趙山崎，周立群

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津 300387）

一類具多比例時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性

趙山崎，周立群

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津 300387）

通過構造合適的Lyapunov泛函和運用Halanay時滯不等式，討論一類具多比例時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性，得到了判定該系統(tǒng)平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定的一個時滯獨立的充分條件.通過數(shù)值算例和仿真結果驗證了所得結論的有效性.

細胞神經(jīng)網(wǎng)絡；多比例時滯；全局指數(shù)穩(wěn)定性；Lyapunov泛函

自1988年Chua等[1]提出細胞神經(jīng)網(wǎng)絡（CNNs）以來，CNNs被廣泛應用于模式識別、圖像處理、聯(lián)想記憶等領域，這些應用一般要求平衡點是唯一且穩(wěn)定的.而信號傳輸和放大器有限次的開關都會導致系統(tǒng)產(chǎn)生時滯.在網(wǎng)絡運行中時滯是不可避免的，它會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且導致系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩、分叉和混沌等現(xiàn)象，從而改變系統(tǒng)的特性.因此對時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的研究具有重要的理論意義和實際應用價值.目前關于時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的各種穩(wěn)定性已有廣泛的研究[2-12].文獻[2-6]研究了不同類型的時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點的全局指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[7-9]通過構造Lyapunov-Krasovskill泛函和利用線性矩陣不等式，得到了細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的全局漸近穩(wěn)定性.文獻[10-12]研究了時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的魯棒穩(wěn)定性.

比例時滯是眾多時滯中的一種，目前對時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的研究主要集中于常時滯、有界變時滯、分布時滯等情況，對具比例時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的研究相對較少.比例時滯是一種無界的時變時滯，不同于無界的分布時滯，比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡屬于時滯微分方程的范疇，由于時滯微分方程的解析解很難求得，目前關于時滯微分方程的研究大部分集中于數(shù)值解.比例時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡可以根據(jù)比例時滯因子的大小和網(wǎng)絡運行所能允許的最大時滯來控制網(wǎng)絡的運行時間，所以研究比例時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡具有重大的意義[13-15].文獻[13]利用非線性測度討論了一類具多比例延時細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[14]研究了一類具多比例時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)周期性和穩(wěn)定性.本研究討論一類具多比例時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性，通過變換將多比例時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡轉(zhuǎn)化成等價的變系數(shù)常時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡，通過構造合適的Lyapunov泛函，得到了該系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，所得條件易于驗證，并給出例子及其仿真結果驗證所得結論的正確性.

1 模型描述與預備知識

考慮如下具多比例時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡模型

其中：i=1，2，…，n，n表示神經(jīng)元的個數(shù)；di＞ 0表示在與神經(jīng)網(wǎng)絡不連通并且沒有外部附加電壓差的情況下第i個神經(jīng)元恢復獨立靜息狀態(tài)的速率；aij、bij、cij分別表示第j個神經(jīng)元到第i個神經(jīng)元在時刻t、q1t、q2t聯(lián)接權的權重；q1、q2是比例時滯因子，滿足0＜q1，q2＜1，qit=t-（1-qi）t，i=1，2，（1-qi）t是時變的無界時滯函數(shù)，即當t→+∞時，（1-qi）t→+∞，i=1，2；ui（t）表示第i個神經(jīng)元的狀態(tài)；fj（·）表示第j個神經(jīng)元在時刻 t的輸出，j=1，2，…，n；Ii表示第 i個神經(jīng)元的偏置.

設系統(tǒng)（1）具有如下初始條件

其中：ui0表示 s∈[q，1]的初始值，為常數(shù)；q=min{q1，q2}.

設系統(tǒng)（1）的輸出函數(shù)fj（·）是Lipschitz連續(xù)的，即存在 Lj＞ 0，使得?uj，vj∈R，有

注1若fj（·）滿足Lipschitz連續(xù)，那么它可以是無界的，不可微的，也可以不是單調(diào)增的.

作變換vi（t）=ui（et），則系統(tǒng)（1）等價地變換成如下的變系數(shù)常時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡

條件（2）相應地變換為

式（4）是系統(tǒng)（3）的初始條件，其中：τ=max{τ1，τ2}，τ1=-ln q1＞0，τ2=-ln q2＞0；φi（s）=ui0，s∈[-τ，0]，i=1，2，…，n.設 φ =（φ1，φ2，…，φn）T.

注2 容易驗證系統(tǒng)（1）與（3）有相同的平衡點，因此要證明系統(tǒng)（1）平衡點的穩(wěn)定性只需證明系統(tǒng)（3）平衡點的穩(wěn)定性.

