吳圣川， 喻 程， 張衛(wèi)華， 薛弼一

(西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都610031)

氣孔和裂紋是鋁合金熔焊接頭中常見(jiàn)的、難以消除的缺陷，嚴(yán)重影響著鋁合金焊接結(jié)構(gòu)的服役性能. 研究發(fā)現(xiàn)，氣孔引起的應(yīng)力集中易成為疲勞裂紋的萌生源，而且氣孔與裂紋之間的交互作用，將顯著改變裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)［1］.

文獻(xiàn)［2］在研究鑄造鋁合金的疲勞長(zhǎng)裂紋擴(kuò)展行為時(shí)，指出主裂紋優(yōu)先沿鑄造孔洞擴(kuò)展. 文獻(xiàn)［3］在考察氣孔對(duì)短裂紋擴(kuò)展的影響時(shí)發(fā)現(xiàn)，孔洞的存在易使周圍基體產(chǎn)生塑性變形，形成局部應(yīng)力集中，加速小裂紋擴(kuò)展;當(dāng)裂紋穿越孔洞后，裂紋擴(kuò)展速度又會(huì)下降. 此外，當(dāng)孔洞相互連接時(shí)對(duì)裂紋的影響較大.以上研究均基于斷口觀測(cè).

文獻(xiàn)［4］采用疊加原理給出了半無(wú)限裂紋與單橢圓孔洞交互作用的級(jí)數(shù)解. 文獻(xiàn)［5］用解析的方法研究了無(wú)限大平板中內(nèi)部裂紋與孔洞相互作用的問(wèn)題. 但解析法推導(dǎo)過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，只能適用于簡(jiǎn)單的平面問(wèn)題.

為了研究氣孔與裂紋的交互作用，傳統(tǒng)有限元法需在氣孔周圍和裂紋尖端采用致密的網(wǎng)格，其建模復(fù)雜度及計(jì)算成本巨大，并且由于氣孔分布的隨機(jī)性，使模擬氣孔與裂紋的相互作用變得更為困難. 文獻(xiàn)［6］采用雜交多邊形有限元(hybrid polygonal element，HPE［7-9］)將氣孔等包含在一個(gè)任意凸多邊形單元內(nèi)，在遠(yuǎn)離氣孔的區(qū)域仍然采用傳統(tǒng)的單元網(wǎng)格，以此估計(jì)點(diǎn)焊接頭氣孔致疲勞損傷的影響. 結(jié)論如下:在拉伸和剪切應(yīng)力下，氣孔對(duì)Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ有顯著影響;邊緣氣孔比內(nèi)部氣孔的影響更大;隨著裂紋的擴(kuò)展，氣孔的屏蔽效應(yīng)減弱.

以上使用的雜交單元具有以下特征:

(1)將缺陷包含在1 個(gè)凸多邊形單元內(nèi);

(2)利用Hellinger-Reissner 原理來(lái)建立剛度矩陣;

(3)用復(fù)勢(shì)函數(shù)描述單元的應(yīng)力和位移分布;

(4)保角映射方便形函數(shù)、應(yīng)力和位移邊界處理.

本文建立了含橢圓缺陷HPE 法及含裂尖HPE的多邊形單元格式，驗(yàn)證了其有效性和精度. 在此基礎(chǔ)上，把HPE 法用于鋁合金熔焊氣孔與裂紋交互作用機(jī)理的研究，分析氣孔對(duì)由焊根萌生的主裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，為定量表征氣孔致疲勞損傷行為及壽命演變規(guī)律提供理論基礎(chǔ).

1 含橢圓缺陷和含裂尖的HPE

1.1 含橢圓洞及含裂尖的HPE

圖1 所示為內(nèi)部包含1 個(gè)橢圓形洞或邊界裂紋的多邊形單元.

圖1 中:xOy 為全局坐標(biāo)系;x1Oy1為單元局部坐標(biāo)系;n1、n2分別為外邊界Γ1和內(nèi)邊界Γ2的法向量;Ω 為基體區(qū)域. 由于該類單元常與其他單元鄰接，并且在焊接接頭或者其他復(fù)合材料內(nèi)部，氣孔或者裂紋面往往不受外力，故Γ1存在確定的未知位移，Γ2為自由邊界. 因此，構(gòu)造特殊單元的問(wèn)題，實(shí)際上就是求解混合邊值問(wèn)題.

