王 輝，王才東，張段芹

(鄭州輕工業(yè)學(xué)院，河南鄭州450002)

0 引 言

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)永磁直線同步電動(dòng)機(jī)磁場(chǎng)定向控制，動(dòng)子位置檢測(cè)是實(shí)現(xiàn)對(duì)永磁直線電機(jī)伺服控制的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。由于機(jī)械式傳感器存在缺陷，給運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)帶來了諸多不利影響［1］。反電勢(shì)法是當(dāng)前應(yīng)用較多的一種無傳感器法，這種方法主要檢測(cè)定子繞組的反電勢(shì)來檢測(cè)轉(zhuǎn)子的位置，但在低速或零速時(shí)，反電勢(shì)較小，檢測(cè)誤差較大，甚至無法檢測(cè)到反電勢(shì)，因此，這種方法可應(yīng)用的速度范圍較?。?］。高頻信號(hào)注入法利用電感系數(shù)與轉(zhuǎn)子位置的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)子位置的檢測(cè)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)無位置傳感器檢測(cè)法的缺陷。

由于自適應(yīng)濾波器具有自我“跟蹤”和“調(diào)節(jié)”的能力，具有更強(qiáng)的信號(hào)處理能力［3］。因此，近年來自適應(yīng)濾波理論在諸如通信、控制、雷達(dá)、地震、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用［4］。由于遞歸最小二乘(RLS)算法比最小均方(LMS)算法具有更快的響應(yīng)速度和更強(qiáng)的跟蹤能力，因此，RLS算法更多地應(yīng)用于時(shí)變信號(hào)的濾波［5］。

本文將基于RLS 的自適應(yīng)濾波器與旋轉(zhuǎn)高頻電壓信號(hào)注入法相結(jié)合，并應(yīng)用于永磁直線同步電動(dòng)機(jī)伺服控制系統(tǒng)中，以提高動(dòng)子位置的檢測(cè)精度。

1 高頻電壓注入法數(shù)學(xué)模型

旋轉(zhuǎn)高頻電壓信號(hào)注入法的基本原理就是在靜止的三相參考坐標(biāo)系下，利用定子電感和轉(zhuǎn)子位置間的關(guān)系，通過在永磁直線同步電動(dòng)機(jī)的動(dòng)子端注入小幅值且連續(xù)的三相平衡的高頻電壓，使其和基波進(jìn)行調(diào)制，在電機(jī)的定子繞組端將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)對(duì)應(yīng)的高頻響應(yīng)電流信號(hào)，這個(gè)高頻電流信號(hào)中包含有電機(jī)動(dòng)子位置的信息，將該電流信號(hào)解調(diào)后送入觀測(cè)器，可估算出動(dòng)子位置［6－7］。

根據(jù)文獻(xiàn)［8］，永磁直線同步電動(dòng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)高頻電壓信號(hào)注入法數(shù)學(xué)模型可以表示:

對(duì)式(1)積分，可得出相應(yīng)的高頻電流數(shù)學(xué)模型:

從式(2)中可以看出，對(duì)于具有凸極特性的永磁直線同步電動(dòng)機(jī)來說，注入的高頻電壓信號(hào)對(duì)應(yīng)的高頻響應(yīng)電流信號(hào)由兩部分組成，即包含有動(dòng)子位置信息的部分和不包含動(dòng)子位置信息的部分。包含動(dòng)子位置信息部分在兩相靜止坐標(biāo)系下的軌跡是一個(gè)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的圓形軌跡，而不包含動(dòng)子位置信息的部分在兩相靜止坐標(biāo)系下的軌跡是一個(gè)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的圓形軌跡，為便于問題的分析，可以把這兩部分分別稱為負(fù)序分量和正序分量。利用特定的信號(hào)處理方法進(jìn)行解調(diào)處理后，可以從負(fù)序分量中獲取轉(zhuǎn)子的位置信息。為分析問題的方便，把正序分量和負(fù)序分量的表達(dá)式分別列寫如下。

正序分量表達(dá)式:

負(fù)序分量表達(dá)式:

進(jìn)一步分析式(3)和式(4)可以看出，由于兩個(gè)圓形軌跡的半徑及旋轉(zhuǎn)方向不同，合成的軌跡，即高頻響應(yīng)電流的軌跡是一個(gè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸與α 軸正向的夾角為動(dòng)子位置角。圖1 是電機(jī)轉(zhuǎn)子位置分別在0°、15°、30°、45°、75°和90°時(shí)理想高頻響應(yīng)電流信號(hào)的合成軌跡。從圖中可以看出，在不同的位置，其理想的合成軌跡都是橢圓形。圖2 則是負(fù)序高頻響應(yīng)電流軌跡的仿真曲線，從圖中可以看出，其軌跡是理想圓形。

圖1 理想的高頻響應(yīng)電流軌跡

圖2 理想的負(fù)序高頻響應(yīng)電流軌跡

在實(shí)際應(yīng)用中，電機(jī)在額定速度下運(yùn)行時(shí)定子電流中不僅包含有驅(qū)動(dòng)電機(jī)運(yùn)行的基波電流及其諧波成分，而且還有高頻信號(hào)響應(yīng)的負(fù)序和正序電流及PWM 開關(guān)諧波電流。永磁直線同步電動(dòng)機(jī)在額定運(yùn)行時(shí)的定子電流頻譜放大后如圖3 所示。

