金 遜

(安徽省臨泉一中，安徽 臨泉 236400)

1 問題的提出

在曲線運(yùn)動部分，一般的教輔資料都有物體在豎直軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動的問題.圖1所示，是常見的一種物理情景.筆者研究過多種教輔資料，發(fā)現(xiàn)它們在討論軌道對地面壓力最小或最容易跳起的條件時，都犯了同樣的錯誤:不加分析，直接以圓周運(yùn)動的物體到達(dá)最高點(diǎn)作為臨界條件進(jìn)行求解.如《3年高考 2年模擬·物理》［1］，《試題調(diào)研·高考必備題 1000 例》［2］，《金版新學(xué)案》［3］，《精講精練》［4］等資料均是如此處理.這些資料均認(rèn)為，物體在最高點(diǎn)時對軌道的作用力處于豎直方向.因此，物體在最高點(diǎn)時，軌道對地面的壓力最小.筆者研究后發(fā)現(xiàn)，物體在最高點(diǎn)時對軌道豎直方向的作用力不一定最大.相應(yīng)的，此時軌道對地面壓力不一定最小，即軌道最容易跳起的位置不一定在物體圓周運(yùn)動的最高點(diǎn).物體做圓周運(yùn)動的條件與軌道跳起的條件不一定相同.

2 無動力自由圓周運(yùn)動

2.1 錯解實例

下面以《3年高考2年模擬》中的一個試題為例來具體說明(為與后面的表述一致，圖的序號及表示物理量的字母有調(diào)整).

圖2

如圖2所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，B不能左右運(yùn)動，在環(huán)的最低點(diǎn)靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m.現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時速度v，小球會在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動，為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起(不計小球與環(huán)的摩擦阻力)，判斷瞬時速度必須滿足的條件.

該書的解答如下:

2.2 兩者的臨界條件一定相同嗎

乍一看，以上分析合情合理.處理物體在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動問題時，我們幾乎是不假思索地從最高點(diǎn)分析臨界條件.從而形成了一種定式思維，碰到豎直軌道內(nèi)的圓周運(yùn)動問題，必從最高點(diǎn)分析其臨界條件.因此，大部分師生看了上述解法后，表示了對該解法的認(rèn)可.但是，這種解法是錯誤的.

盡管物體與軌道之間滿足相互作用力等大反向，但物體能否做完整的圓周運(yùn)動，與軌道能否跳起需要分析的力以及判斷的方向并不一致.物體能否做完整的圓周運(yùn)動，關(guān)鍵要分析沿半徑方向的受力情況，判斷其與軌道的彈力是否減為0.而軌道能否跳起，則關(guān)鍵要考慮豎直方向受力情況，分析軌道與地面的彈力是否減為0.也就是說，軌道跳起的臨界條件與物體做完整的圓周運(yùn)動的臨界條件分析思路不同.因此，臨界條件不一定相同.

該錯誤解法，犯了隨意擴(kuò)大規(guī)律使用范圍的毛病.物體在豎直軌道內(nèi)的圓周運(yùn)動，其臨界位置在最高點(diǎn)，從而想當(dāng)然的認(rèn)為軌道跳起的臨界條件也必須從最高點(diǎn)分析.

2.3 物體在豎直面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動的臨界條件分析

圖3

如圖3所示，小球在豎直圓軌道內(nèi)做完整圓周運(yùn)動.設(shè)軌道半徑為r，小球在某位置時，半徑與豎直方向夾角為θ，軌道對小球的彈力大小為F.小球位于圓心所在水平面下方是不可能脫軌的，以下只討論小球位于圓心所在水平面上方的情況.根據(jù)牛頓第二定律，沿半徑方向有

當(dāng)F=0時，為脫離豎直圓軌道的臨界條件.如果此時θ進(jìn)一步減小，要求F為負(fù)即方向相反，沿半徑向外.而軌道對小球的彈力是不可能沿半徑向外的，這意味著小球已經(jīng)脫離軌道.

可見，θ越小，小球越容易脫離軌道.所以，小球在豎直圓軌道內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，其臨界條件是在最高點(diǎn)時軌道彈力為0，重力正好提供向心力.

2.4 特殊值法判斷該錯誤解法不成立

假設(shè)小球在軌道最高點(diǎn)時，速度為v1=，滿足，此時小球與軌道之間的彈力剛好為0.所以，此位置軌道不可能跳起.

由“2.3”的分析已知，軌道與小球之間的彈力F隨θ的減小而減小.如果在最高點(diǎn)小球與軌道之間的彈力剛好為0.則在其他位置時，小球與軌道之間的彈力并不等于0.在圓心所在水平面上方，軌道對小球的彈力斜向下指向圓心，小球?qū)壍赖膹椓π毕蛏媳畴x圓心，如圖3和圖4所示.小球?qū)壍缽椓Υ嬖谪Q直向上的分力，若軌道重力較小就有可能跳起.

