丁 晨，郭建國，周 軍，王國慶（.西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所，陜西 西安 7007；.中國運載火箭技術(shù)研究院發(fā)展中心 北京 00076）

目標(biāo)機動性能的不斷提高，對攔截彈制導(dǎo)性能的要求就更高。經(jīng)典制導(dǎo)律對于導(dǎo)引頭量測目標(biāo)所得到的狀態(tài)信息要求更加精確[1]。但在目前的技術(shù)水平下，導(dǎo)引頭測量目標(biāo)狀態(tài)信息的精度與制導(dǎo)律所要求的信息有一定的誤差，這歸結(jié)于導(dǎo)引頭的制作工藝、傳感器的響應(yīng)延遲等。文獻[2]指出為了實現(xiàn)精確制導(dǎo)要求，對于導(dǎo)引頭測量信息誤差必須給予減小或消除，這就需要更精確的濾波信息，濾波算法計算量盡可能小。

對于目標(biāo)估計系統(tǒng)而言，目標(biāo)的機動是未知的，如何描述目標(biāo)機動是一個復(fù)雜的問題，也是目標(biāo)估計的關(guān)鍵，所以機動目標(biāo)狀態(tài)估計首先面臨的就是模型的選取。文獻[3]提出的“當(dāng)前”統(tǒng)計模型較好的解決了目標(biāo)機動加速度概率分布的問題。在“當(dāng)前”模型的概念下，目標(biāo)機動加速度可能取之的范圍可以減小，并且被限制在一定的范圍內(nèi)，即由于物理上的限制，目標(biāo)現(xiàn)在時刻加速度值越大，在下一瞬時目標(biāo)加速度大幅度偏離此值的概率就越小。

通常情況“當(dāng)前”統(tǒng)計模型下建立的狀態(tài)方程和量測方程不一定都是線性的[4]，此時就必須處理的是非線性系統(tǒng)下的目標(biāo)估計問題[5]。文獻[3]指出基于“當(dāng)前”統(tǒng)計模型的自適應(yīng)算法是建立在標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程之上的，非線性系統(tǒng)無法寫出標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程也就無法實現(xiàn)自適應(yīng)濾波算法。而擴展卡爾曼濾波（EKF）在處理矩陣問題上也無法完全保證正定性，只是通過對非線性函數(shù)的Taylor展開式進行一階線性化截斷，從而將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性[6]，當(dāng)非線性函數(shù)Taylor展開式的高階項無法忽略時，就會使系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差，且許多實際問題無法很難得到非線性函數(shù)的雅克比矩陣求導(dǎo)。

超球體單形[7-8]sigma采樣平方根UKF濾波方法在處理非線性問題時，相對于對稱采樣UKF，從sigma采樣方面減小了取點個數(shù)，從而降低了計算負載；相對于EKF提高了估計精度；通過加入平方根[9]保證了數(shù)值的穩(wěn)定性[10]。

由此，文中基于大機動目標(biāo)設(shè)計了具有加速度補償?shù)幕Ｖ茖?dǎo)律，并針對目標(biāo)法向加速度的“當(dāng)前”統(tǒng)計模型，利用超球體單形sigma采樣平方根UKF濾波的方法來估計彈目相對信息，數(shù)字仿真驗證了利用所得到的濾波信息，提高了整個攔截彈的制導(dǎo)性能。

1 彈目相對運動關(guān)系

圖1 彈-目相對運動幾何關(guān)系圖Fig. 1 Missile - target relative motion geometry graph

如圖1所示，給出二維彈目相對運動幾何關(guān)系，可得導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運動模型[1]為：

其中， R表示彈目相對距離，q表示彈目視線角，q ˙ 表示視線角速率；Vm、Vt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度；θm、θt分別表示導(dǎo)彈的彈道傾角和目標(biāo)的彈道傾角；am、 at分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的法向加速度。

2 基于目標(biāo)機動信息的制導(dǎo)律設(shè)計

取狀態(tài)x= q˙ ，控制輸入u=am，根據(jù)式(1)可得狀態(tài)方程如下：

顯然，式(5)中的atq可作為目標(biāo)機動的加速度補償量。此外，為了削減顫振，用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，可得：