圖1 含洞HPE 和含裂尖HPE Fig.1 HPEs with a hole or a crack tip

根據(jù)Hellinger-Reissner 原理，若滿足

則圖1 問(wèn)題的泛函為

若還滿足

則該問(wèn)題的泛函可進(jìn)一步簡(jiǎn)寫(xiě)為

式中:

σij、uij分別為Ω 內(nèi)的應(yīng)力分量和位移分量;

ti為邊界力分量;

Sijkl為柔度分量;

udi為Γ1上確定的未知位移分量;

tdi為Γ2上確定的未知邊界力分量;

i，j，k，l=1，2.

通過(guò)復(fù)勢(shì)函數(shù)的方法［10-11］，可以構(gòu)造出區(qū)域Ω上具有如下形式的應(yīng)力和位移場(chǎng)

式中:

P、U 分別為應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的特殊形函數(shù);

β 為復(fù)勢(shì)函數(shù)作有限項(xiàng)Laurent 級(jí)數(shù)展開(kāi)后的未知系數(shù)向量.

另外，在Γ1上，通過(guò)插值函數(shù)矩陣L 可以把指定的邊界位移

表示為

式中:

qe為Γ1上的節(jié)點(diǎn)位移.

根據(jù)式(6)，只要在相鄰單元的邊界上位移插值形式相同，HPE 就與其周圍的其他單元滿足位移協(xié)調(diào)條件.

對(duì)于式(2)所示泛函，可得單元?jiǎng)偠染仃?/p>

式中:

G 為P 與L 在Γ1上的積分;

Hα(α=1，2)為P 與U 在Γα上的積分;

S 為單元局部坐標(biāo)x1Oy1轉(zhuǎn)變?yōu)槿肿鴺?biāo)xOy的轉(zhuǎn)換矩陣.

對(duì)于式(4)所示泛函，可得單元?jiǎng)偠染仃?/p>

本文用式(7)構(gòu)造含橢圓洞的HPE，用式(8)構(gòu)造含裂尖的HPE.

1.2 含橢圓夾雜HPE

考慮一個(gè)包含橢圓形夾雜的特殊多邊形單元，為了使用疊加原理求解，需要把該問(wèn)題分解為兩個(gè)子問(wèn)題，如圖2 所示，圖中:下標(biāo)ou 和in 分別代表基體區(qū)和夾雜區(qū).

圖2 含夾雜HPE 及其單元構(gòu)造問(wèn)題分解Fig.2 An HPE with an inclusion and its decomposition

圖2 中，子問(wèn)題A 的泛函為

子問(wèn)題B 的泛函為

為了使這兩個(gè)子問(wèn)題的解復(fù)合后得到原問(wèn)題的解，需要滿足的連續(xù)性條件為

利用式(5)、式(9)～(11)，可得含橢圓夾雜HPE 的單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

式中:

Gou為Pou與L 在Γ2上的積分;

Hα為Pou與Uou在Γα上的積分;

HΓ為Pou與Uin在Γ2上的積分.

式(7)、(8)和(12)中各變量的定義可見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)［9］.

2 HPE 法的有效性和精度

2.1 含橢圓洞無(wú)限大板

受單向拉伸作用的中心處包含1 個(gè)橢圓洞大平板(用于模擬無(wú)限大板)以及網(wǎng)格剖分形式如圖3 所示，圖中陰影部分表示1 個(gè)含橢圓洞的雜交四邊形單元.

圖3 含橢圓洞的無(wú)限大板計(jì)算模型Fig.3 A large plate with a central elliptical hole

圖3 中，當(dāng)a/b=1，0.5 時(shí)，上述問(wèn)題分別變?yōu)? 個(gè)中心包含圓洞和包含橢圓洞的無(wú)限大平板問(wèn)題.表1 給出了空洞邊緣θ=0°，90°處，標(biāo)準(zhǔn)化的環(huán)向應(yīng)力σθ/σ0(σθ、σ0分別為環(huán)向和外加應(yīng)力)的HPE 法數(shù)值解和理論解結(jié)果.

從表1 可以看出，使用HPE 法計(jì)算得到的數(shù)值解的誤差均小于0.6%，當(dāng)洞的尺寸相對(duì)于單元尺寸縮小時(shí)，精確度會(huì)進(jìn)一步提高，這是由于洞的尺寸縮小時(shí)，HPE 與相鄰單元的應(yīng)力梯度變小，在邊界上結(jié)點(diǎn)數(shù)目不變的情況下，其精度會(huì)進(jìn)一步提高.