2.5 最容易跳起的臨界位置在哪里

既然，最高點(diǎn)不是最容易使軌道跳起的臨界位置.那么臨界位置到底在哪里?下面分析，在任意位置小球與軌道之間彈力的豎直分力的表達(dá)式.進(jìn)而判斷小球在何位置時最容易使軌道跳起?

設(shè)小球?qū)壍赖姆醋饔昧Υ笮镕'，如圖4所示.根據(jù)牛頓第三定律，F(xiàn)'與F大小相等，由(1)式得

圖4

設(shè)F'的豎直分量為Fy'，則

越靠近最高點(diǎn)，F(xiàn)'越小，而cosθ在增大，所以不能直接得出Fy'的大小變化情況.由(2)、(3)式得

設(shè)軌道最低點(diǎn)速度為v0，則從軌道最低點(diǎn)到夾角θ處，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，得

由(4)、(5)式得

上式是關(guān)于θ的復(fù)合函數(shù)，設(shè)cosθ=x，則(6)式變?yōu)?/p>

這是關(guān)于x的二次函數(shù).由于小球位于圓心所在水平面上方時，對軌道的彈力才有豎直向上的分量，才可能使軌道跳起.再考慮到對稱性，我們只要在0≤θ＜90°范圍內(nèi)分析即可.相應(yīng)的x的范圍為0＜x≤1.

設(shè)Fy'極大值為Fym'，則

由(8)、(9)式知，v0不同，F(xiàn)y'取極大值時對應(yīng)的x不同，相應(yīng)的θ也不同.即對于不同的初速度v0，F(xiàn)y'取極大值的位置不同，其極大值Fym'也不同.但是，對于確定的v0，F(xiàn)y'的極值是確定的，取極值時小球的位置即x、θ均是確定的.

為便于討論，由(8)、(9)式消去v0，得

設(shè)軌道與框架的總質(zhì)量為M，軌道剛好要跳起時，有

由(10)、(11)式解得，軌道要跳起時

2.6 結(jié)論

一般教輔資料，不經(jīng)討論，不管軌道與重物之間的質(zhì)量關(guān)系，直接在最高點(diǎn)作為臨界點(diǎn)求解，其過程和結(jié)論一般是錯的.只是在質(zhì)量關(guān)系巧合的情況下，其結(jié)論才可能是正確的.

3 有動力勻速圓周運(yùn)動

3.1 實例比較

這里再舉一個資料上常見的豎直面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動的例子.質(zhì)量為M的電動機(jī)，其飛輪上固定著一個小球，小球質(zhì)量為m，到軸的距離為r，如圖5所示.為了使電動機(jī)不從地面上跳起，電動機(jī)飛輪轉(zhuǎn)動的最大角速度不能超過多少?

該問題與以上討論的圓周運(yùn)動比較，不同之處在于這里電動機(jī)有動力，小球在做勻速圓周運(yùn)動，向心力大小不變.故上述因速度變化導(dǎo)致的向心力大小變化無需討論.共同之處，物體均在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動.

以上關(guān)于重力、彈力、向心力之間關(guān)系的表達(dá)式是否還成立呢?

考慮到，此例是“飛輪上固定著一個小球”，則飛輪對小球的彈力不一定沿半徑方向，所以以上討論的表達(dá)式不再成立，電動機(jī)從地面跳起的臨界位置需要從新討論.

圖5

3.2 最容易跳起的臨界位置

設(shè)小球受到電動機(jī)飛輪的彈力為F，由于小球是做勻速圓周運(yùn)動，其所受合力應(yīng)指向圓心，如圖6所示.這里F的大小方向在不斷改變，且變化規(guī)律不能簡單確定.由于最終是為了尋找電動機(jī)(軌道)從地面跳起的臨界位置，關(guān)鍵要考慮豎直方向受力情況.這里為了方便討論問題，我們沿水平、豎直兩個方向?qū)α?、加速度進(jìn)行正交分解，分方向應(yīng)用牛頓定律.

圖6

圖7

小球在做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)角速度為ω，其合加速度即向心加速度，設(shè)為a，其豎直分加速度設(shè)為ay，如圖7所示，則

要使電動機(jī)(軌道)跳起，在臨界位置小球?qū)︼w輪彈力的豎直分力應(yīng)該向上.根據(jù)牛頓第三定律，電動機(jī)(軌道)對小球彈力的豎直分力應(yīng)該向下，設(shè)其大小為Fy，由牛頓第二定律得mg+Fy=may.把a(bǔ)y代入，整理得Fy=mω2rcosθ-mg.