3 目標(biāo)信息估計方法研究

3.1 濾波狀態(tài)方程和觀測方程

考慮目標(biāo)法向加速度的“當(dāng)前”統(tǒng)計模型：

基于彈目相對運動方程式(1)和目標(biāo)法向加速度的“當(dāng)前”統(tǒng)計模型式(7)，選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為X=[R q θtαtθm]，T式(7)中， ω為均值為零的白噪聲，at表示目標(biāo)當(dāng)前時刻目標(biāo)的法向加速度，atc表示目標(biāo)前一時刻的法向加速度，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

其中 W(t)=[0 0 0 ωt0]T

其中， amax表示假設(shè)目標(biāo)最大機動過載。

假設(shè)采用主動導(dǎo)引頭，導(dǎo)引頭測量值為彈目接近速率R˙和視線角速率 q ˙ ,觀測方程為式（9）:

其中，h(X(t))=[y1y2]T, V(t)=[v1v2]T為均值為零的高斯白噪聲向量 y1= R˙ ， y2= q ˙ 接下來基于狀態(tài)方程式(8)和觀測方程式(9)的，采用超球體單形sigma采樣平方根UKF濾波方法對目標(biāo)運動信息進行估計。

3.2 超球體單形sigma采樣方法[5]

超球體單形采樣只要求匹配前兩階矩，但要求除中心點外的其他sigma點權(quán)值相同，而且與中心距離相同。將此條件代入 g [ { χi} , px( x ) ] = 0 ，迭代確定Sigma點，步驟如下：

1)選取 0≤W0≤1；

4)當(dāng)狀態(tài)維數(shù)大于1維（ j=2,3…n），迭代為：

公式推導(dǎo)中分布的三階矩不為0，確保了對于任意分布達到2階矩截斷精度[5]。

對稱采樣UKF的sigma點個數(shù)為L=2n+1 ，而對于超球體單形采樣而言sigma點的個數(shù)為 L=n+2，保證了計算量的減小。

3.3 濾波流程

對于狀態(tài)方程(8)和量測方程(9)，濾波算法步驟如下：

1)計算sigma點

式中，qr(·)和cholupdate(·) 分別表示qr分解和cholesky一階更新，Q，R分別為狀態(tài)噪聲和觀測噪聲的協(xié)方差矩陣。

3)量測更新

式中， yk為tk時刻的目標(biāo)狀態(tài)觀測信息，x?k為tk時刻目標(biāo)狀態(tài)信息的估計值。濾波過程中的平方根形式，保證了濾波數(shù)值的穩(wěn)定性[4]。

4 仿真結(jié)果及分析

設(shè)目標(biāo)初始位置（15 000 m，20 000 m，15 000 m）速度為1 200 m/s，做過載為10 g的水平蛇形機動；導(dǎo)彈初始位于（0 m，10 000 m，0 m），速度為800 m/s。觀測噪聲方差矩陣diag[100,0.01]T，狀態(tài)噪聲方差陣 diag[100,0.01,0.01,ωk,0.1]T，狀態(tài)向量的初值誤差方差為 diag[102,0.052,0.12,102,0.012]T。

4.1 濾波結(jié)果分析

在相同條件下，EKF濾波算法和超球體單形采樣平方根UKF濾波算法結(jié)果對比如圖2和圖3所示，可以看出，利用本文所采用的濾波精度高于EKF濾波算法，EKF濾波在1 s內(nèi)最大誤差達240 m/s2，而文中濾波算法最大誤差只有80 m/s2，且收斂速度和穩(wěn)定性方面好于EKF。在5 s以后二者的誤差最大值基本相同，文中濾波精度略好，文中濾波比EKF最大誤差小10 m/s2。由此可知：

1）由于超球體單形平方根UKF的采樣方法是非線性函數(shù)基于概率密度分布的近似，而不是對非線性函數(shù)進行近似，不需像EKF求導(dǎo)計算雅克比矩陣，所以濾波精度比EKF高；