以上結(jié)果表明，含橢圓洞的HPE 是有效的，可以用于模擬熔焊接頭內(nèi)的氣孔行為.

表1 含橢圓洞的數(shù)值解與理論解比較Tab.1 Comparison of the numerical and theoretical results for a large plate with an elliptical hole

2.2 含橢圓夾雜的無(wú)限大板

受單向拉伸作用的中心處含1 個(gè)橢圓形夾雜的大平板(模擬無(wú)限大板)，如圖3 所示，圖中陰影部分視為含1 個(gè)橢圓洞的雜交四邊形單元. 當(dāng)a/b=0.5 時(shí)，問(wèn)題變成1 個(gè)中心含橢圓夾雜的無(wú)限大平板問(wèn)題.對(duì)于不同的Ein/Eou(Ein和Eou分別為基體和夾雜的彈性模量)，本文給出了橢圓形夾雜邊緣在θ =0°，90°時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化環(huán)向應(yīng)力σθ/σ0的數(shù)值解，并與參考解［12］進(jìn)行對(duì)比，如圖4 所示.

圖4 標(biāo)準(zhǔn)化環(huán)向應(yīng)力的數(shù)值解與參考解對(duì)比Fig.4 Comparison of the numerical and referential normalized hoop stresses for various Ein/Eou

從圖4 可以看出，HPE 法求得的數(shù)值解與參考解誤差不超過(guò)0.5%，表明含橢圓夾雜HPE 也是有效的.在后續(xù)研究中，含橢圓夾雜HPE 將用于研究單個(gè)氣孔(或多個(gè)氣孔)對(duì)裂紋的影響.

2.3 含邊裂紋的有限板條

考慮寬度為W 的大板條(用于模擬有限寬的無(wú)限長(zhǎng)板條)，中部含有一個(gè)長(zhǎng)度為l 的邊界裂紋，在板條的兩端作用有垂直于裂紋方向均勻的拉應(yīng)力σ0，如圖5 所示，圖中陰影部分是含裂尖的雜交四邊形單元. 文獻(xiàn)［13］給出了裂尖處標(biāo)準(zhǔn)化Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的經(jīng)驗(yàn)公式.

圖5 受單向拉伸含邊裂紋有限寬板的計(jì)算模型Fig.5 A large plate with a limited width and an edge crack

當(dāng)l/W=0.5 時(shí)，裂尖處標(biāo)準(zhǔn)化的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子理論值和HPE 法數(shù)值解分別為2.826 4、2.814 8，誤差為0.41%.

分析顯示，裂尖處使用1 個(gè)單元即可準(zhǔn)確描述尖端應(yīng)力場(chǎng)，誤差小于0.5%.因此，含裂尖HPE 可用于模擬熔焊接頭中的疲勞裂紋擴(kuò)展行為.

2.4 邊界裂紋與1 個(gè)氣孔的相互作用

考慮帶有邊界裂紋的大平板(用于模仿無(wú)限大板)，裂紋前端與裂尖距離為d 處，有一半徑為r的圓洞，平板遠(yuǎn)端垂直于裂紋方向受到均勻的拉應(yīng)力，如圖6 所示，其中陰影部分分別為含裂尖的雜交四邊形單元(左)和含圓洞的雜交四邊形單元(右).裂紋尖端標(biāo)準(zhǔn)化Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的無(wú)限形式理論解的前3 項(xiàng)［4］為

式中:

KⅠE為裂紋前端包含圓洞時(shí)裂尖附近的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子;

KⅠ0為裂紋前端沒(méi)有圓洞時(shí)裂尖附近的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子.

使用HPE 法來(lái)求解這一問(wèn)題，其網(wǎng)格劃分如圖6 所示.

KⅠE/KⅠ0的數(shù)值結(jié)果與使用式(13)計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖7 所示.從圖7 可以看出，使用HPE 法求得數(shù)值解較理論解偏大，這是因?yàn)槭?13)只包含有限項(xiàng)，其計(jì)算結(jié)果較實(shí)際情況偏小. 在r/d ＜0.25 時(shí)，HPE 法具有較高的精度，誤差小于0.05%.隨著r/d 增大，即裂紋尖端與氣孔的距離越來(lái)越近時(shí)，HPE 法的精度變差.這是因?yàn)殡S著裂尖越來(lái)越靠近氣孔，裂尖與氣孔作用強(qiáng)烈，相應(yīng)區(qū)域的應(yīng)力梯度變大，式(13)的精度會(huì)越來(lái)越差［4］，并且在網(wǎng)格不變的情況下，HPE 法的計(jì)算精度也會(huì)變差.

