楊正理

（三江學(xué)院，江蘇 南京 210012）

0 引言

多分辨分析理論提供了構(gòu)造正交小波的一個基本框架。其基本方法是：先構(gòu)造一個滿足多分辨率的嵌套閉子空間序列{Vj}j∈z,并使它構(gòu)成整個L2(R)空間。在V0空間找一個函數(shù)φ(t),它的平移函數(shù)序列{φ(tk)}k∈z構(gòu)成V0空間的Riesz基。特別指出，Riesz基僅能保證序列{φ(tk)}k∈z線性無關(guān)，但并不能保證其構(gòu)成V0空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。一般的，我們可以對一個非正交的函數(shù)φ(t)通過正交化方法使其正交。則當(dāng) φ(t)∈V0時，序列{φ(t-k)}k∈z構(gòu)成 V0空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，φj,k(t)＝2j/2φ(2jt-k),j,k∈Z構(gòu)成Vj的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。于是，我們說φ(t)生成正交多分辨分析。這樣就可以通過φ(t)的二尺度方程求出相應(yīng)的濾波器系數(shù){hk},并根據(jù)φ(t)和{hk}采用Mallat算法對正交小波進(jìn)行分解與重構(gòu)。

通過上述分析，濾波器系數(shù){hk}是正交小波分析過程中十分重要的參數(shù)。然而，很多書藉及文獻(xiàn)中對這個重要參數(shù)的總和卻推導(dǎo)出了不同的結(jié)論。如文獻(xiàn)[1-2]中推導(dǎo)出濾波器系數(shù)總和；而文獻(xiàn)[3-5]中卻推導(dǎo)出。這兩種結(jié)論必然有一個是不合理的。這里僅用“不合理”而沒有用“錯誤”來說明這一結(jié)論，是因為即使在得到不合理結(jié)論的文獻(xiàn)中，并沒有因為這個不合理結(jié)論而造成更多其它理論上的錯誤，原因在于這兩個結(jié)論之間僅僅相差了一個的常倍數(shù)。但是，兩種截然不同的結(jié)論往往給讀者的閱讀造成困惑，給學(xué)習(xí)者特別是初學(xué)者的理解帶來不少困難。本文將對正交小波的濾波器系數(shù)總和這一結(jié)論的獲得過程重新進(jìn)行嚴(yán)格、完整的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從而得到一個合理的結(jié)論，以助學(xué)習(xí)者理解。之所以要重新完成該推導(dǎo)過程，是因為諸多文獻(xiàn)中在涉及到這塊內(nèi)容時鮮有完整的推導(dǎo)和證明過程，也許正是這個原因疏忽了這個不合理結(jié)論的存在。

1 正交小波濾波器系數(shù)總和的合理結(jié)論推導(dǎo)過程

正交小波濾波器系數(shù)的總和需由正交小波分析的二尺度方程得到，所以推導(dǎo)過程需由二尺度方程的有關(guān)定義開始推導(dǎo)。本文中所涉及的有關(guān)多尺度逼近、二尺度方程及多分辨分析的相關(guān)定義及內(nèi)容請參考相關(guān)文獻(xiàn)。

由多分辨分析概念得知，如果φ(t)為尺度空間V0的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)，其平移序列{φ(t-k)}k∈z構(gòu)成V0空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，而對任意的 j,k∈Z，φj,k(t)＝2j/2φ(2jt-k)構(gòu)成 Vj的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，則稱 φ(t)為尺度函數(shù)。又由于V0?V1，所以φ(t)也必然屬于V1空間，也即φ(t)必然可用V1空間的正交基φ1,k(t)線性展開(這里的φ(t)可認(rèn)為是尺度函數(shù)在0尺度空間下，平移量j＝0時所得到的函數(shù)，故可用φ0,0(t)方式來表示其含義)：

其中展開系數(shù) hk＝＜φ(t),φ1,k(t)＞，也稱低通濾波器系數(shù)。 由于式（1）描述的是相鄰兩個尺度空間基函數(shù)之間的關(guān)系，所次稱此式為二尺度方程。

又由于 Vj?Vj+1，φj,0(t)∈Vj，所以 φj,0(t)也必然屬于 Vj+1空間，也即φj,0(t)可用Vj+1空間的正交基φj+1,k(t)線性展開,如下：

其中展開系數(shù) hk′＝＜φj,0(t),φj+1,k(t)＞，且有

式（3）說明，正交小波的濾波器系數(shù)hk不隨尺度j的變化而變化。即二尺度關(guān)系存在于任意相鄰尺度j,j+1之間，那么式（1）與式（2）的表達(dá)式可統(tǒng)一為：