2）取點個數(shù)是n+2 , 因此計算速度比較快，故收斂速度較快 ；

3）由于超球體單形平方根UKF在計算過程中加入了平方根項，保證了濾波方差矩陣的正定性以及克服了計算誤差引起的發(fā)散現(xiàn)象，所得結(jié)果具有穩(wěn)定性。

4.2 制導(dǎo)律仿真結(jié)果

下面給出兩種情況下導(dǎo)彈的需用過載，導(dǎo)彈過載限制最大為20 g，如圖4和圖5所示，可以清楚地看到采用本文的濾波方法可以大大降低末端導(dǎo)彈的過載。此外，進行300次蒙特卡羅仿真打靶所得脫靶量均值如表1所示。

圖2 EKF對目標(biāo)加速度的估計誤差Fig. 2 EKF estimation error of the target acceleration

圖3 本文濾波對目標(biāo)加速度的估計誤差Fig. 3 This filter on the target acceleration estimation errors

表1 脫靶量均值/mTab.1 Mean value of miss distance

顯然，利用本文濾波所得到的信息，對于大機動目標(biāo)，可以有效地提高攔截彈的制導(dǎo)精度。

圖4 不濾波彈體過載（PN）Fig. 4 The missile overload of not filtering (PN)

5 結(jié) 論

文中針對目標(biāo)大機動設(shè)計了具有加速度補償?shù)幕Ｖ茖?dǎo)律，基于擴展卡爾曼濾波（EKF）算法在處理彈目運動非線性關(guān)系方面的不足，提出了將超球體單形平方根采樣UKF濾波用于目標(biāo)運動狀態(tài)信息提取。此濾波算法較好的估計了目標(biāo)的加速度信息。通過數(shù)學(xué)仿真證明了此結(jié)論，并實現(xiàn)了對大機動目標(biāo)的有效攔截。

圖5 超球體UKF濾波彈體過載（本文制導(dǎo)律）Fig. 5 The missile overload of Hypersphere UKF filtering(the guidance law of this paper)

[1] 張華偉, 董茜, 王文燦,等.基于預(yù)測命中點的反彈道導(dǎo)彈攔截方法研究[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報,2007(27):196-199.ZHANG Wei-hua,DONG Qian,WANG Wen-can,et al.Reserch way of intercepting ballistic missile based on the forecasting hitting postion[J].Journal of Projectiles;Rockets;Missiles and Guidance, 2007(27):196-199.

[2] Mehrotra K, Mahapatra P R.A jerk model to tracking highly maneuvering targets[J].IEEE Trans on AES,1997,33(4):1094-1105.

[3]周宏仁, 敬忠良, 王培德. 機動目標(biāo)跟蹤[M].北京:國防工業(yè)出版社,1991.

[4]周鳳岐,盧曉東.最優(yōu)估計理論[M].北京：高等教育出版社,2009.

[5]潘泉,楊峰,葉亮,等.一類非線性濾波器-UKF綜述[J].控制與決策,2005,20(5):481-489.PAN Quan,YANG Feng,YE Liang,et al.Survey of a kind of nonlinear filters-UKF[J].Control and Decision,2005,20(5):481-489.

[6]楊柳. 改進卡爾曼濾波的目標(biāo)跟蹤研究[J].計算機仿真,2010,27(9):351-355.YANG Liu.Study on target tracking based on improved unscented transform kalman filtering[J].Computer Emulation,2010,27(9):351-355.

[7] Julier S J.The spherical simplex unscented transformation [C]//American Control Conf Denver,2003:2430-2434.

[8] Julier S J,Uhlmann J K.Reduced sigma point filters for the propagation of means and covariances through nonlinear transformations[C]//Proeedings of American Control Conf ,2002 : 887-892 .

[9] 葉飚，楊博.一種采用衰減記憶濾波的環(huán)月航天器自主導(dǎo)航方法研究[J].宇航學(xué)報,2006,27(5):1096-1010.YE Biao,YANG Bo. Autonomous Deep Space Navigation Based On Fading Memory Filtering[J].Journal of Astronautics,2006,27(5):1096-1010.

[10] Leero D,Bar-Shalom Y K.Tracking with debiased consistent converted measurement vs . EKF[J].IEEE Trans on Aerospace and Electronics Systems,1993,29(3):1015-1022 .