圖7 KⅠE/KⅠ0的理論解與數(shù)值解對(duì)比Fig.7 Comparison of the theoretical and numerical normalized SIF of modeⅠKⅠE/KⅠ0

3 熔焊氣孔與裂紋相互作用

文獻(xiàn)［14］表明，鋁合金激光-電弧熔焊接頭中氣孔的分布特征為焊縫上部尺寸較大，而下部尺寸較小，大小約0.001 ～0.2 mm.仔細(xì)辨識(shí)和統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，氣孔皆為規(guī)則的近圓形，內(nèi)部光滑，枝晶端頭排列整齊，為典型的氫氣孔特征.

圖8(a)為長(zhǎng)6 mm、厚2 mm 的熔焊接頭.取含3 個(gè)典型氣孔的接頭橫截面，自下而上半徑為0.05、0.10、0.20 mm，依次記為A、B、C，如圖8(b)所示.

圖8 熔焊接頭試樣及分析模型Fig.8 A sample of fusion weld and its computational model

主裂紋自右側(cè)焊根的一個(gè)矩形缺口處萌生，并沿橫向往接頭內(nèi)部擴(kuò)展，裂紋初始長(zhǎng)度為0.107 4 mm.母材的彈性模量約為69 GPa，接頭的彈性模量約為71 GPa，泊松比均為0.3. 本文采用HPE 法分析由焊根處萌生的邊界裂紋與接頭內(nèi)氣孔的交互作用.

3.1 模型建立

使用HPE 法得到的熔焊接頭試樣HPE 網(wǎng)格模型如圖8(b)所示，其中有4 個(gè)HPE，分別包含主裂紋裂尖和3 個(gè)氣孔.該模型共包含657 個(gè)節(jié)點(diǎn).而要達(dá)到類似的精度，使用傳統(tǒng)有限元法建立的網(wǎng)格模型(圖8(c))，共包含3 522 個(gè)節(jié)點(diǎn)，其在缺陷周圍所使用的網(wǎng)格數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)多于HPE 法.

為了考察單個(gè)氣孔(或多個(gè)氣孔)對(duì)焊根處裂紋的影響，本文探究了4 種情況:

情況1 接頭內(nèi)沒(méi)有氣孔;

情況2 接頭內(nèi)僅包含氣孔A;

情況3 接頭內(nèi)僅包含氣孔A 和B;

情況4 接頭內(nèi)包含全部3 個(gè)氣孔A、B 和C.

以上情況，試樣兩端均施以相同的均勻拉力302 MPa，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，計(jì)算主裂紋裂尖處的KⅠE和KⅡE(Ⅱ型)，并分別對(duì)情況1 所得結(jié)果KⅠ0和KⅡ0作標(biāo)準(zhǔn)化處理.

3.2 裂紋與氣孔相互作用計(jì)算與分析

上述4 種情況的計(jì)算均不需要重新劃分網(wǎng)格，只需對(duì)4 個(gè)HPE 作不同的單元設(shè)置來(lái)實(shí)現(xiàn). 具體方法是，將需要消除影響的氣孔用相同的材料填充，即將含圓洞的單元變成1 個(gè)包含彈性?shī)A雜的HPE.計(jì)算中，為了保持位移的協(xié)調(diào)性，在HPE 與傳統(tǒng)四邊形單元交界的邊上要采用與傳統(tǒng)四邊形單元一致的插值階次.

基于HPE 計(jì)算模型，使用FORTRAN 語(yǔ)言編程計(jì)算，對(duì)于情況1，可得KⅠ0=299.11 MPa·m1/2，KⅡ0=3.048 3 MPa·m1/2，與情況1 的計(jì)算方法相同，其他標(biāo)準(zhǔn)化應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖9.

圖9 使用HPE 法的計(jì)算結(jié)果Fig.9 Numerical results obtained by HPE method

由圖9 可知，氣孔A 對(duì)Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子均有增強(qiáng)作用，Ⅰ型和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子分別增大2.15%和324%，氣孔A 與氣孔B 的組合對(duì)Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的增強(qiáng)作用加強(qiáng)，對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的增強(qiáng)作用減弱.