設(shè)小球?qū)﹄妱訖C(jī)(軌道)的反作用力大小為Fy'，與Fy大小相等，故

其中，m、ω、r、g均為定值，這是關(guān)于θ的三角函數(shù).

由三角函數(shù)知識，當(dāng) θ=0時，F(xiàn)y'取極大值，設(shè)為Fym'，則

所以，小球在電動機(jī)飛輪帶動下，做勻速圓周運(yùn)動，使電動機(jī)(軌道)跳起的臨界位置，應(yīng)該在圓周運(yùn)動的最高點(diǎn).要跳起的臨界狀態(tài)有Fym'=Mg，代入上式得，要跳起的角速度至少為

3.3 質(zhì)疑與釋疑

(1)特殊值法分析得出“矛盾”的結(jié)論.

有的教師套用無動力圓周運(yùn)動特殊值法分析，得到在其他位置時，有可能跳起，與以上分析“矛盾”.思路如下.

假設(shè)小球在軌道最高點(diǎn)時，滿足重力正好作為向心力，此時小球與飛輪之間的彈力剛好為0.自然，此位置軌道不可能跳起.

由于物體做勻速圓周運(yùn)動，所需向心力大小不變.在其他位置時，小球重力沿半徑方向分力作為向心力不夠，飛輪對小球應(yīng)有向里的彈力，補(bǔ)充向心力的不足.自然，小球?qū)︼w輪應(yīng)有向外的彈力，其豎直分力應(yīng)不為零，若電動機(jī)重力較小就有可能跳起.要是這樣的話，豈不與以上結(jié)論矛盾?問題出在哪里?

(2)釋疑解惑.

由前面“2.4”的討論，知道小球在圓軌道內(nèi)無動力運(yùn)動，軌道對小球彈力必沿半徑指向圓心.當(dāng)小球位于圓心所在水平面上方，軌道對小球的彈力斜向下指向圓心，小球?qū)壍赖膹椓π毕蛏媳畴x圓心，導(dǎo)致軌道可能跳起.

而這里討論的電動機(jī)飛輪上的小球做圓周運(yùn)動，其所受彈力不一定沿半徑方向.由于小球是做勻速圓周運(yùn)動，飛輪對小球的彈力F與重力mg的合力沿半徑指向圓心.

圖8

如果在最高點(diǎn)時重力正好作為向心力，由于是勻速圓周運(yùn)動，其他位置的向心力(合力)大小也正好等于重力.這樣，飛輪對小球的彈力總是大致向上的，即便在接近最高點(diǎn)時也是如此，如圖8所示.于是小球?qū)︼w輪的彈力總是斜向下.自然，是不可能使軌道跳起的.

可見，上述“假設(shè)小球在軌道最高點(diǎn)時，重力正好作為向心力”導(dǎo)出“矛盾”的過程有誤.以上“矛盾”出現(xiàn)的原因，混淆了兩種情況下彈力的方向.

4 總結(jié)

4.1 無動力變速圓周運(yùn)動

一般教輔資料，直接在最高點(diǎn)作為臨界點(diǎn)求解，其過程和結(jié)論一般是錯的.只是在特殊情況下，其結(jié)論才可能是正確的，但過程也是不合適的.

4.2 有動力勻速圓周運(yùn)動

如果物體在外力作用下做勻速圓周運(yùn)動，例如小球在電動機(jī)飛輪帶動下，做勻速圓周運(yùn)動.使軌道(電動機(jī))跳起的臨界位置確實在最高點(diǎn)，但是一般資料對問題的解答缺乏分析論證的環(huán)節(jié).

4.3 出錯的原因

一般教輔資料出錯的原因，在于混淆了物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動的條件與軌道跳起的條件.想當(dāng)然的認(rèn)為，它們之間既然存在相互作用力，其臨界條件也應(yīng)該相同.

1 曲一線.3年高考2年模擬·2013年高考物理安徽版.練習(xí)冊(4版)［M］.北京:首都師范大學(xué)出版社，2012(3):19.

2 杜志建.試題調(diào)研·高考必備題型1000例 物理(2版)［M］.烏魯木齊:新疆青少年出版社，2012(6):100.

3 孫明科.金版新學(xué)案.新課標(biāo).高三物理.課時作業(yè)［M］.北京:團(tuán)結(jié)出版社，2012(3):256.

4 王顯忠.精講精練.高考總復(fù)習(xí)物理(安徽專版)［M］.濟(jì)南:濟(jì)南出版社2013(4):62.