李應(yīng)剛，陳天寧，王小鵬，于坤鵬，周漢，張哲

（1.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院，710049，西安；2.西安交通大學(xué)機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室，710049，西安）

目前，齒輪傳動系統(tǒng)已被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，國內(nèi)外學(xué)者對齒輪系統(tǒng)的振動、噪聲及其動力穩(wěn)定性開展了深入研究［1-2］。Kahraman等人利用數(shù)值分析方法和諧波平衡法，研究了內(nèi)部動態(tài)激勵作用下具有齒側(cè)間隙的齒輪副系統(tǒng)的非線性動力學(xué)頻響特性［3-4］。Padmanabhan等人采用參數(shù)延展技術(shù)和諧波平衡法，研究了具有參數(shù)激勵和外激勵共同作用的非線性振動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)［5］。1997年，Kahraman等人對具有時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和外部激勵的齒輪系統(tǒng)進行了實驗研究，發(fā)現(xiàn)齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)中存在大量的非線性現(xiàn)象［6］。文獻［7-9］采用數(shù)值方法研究了內(nèi)部動態(tài)激勵作用下齒輪時變間隙非線性系統(tǒng)的分岔與混沌特性，但這些都是針對內(nèi)部動態(tài)激勵和外部名義載荷作用下齒輪副系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性進行的研究，而忽略了外部動態(tài)激勵的影響。Comparin等人利用數(shù)值分析方法和諧波平衡法，研究了外部動態(tài)激勵作用下沖擊副的非線性動力學(xué)特性，并在沖擊副模型中忽略了時變剛度的影響［10］。張鎖懷用A算符方法對扭矩激勵作用下齒輪時變系統(tǒng)的動態(tài)特性進行求解［11］，模型中忽略了間隙非線性特性。Theodossiades等人采用分段多尺度法研究了外部動態(tài)激勵作用下齒輪副非線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)［12］，但分段多尺度法求解卻丟失了系統(tǒng)的亞諧波響應(yīng)及超諧波響應(yīng)。

對于具有時變剛度和分段非線性系統(tǒng)，利用增量諧波平衡法（IHBM）可以求得任意階的近似解。Lau提出了增量諧波平衡法，對分段線性機械系統(tǒng)的動態(tài)特性進行了研究［13］，使增量諧波平衡法被廣泛應(yīng)用于求解各類非線性動力學(xué)的問題［14-16］。本文采用增量諧波平衡法，對外部動態(tài)激勵作用下齒輪副時變間隙非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性進行了研究，建立了齒輪副系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動模型。模型考慮了周期時變剛度、齒側(cè)間隙、黏彈性阻尼以及外部動態(tài)激勵等因素，利用增量諧波平衡法，給出了齒輪非線性時變系統(tǒng)的一般解形式，采用四階變步長數(shù)值方法（Runge-Kutta）進行了驗證，并根據(jù)增量諧波平衡法研究了系統(tǒng)參數(shù)對齒輪系統(tǒng)非線性動態(tài)特性的影響。

1 非線性動力學(xué)模型

如圖1所示，模型中考慮了時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、黏彈性阻尼及外部動態(tài)激勵等因素，忽略傳動軸的橫向和軸向彈性變形，以及支持系統(tǒng)的彈性變形。齒輪副扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的運動微分方程為

圖1 齒輪副系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型

式中：T1m為作用在主動齒輪上的外部名義力矩；T1a（t）為作用在主動齒輪上的外部動態(tài)力矩；T2m為作用在從動齒輪上的外部名義力矩；T2a（t）為作用在從動齒輪上的外部動態(tài)力矩。如果忽略負載扭矩波動和靜傳遞誤差的作用，式（1）、（2）可簡化為

將時變嚙合剛度進行Fourier展開至L階，則有

式中：u（t）為齒輪系統(tǒng)的振動位移；L為階數(shù)；me為等效質(zhì)量；FmT為傳遞名義載荷；FaT為動態(tài)激勵；f（u）為間隙非線性函數(shù)；km為平均剛度；ω為嚙合頻率；εl為反映剛度變化的參數(shù)。對式（4）進行歸一化處理，得到

式中：x為歸一化的振動位移；ωn為固有頻率；ˉt為歸一化時間；ζ為阻尼比；Ω為歸一化嚙合頻率。由此，式（4）可改寫為

2 增量諧波平衡法求解

利用時間尺度τ=Ωˉt，將式（10）改寫為

利用Newton-Raphson算法求解式（12）表示的分段線性差分系統(tǒng)，得到微分方程的解為

其中x0（τ）為式（12）的近似解，Δx（τ）為增量方程。設(shè)式（12）的N階近似解為

式中：a0為基波幅值；an、bn為高次諧波幅值。增量方程為

將式（13）代入式（12）中進行泰勒級數(shù)展開，并略去高階項得到

令

利用Galerkin過程，將式（16）方程左右兩端同時乘以cos（iτ）、sin（iτ）（i=0，1，2，3，…，N），并在0～2π之間積分，得到關(guān)于Δa的2 N+1階線性方程組

