應力的實例說明．機艙段承載考慮浮力、水壓力以及鄰段施加的彎矩．有限元模型采用殼單元shell63模擬板材、梁單元beam188模擬肋骨和縱桁材，link10單元模擬焊縫并定義其初始應變，如圖1中放大圖所示，共捕捉了z向54道、x，y向各28條對稱角焊縫．結構網(wǎng)格按骨材、縱桁材分布間隔劃分，為使網(wǎng)格尺寸在各方向均勻，在梁長縱向網(wǎng)格要細．約束施加在兩端面形心處，共6個自由度，艙段的有限元模型見圖1．

圖1 機艙段有限元模型

運行模態(tài)分析，提取機艙段二節(jié)點垂向振動模態(tài)，其振型見圖2。

圖2 機艙段二節(jié)點垂向振型（Uy）

機艙段二節(jié)點垂向振動固有頻率隨應力水平變化情況如圖3所示，變化幅度示于圖4．圖中有空缺的部分是由于應力計算過程不收斂，因而沒有模態(tài)計算結果．

圖3 機艙段固有頻率隨應力水平變化趨勢

圖4 機艙段固有頻率變化幅度

由圖3，4可知，當焊接殘余應力水平較低時（＜52MPa），二節(jié)點垂向振動固有頻率隨應力水平增加而升高，當σ0＝52MPa時，振動固有頻率達36．528Hz，與無焊接殘余應力時固有頻率28．769Hz相比，變化幅度達到最大，為27%；但當應力水平繼續(xù)提高時，固有頻率反而出現(xiàn)降低，在焊接殘余應力水平σ0＝63MPa時，影響幅度為21．3%．比較簡單結構與復雜結構的相同應力水平時，影響固有頻率的程度，可見內應力水平一致，但影響幅度并不相同，如簡單結構在應力為50MPa時，影響幅度不超過1%，驗證了式（19），即內應力對模態(tài)影響幅度，不僅與內應力水平有關，而且經(jīng)過了結構剛度陣、質量矩陣的放大．

4 結 論

1）內應力是隱性的，由于難以確定其邊界條件，實踐中討論影響結構動力學性能的因素時，往往被忽略．采用有限元和矩陣范數(shù)的方法，推導了內應力影響結構剛度公式，并采用矩陣范數(shù)工具，建立了內應力對結構模態(tài)頻率影響幅度表達式．

2）采用二節(jié)點桿結構直觀驗證了內應力對結構模態(tài)的影響，即內應力的存在不僅使結構振動的固有頻率發(fā)生偏離，但偏離程度不大；而且，對簡單結構來說，還可能滋生新的振型．

3）復雜結構數(shù)值模擬驗證模態(tài)影響結構表明，低內應力水平使結構振動固有頻率偏離效果呈“線性”關系，但當內應力水平較高時，結構振動固有頻率呈現(xiàn)波動趨勢，固有頻率偏離程度與應力水平高低及結構復雜程度有關．

［1］YUCEL A，ARPACI A．Analysis of free and forced ship vibrations using finite element method［C］∥ASME 2010 10th Biennial Conference，Brisbane，Australia，2010：147－156．

［2］金廣文，何 琳，姜榮?。鞴恬詈蠈﹄p層圓柱殼體振動特性的影響［J］．武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2007，31（5）：882－885．

［3］張耀庭，汪霞利，李瑞鴿．全預應力梁振動頻率的理論分析與試驗研究［J］．工程力學，2007，24（8）：116－120．

［4］JORG F U，ANNE T，GUIDO D R．System identification and damage detection of a prestressed concrete beam［J］．Journal of Structure Engineering，2006，132（11），1691－1698．

［5］周水興，陳山林．計入初始應變項的平面梁單元非線性剛度矩陣［J］．重慶建筑大學學報，2007，29（4）：70－74．