李慶社

1. 幾種特殊的幾何體的展開(kāi)圖

棱柱：兩個(gè)全等多邊形與一個(gè)平行四邊形（直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形）.

棱錐：一個(gè)多邊形與幾個(gè)邊邊相連的三角形.

圓柱：兩個(gè)圓和一個(gè)矩形.

圓錐：一個(gè)圓和一個(gè)扇形.

注意：不是所有的曲面都可以展開(kāi)為平面.如球.

2. 正方體的11種展開(kāi)圖

總結(jié)：①中間四個(gè)面，上、下各一面；

②中間三個(gè)面，一、二隔河見(jiàn)；

③中間兩個(gè)面，樓梯天天見(jiàn)；

④中間沒(méi)有面，三、三連一線

3. 正多面體

（1）概念：各條棱相等，每個(gè)面都是相同的正多邊形的幾何體叫正多面體.

（2）幾種正多面體：正多面體僅有正四面體，正六面體，正八面體，正十二面體，正二十面體這五種.

可圍成下面的幾何體.

4.典型例題

例1 哪個(gè)圖形經(jīng)過(guò)折疊可以圍成一個(gè)棱柱（ ）.

解析：B、C中間有四個(gè)矩形，所以應(yīng)為四棱柱，而B(niǎo)兩側(cè)只有兩個(gè)三角形，C的兩個(gè)四邊形都在一側(cè)，所以不能?chē)衫庵?A、D中間有三個(gè)矩形，所以應(yīng)為三棱柱，而A的兩個(gè)三角形都在一側(cè)，所以不能?chē)衫庵?故只有D可以.故選D.

例2 將一個(gè)長(zhǎng)方體的表面沿某些棱剪開(kāi)，展成一個(gè)平面圖形，至多可以剪 條棱.

解析：由正方體展開(kāi)圖可知：還連在一起的邊為正方體未剪開(kāi)的棱.每種情況均為5條.又正方體有12條棱，所以都剪了7條棱.所以至多可以剪7條棱.

例3 如圖1所示，是一個(gè)什么多面體的展開(kāi)圖？

（1）如果1是上面，2是前面，請(qǐng)你指出其他幾個(gè)面所處的位置？

（2）如果2在左面，6在上面，請(qǐng)指出其他各面所處的位置？

解析：易知此圖為正方體展開(kāi)圖，剪個(gè)紙片標(biāo)志一下可知：

（1）3是右面；4是后面；5是左面；6是下面；

（2）1是下面；3是前面；4是右面；5是后面.

例4 一個(gè)正六棱柱，它的底邊長(zhǎng)是6cm，側(cè)棱長(zhǎng)都是5cm，則它的側(cè)面積是 cm2.

解析：將正六棱柱展開(kāi)后，側(cè)面為矩形，所以其面積S=底面周長(zhǎng)×側(cè)棱長(zhǎng).而正六棱柱底面為正六邊形，邊長(zhǎng)相等.

所以側(cè)面積S=底面周長(zhǎng)×側(cè)棱長(zhǎng)=6×6×5=180 （cm2）.

例5 如圖2，沿長(zhǎng)方形紙片上的虛線剪下的陰影部分恰好能?chē)梢粓A柱，設(shè)圓的半徑為r.（1）用含r的代數(shù)式表示圓柱的體積；（2）當(dāng)r=8.91cm，圓周率取3.14時(shí)，求圓柱的體積.

解析：圓柱的體積V=底面積×高.而側(cè)面展開(kāi)圖為正方形，所以高=底面周長(zhǎng).

（1）高h(yuǎn)=2πr ，底面積S=πr2，

所以體積V=πr2×2πr=2π2r3.

（2）體積V=2π2r3=2×3.142×8.913≈13948.34（cm3）.

例6 如圖3，有一個(gè)正方體的房間，在房間內(nèi)的一角A處有一只螞蟻，它想到房間的另一角B處去吃食物，試問(wèn)它采取怎樣的行走路線是最近的？如果一只蜜蜂，要從A到B怎樣飛是最近呢？

解析：把正方體展開(kāi)，在其包含A、B的兩個(gè)相連的正方形（兩種情況：前面與上面的正方體或者前面與右面的正方體）中連接AB，則螞蟻沿著線段AB的路線走最近.（兩點(diǎn)之間線段最短）若是蜜蜂，則只要直接從A沿體對(duì)角線飛到B即可.