圖3 定子電流頻譜放大圖

從圖3 的定子電流頻譜圖可以看出，響應(yīng)電流中不僅包含有基波電流、高頻響應(yīng)電流和PWM 開關(guān)諧波電流，而且在高頻響應(yīng)電流附近還混雜有其他的諧波成分。對(duì)于基波電流及其低次諧波電流，其頻率遠(yuǎn)低于高頻載波響應(yīng)電流，而PWM 開關(guān)諧波電流和勵(lì)磁電流的高次諧波成分的頻率又遠(yuǎn)高于高頻響應(yīng)電流的電流頻率，如果外干擾較小情況下，理論上可能通過一個(gè)帶通濾波器實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際應(yīng)用中，由于動(dòng)子可以從零速到額定速度運(yùn)行，因此其頻率的變化范圍也較大，特別是高頻響應(yīng)電流附近的諧波成分的頻率與高頻電流的頻率非常接近，加之外干擾的存在，用普通的濾波器很難實(shí)現(xiàn)高精度的濾波，為達(dá)到理想的濾波效果，本文設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)濾波器，用來提取高頻響應(yīng)電流信號(hào)。

2 遞歸最小二乘濾波算法

基于最小二乘算法的自適應(yīng)濾波器以某種準(zhǔn)則為依據(jù)，根據(jù)信號(hào)的變化自動(dòng)調(diào)整其參數(shù)，從而使與濾波器輸出相關(guān)的目標(biāo)性能函數(shù)的值最小。遞歸最小二乘算法(RLS)是改進(jìn)的最小二乘算法，在原有估算結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用新引入數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，是一種通過迭代的方式尋求每一步最優(yōu)的算法，大大減小了傳統(tǒng)最小二乘算法的計(jì)算量，并加快了自適應(yīng)濾波器的收斂速度，提高了穩(wěn)定性［9－10］。

如果濾波器輸入信號(hào)為x(i)，濾波器輸出信號(hào)為y(i)，則:

式中:wj(i)為抽頭權(quán)值;M 為濾波器階數(shù)。

相對(duì)期望輸出的誤差:

式中:d(i)為期望的輸出信號(hào)。

在最小二乘法中，抽頭權(quán)值wj(i)的選取，應(yīng)當(dāng)使輸出誤差e(i)的平方和構(gòu)成的代價(jià)函數(shù)J 最小。

于是，J 可定義:

式中:λ 為不大于1 的常數(shù)。

式(7)中的λn－i作為指數(shù)加權(quán)因子，i 越小，說明過去的時(shí)刻也久，其對(duì)代價(jià)函數(shù)的影響越小，反之，則越大。

為求得J 最小時(shí)的自適應(yīng)濾波器的抽頭權(quán)值，對(duì)式(7)進(jìn)行求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)為零，于是可得:

其中:

式中:X(i)=［x(i)，x(i－1)，…，x(i－M+1)］T;W(n)=［w1(n)，w2(n)，…，wM(n)］T。

當(dāng)式(8)成立時(shí)，求得的W(n)即為所求的最優(yōu)抽頭權(quán)值。這就是最小二乘的批處理方法，由于每個(gè)數(shù)據(jù)都參與重復(fù)計(jì)算，因此這種方法的運(yùn)算量大，不適合計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)處理，而采用遞歸的最小二乘算法)可以減少運(yùn)算量。根據(jù)文獻(xiàn)［11］，可得基于遞歸最小二乘算法自

適應(yīng)濾波器的數(shù)學(xué)模型。

g(n)的更新公式:

其中:

3 結(jié)果分析

為驗(yàn)證基于RLS 算法的自適應(yīng)濾波器從電機(jī)定子繞組中提取高頻響應(yīng)電流的優(yōu)越性，本文分別對(duì)巴特沃斯帶通濾波器和基于RLS 算法的自適應(yīng)濾波器進(jìn)行了仿真研究。在15 r/min、1 200 r/min和3 000 r/min 三種速度下，用兩種濾波器提取高頻響應(yīng)電流，并對(duì)其的頻譜進(jìn)行了分析，分析結(jié)果如圖4 ～圖6 所示。

圖4 提取的高頻響應(yīng)電流頻譜(n=15 r/min)

圖5 提取的高頻響應(yīng)電流頻譜(n=1 200 r/min)

圖6 提取的高頻響應(yīng)電流頻譜(n=3 000 r/min)

從上面的頻譜圖中可以看出，當(dāng)運(yùn)行速度較低時(shí)，高頻響應(yīng)電流的正序分量和負(fù)序分量的頻率非常接近，速度越高，兩者的頻率差值也越大;但是無論是在高速還是在低速，利用普通的巴特沃斯帶通濾波器提取的高頻響應(yīng)電流中，包含較多的雜波成分;而利用基于RLS 算法的自適應(yīng)濾波器提取的高頻響應(yīng)電流，其雜波較小，這有利于將負(fù)序高頻響應(yīng)電流分量從高頻響應(yīng)電流中分離出來，從而提高了電動(dòng)機(jī)動(dòng)子位置的檢測(cè)精度。

4 結(jié) 語

本文針對(duì)普通帶通濾波器提取的高頻響應(yīng)電流中雜波成分較多的缺陷，提出將基于遞歸最小二乘算法的自適應(yīng)濾波器引入永磁直線同步電動(dòng)機(jī)無傳感器伺服控制系統(tǒng)中，用于提取包含有動(dòng)子位置信息的高頻響應(yīng)電流。頻譜分析結(jié)果表明，新濾波器提取的信號(hào)與普通巴特沃斯帶通濾波器提取的信號(hào)相比較，其提取的信號(hào)中包含的雜波成分較小，因此其濾波器的性能更好，有利于提高動(dòng)子位置的檢測(cè)精度。

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