式中：C 為2 N+1階 矩 陣；R 為2 N+1階 列 向 量。式（17）即為應(yīng)用增量諧波平衡法推導(dǎo)出的以Δa為未知量的非線性系統(tǒng)振動穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)的迭代計算公式。

3 齒輪系統(tǒng)非線性動態(tài)特性

系統(tǒng)參數(shù)［4，12］取L=3，N=11，ζ=0.024，F(xiàn)m=0.25，F(xiàn)a=0.075，ε1=0.03，ε2=0.02，ε3=0.01。應(yīng)用增量諧波平衡法得到齒輪系統(tǒng)的頻響特性曲線，采用四階變步長Runge-Kutta法進行數(shù)值仿真驗證（見圖2），增量諧波平衡法的求解結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合得較好。在外部動態(tài)激勵作用下，齒輪系統(tǒng)頻響曲線不僅出現(xiàn)主共振，同時得到了超諧波響應(yīng)（見圖3），并且頻響曲線存在多值解和跳躍非線性的特性。由圖4可知，多值解和跳躍現(xiàn)象對應(yīng)齒輪副系統(tǒng)的無沖擊狀態(tài)、單邊沖擊和雙邊沖擊狀態(tài)。

圖2 齒輪副系統(tǒng)的頻響特性曲線

圖3 齒輪副系統(tǒng)的超諧波響應(yīng)

4 參數(shù)分析

圖4 Ω=0.6時齒輪副系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

由齒輪副系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型可知，在外部動態(tài)激勵作用下，齒輪系統(tǒng)的非線性振動響應(yīng)的影響因素主要有周期時變剛度、齒側(cè)間隙、激勵幅值和阻尼比等。

4.1 時變剛度和間隙的影響

線性時變模型、非線性時不變模型及非線性時變模型的動態(tài)特性如圖5所示。由非線性時不變模型與非線性時變模型的對比可知，時變剛度的存在使齒輪系統(tǒng)歸結(jié)為參數(shù)振動范疇，引起系統(tǒng)參數(shù)共振。對比線性時變模型與非線性時變模型可知，間隙非線性的存在導(dǎo)致齒輪副系統(tǒng)出現(xiàn)多值解和幅值跳躍等非線性動力學(xué)特性。

圖5 時變剛度與間隙對齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響

4.2 激勵幅值的影響

如圖6所示，對3種不同激勵幅值條件下的系統(tǒng)頻響特性曲線進行了對比分析。隨著激勵幅值的增大，齒輪副系統(tǒng)非線性動態(tài)特性如多值解及跳躍現(xiàn)象逐漸消失，齒輪系統(tǒng)在重載荷工況時，表現(xiàn)為線性振動特性。因此，增大激勵幅值能夠有效控制齒輪系統(tǒng)的非線性動態(tài)響應(yīng)。

4.3 阻尼比的影響

在3種不同阻尼比條件下，對系統(tǒng)頻響特性曲線進行了對比分析（見圖7）。通過分析計算［17-18］，一般取ξ為0.02～0.17，隨著ξ的增大，齒輪副系統(tǒng)的振動幅值明顯降低，齒輪副系統(tǒng)非線性動態(tài)特性如多值解及跳躍現(xiàn)象逐漸消失。因此，增大系統(tǒng)ξ能夠有效控制齒輪系統(tǒng)的非線性動態(tài)響應(yīng)。

圖6 激勵幅值對齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響

圖7 阻尼比對齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響

5 結(jié) 論

（1）本文根據(jù)增量諧波平衡法，研究了齒輪間隙非線性時變系統(tǒng)在外部動態(tài)激勵作用下的非線性動力學(xué)特性，其求解結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合得較好。在外部動態(tài)激勵作用下，齒輪副系統(tǒng)的頻響曲線存在著多值解和跳躍非線性特性，并對應(yīng)于齒輪副系統(tǒng)的無沖擊狀態(tài)、單邊沖擊狀態(tài)和雙邊沖擊狀態(tài)。齒輪系統(tǒng)頻響曲線不僅出現(xiàn)主共振，而且得到了超諧波響應(yīng)。

（2）本文針對周期時變剛度、齒側(cè)間隙、激勵幅值和阻尼比對齒輪副系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響進行了研究。研究結(jié)果表明，周期時變剛度的存在會引起參數(shù)共振，齒側(cè)間隙的存在則導(dǎo)致齒輪副系統(tǒng)出現(xiàn)多值解和幅值跳躍等非線性動力學(xué)行為，而增大激勵幅值和阻尼比能夠有效地控制系統(tǒng)的非線性振動響應(yīng)。

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