這說(shuō)明氣孔B 同樣引起裂尖處Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子增大，但引起Ⅱ形應(yīng)力強(qiáng)度因子減小.氣孔A、B 和C 的組合，明顯降低了裂紋尖端Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，也使得對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的增強(qiáng)作用大大減弱.

這說(shuō)明遠(yuǎn)離裂尖的大氣孔C 具有明顯降低裂尖Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的作用.

以上結(jié)果表明，不同位置和大小的氣孔的耦合作用對(duì)裂尖應(yīng)力場(chǎng)影響較大.

4 結(jié) 論

基于HPE 法，對(duì)鋁合金熔焊氣孔與裂紋的相互作用進(jìn)行了模擬分析，考察了不同位置的氣孔對(duì)裂尖處應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.

(1)與傳統(tǒng)有限元法相比，HPE 法可用更少的單元數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)取得較高的計(jì)算精度，并且可在不重分網(wǎng)格的情況下，單獨(dú)研究某個(gè)(些)氣孔對(duì)主裂紋的影響，較適于考察氣孔與裂紋的相互作用.

(2)氣孔尺寸不是決定裂紋萌生的主要因素，本文分析結(jié)果表明，位于接頭下部的小氣孔傾向于增強(qiáng)裂尖處的應(yīng)力強(qiáng)度因子，位于接頭上部邊緣處的大氣孔傾向于減弱裂尖處的應(yīng)力強(qiáng)度因子. 因此，裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的變化是不同位置和大小的氣孔與裂紋相互耦合作用的結(jié)果.

(3)氣孔距離裂紋越近，兩者作用愈強(qiáng)烈.

致謝:牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主課題(2013TPL_T05)項(xiàng)目資助.

［1］ CHAN K S. Roles of microstructure in fatigue crack initiation［J］. International Journal of Fatigue，2010，32(9):1428-1447.

［2］ MO Defeng，HE Guoqin，HU Zhengfei，et al. Crack initiation and propagation of cast A356 aluminum alloy under multi-axial cyclic loadings［J］. International Journal of Fatigue，2008，30(10):1843-1850.

［3］ GERARD D A，KOSS D A. The influence of porosity on short fatigue crack growth at large strain amplitudes［J］.International Journal of Fatigue，1991，13(4):345-352.

［4］ GONG S X，MEGUID S A. Microdefect interacting with a main crack:a general treatment［J］. International Journal of Mechanical Sciences，1992，34(12):933-945.

［5］ HU K X，CHANDRA A，HUANG Y. Multiple voidcrack interaction［J］. International Journal of Solids and Structures，1993，30(11):1473-1489.

［6］ ZHANG J，DONG P S. A hybrid polygonal element method for fracture mechanics analysis of resistance spot welds containing porosity［J］. Engineering Fracture Mechanics，1998，59(6):815-825.

［7］ TONG Pin，PIAN T H H，LASRY S J. A hybridelement approach to crack problems in plane elasticity［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering，1973，7(3):297-308.

［8］ PILTNER R. Special finite elements with holes and internal cracks［J］. International Journal for Nnumerical Methods in Engineering，1985，21(8):1471-1485.

［9］ 吳圣川，朱宗濤，李向偉. 鋁合金的激光焊接及性能評(píng)價(jià)［M］. 北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2014:161-174.

［10］ MUSKHELISHVILI N I. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity［M］. Groningen:Noordhoff，1953:148-195.

［11］ PIAN T H H，WU Changchun. A rational approach for choosing stress terms for hybrid finite element formulations［J］. International Journal for Numerical Methods in Engineering，1988，26(10):2331-2343.

［12］ SOH A K，YANG C H. Numerical modeling of interactions between a macro-crack and a cluster of micro-defects［J］. Engineering Fracture Mechanics，2004，71(2):193-217.

［13］ 中國(guó)航空研究院. 應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)［M］. 增訂版. 北京:科學(xué)出版社，1993:251-252.

［14］ WU Shengchuan，YU Xiao，ZUO Ruzhong，et al.Porosity，element loss and strength model on softening behavior of hybrid laser arc welded Al-Zn-Mg-Cu alloy with synchrotron radiation analysis［J］. Welding Journal，2013，92(3):64-71.