對式（4）兩邊同時對t積分得：

在式（1）兩里邊同時作Fourier變換，可得到二尺度方程的頻域表示：

由式（8）得：

令 ω=0，由式（9）可得 ，將此式代入式(10),可得：

式（1）到式（11）的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程是嚴(yán)密而完整的，因而得到的式（7）和式（11）的結(jié)論也應(yīng)該是完全合理的。 式（7）是從時域方面，式（11）是從頻域方面，說明了正交小波的濾波器系數(shù)總和應(yīng)為，在使用過程中應(yīng)注意不要用錯。

2 正交小波濾波器系數(shù)總和的不合理結(jié)論的產(chǎn)生原因

第1節(jié)中的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程分別從時域和頻域兩個方面得到了正交小波濾波器系數(shù)總和的結(jié)論，這也是各種文獻(xiàn)得到該結(jié)論最常用的兩種方法。而有些文獻(xiàn)得到的不合理結(jié)論的原因也正是在這兩種推導(dǎo)方法中產(chǎn)生的。

2.1 從時域方面得到不合理結(jié)論的過程

在多尺度逼近中，通常取 φj,k(t)＝φ(2jt-k)，特別是當(dāng) φj,k(t)具有內(nèi)插基函數(shù)特點時，對構(gòu)造各尺度空間Vj的近似函數(shù)fj十分便利。有的文獻(xiàn)中直接采用該φj,k(t)定義出二尺度方程形式：

注意，式（12）表示的二尺度方程與式（4）比較差了一個√2，而這種二尺度方程格式在不少文獻(xiàn)中均有采用。式（12）既表示了尺度空間V0和V1的關(guān)系，也表示了任意尺度空間Vj和Vj+1之間的傳遞關(guān)系，即可由式（12）得到更通用的二尺度方程：

根據(jù)式（1）至式（7）的推導(dǎo)過程可知，對式（13）兩邊同時積分可得到濾波器系數(shù)總和應(yīng)該為2，即

2.2 從頻域方面得到不合理結(jié)論的過程

從式（8）到式（12）的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知，對式（12）所表示的二尺度方程兩邊作Fourier變換，也能得到正交小波濾波器系數(shù)總和為2的結(jié)論，即。原因也在于式（12）的表達(dá)式與式（1）比較相差一個的倍數(shù)。

2.3 不合理結(jié)論的產(chǎn)生原因

通過對產(chǎn)生不合理結(jié)論的過程進(jìn)行分析，無論從時域方面還是從頻域方面得到不合理結(jié)論的根本原因都在于忽略了多尺度逼近定義與多分辨分析定義之間在條件之間存在著微小區(qū)別，從而采用了不合理的二尺度方程表達(dá)式，最終導(dǎo)致不合理結(jié)論的產(chǎn)生。關(guān)于多尺度逼近定義與多分辨分析定義之間在條件之間存在的區(qū)別可從以下兩點進(jìn)行說明：

（2）在多尺度逼近中，φ(t)∈V0?V1，雖然會隱含著 φ(t)可由{φ(2tk)}表示的事實，然而在多尺度逼近中常常考慮的是如何采用基函數(shù)對空間內(nèi)函數(shù)進(jìn)行逼近的情況，并不強(qiáng)調(diào)相鄰尺度子空間Vj和Vj+1之間的聯(lián)系。而在多分辨分析中，則重點強(qiáng)調(diào)二尺度方程式（4）是一種顯式的線性關(guān)系，重點強(qiáng)調(diào)二尺度方程表述了任意函數(shù)子空間Vj間的遞推關(guān)系，只有利用這種遞推關(guān)系，才有著名的Mallat快速算法的實現(xiàn)。

如果沒有注意到這些特點，從而混淆多尺度逼近及多分辨分析的基函數(shù)應(yīng)用，而構(gòu)造出不合理的二尺度方程，就會得到不合理的結(jié)論。

3 結(jié)語

本文從時域及頻域兩個方面對正交小波濾波器系數(shù)的總和這一結(jié)論進(jìn)行了嚴(yán)格與詳細(xì)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，不但十分明顯的得到了正交小波濾波器系數(shù)總和應(yīng)該為的結(jié)論，而且這一推導(dǎo)過程可對很多文獻(xiàn)中的有關(guān)小波分析理論內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充。同時，對有些文獻(xiàn)中得到正交小波濾波器系數(shù)總和為2的不合理結(jié)論所產(chǎn)生的過程及原因進(jìn)行了詳細(xì)的分析與敘述，進(jìn)而有力的驗證了濾波器系數(shù)總和應(yīng)為的結(jié)論。當(dāng)然，本人僅僅從這種不合理的結(jié)論會造成讀者學(xué)習(xí)困難的角度提出問題，對于這一不合理結(jié)論所造成的其它不良影響，希望同行們不吝賜教。

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