設 v*=（v1*，v2*，…，vn*）T是系統(tǒng)（3）的平衡點.令v（t）=（v1（t），v2（t），…，vn（t））T是異于v*的任一解，令yi（t）=vi（t）-vi*，則由系統(tǒng)（3）有

其中gj（yj（t））=fj（vj（t））-fj（vj*）.因此要證明系統(tǒng)（1）的平衡點的穩(wěn)定性只需證明系統(tǒng)（5）零解的穩(wěn)定性即可.

定義1 稱系統(tǒng)（3）的平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在M≥1，k＞0，使得

定義2 稱系統(tǒng)（3）的平衡點是全局吸引的，如果系統(tǒng)（3）的平衡點v*∈Rn和任意解v∈Rn滿足

引理[2]設常數(shù) α ＞β＞0，x（t）在 t≥ t0-τ上是非負的一元連續(xù)函數(shù)，且在t≥t0-τ上滿足如下不等式

2 主要結果

定理設fj（·）為Lipschitz連續(xù)的，且存在常數(shù)λ＞1，p、q∈R，ε＞0，使得

則系統(tǒng)（3）有唯一平衡點，并且該平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的.其中：

由定義1知，系統(tǒng)（5）的原點是全局指數(shù)穩(wěn)定的，故系統(tǒng)（3）的平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定且唯一的.從而系統(tǒng)（1）的平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

若在定理的證明過程中取p=q=1，ε=1，則可得如下推論.

推論設fj（·）為Lipschitz連續(xù)的，且

成立，則系統(tǒng)（1）有唯一平衡點，并且該平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

注3 推論與文獻[2]中定理是一致的，但是文獻[2]討論的是具有常時滯和變時滯的CNNs的穩(wěn)定性，而本研究討論無界時變的比例時滯，因此該推論可以看作文獻[2]的改進.

3 數(shù)值算例

例1 考慮如下二維神經(jīng)網(wǎng)絡

顯然6=a＞b+c+d=5，滿足定理的條件，故該系統(tǒng)存在唯一的全局指數(shù)穩(wěn)定平衡點u*，利用Matlab計算，得到平衡點為 u*=（0.335 5，0.256 1）T，仿真結果見圖1.

圖1 例1的仿真結果Fig.1 Simulated resultsof exam ple 1

4 結論

主要討論了一類具多比例時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性，通過變換vi（t）=ui（et）將具多比例時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡模型變換成等價的變系數(shù)常時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡模型，通過構造合適的Lyapunov泛函和利用Halanay時滯不等式，得到了這類時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，所得條件易于驗證，通過數(shù)值算例及仿真驗證了結果的正確性.

[1] CHUA L O，YANG L.Cellular neural network：theory and applications[J].IEEETransCAS，1988，35（10）：1257-1290.

[2] 程曉華，張國東.一類時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性分析[J].湖北師范學院學報：自然科學版，2010，30（3）：32-35.

[3]馬成榮.高階S-分布時滯廣義細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學學報，2011，26（3）：459-468.

[4] 張若軍，王林山.具有分布時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的概周期解[J].數(shù)學物理學報，2012，31（2）：422-429.

[5] 楊逢建，張超龍，吳東慶，等.具有時滯的一般型脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡的指數(shù)穩(wěn)定性[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學，2011，27（1）：1-6.

[6] LIU J.Global exponential stability of cellular neural networks with time-varyingdelays[J].Math Pract Theory，2009，39（15）：194-199.

[7]莫玉忠，丁明智，虞繼敏.變時滯非線性細胞神經(jīng)網(wǎng)絡穩(wěn)定性分析[J].重慶郵電大學學報：自然科學版，2010，22（6）：817-822.

[8] 羅日才，許弘雷.一類中立型時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的全局漸近穩(wěn)定性[J].計算機工程與應用，2012，48（6）：30-32.

[9] 宮大為，馮建，劉金海.帶有不確定的時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡漸近穩(wěn)定性分析[J].東北大學學報：自然科學版，2010，31（3）：313-316.

[10]李亞軍，鄧其飛，彭云建.變時滯模糊隨機細胞神經(jīng)網(wǎng)絡新的魯棒穩(wěn)定性[J].控制與決策，2011，26（8）：1197-1202.

[11]KAO Y G，GAO CC，HANW.Global exponential robust stability of reaction-diffusion interval neural networkswith continuously distributed delays[J].Neural Computing and Applications，2010，19（6）：867-873.

[12]CHENH B，ZHANGY，HU P.Noveldelay-dependent robust stability criteria for neutral stochastic delayed neuralnetworks[J].Neural Computing，2010，73（13）：2554-2561.

[13]張迎迎，周立群.一類具多比例時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的指數(shù)穩(wěn)定性[J].電子學報，2012，40（6）：1159-1163.

[14]周立群.多比例時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的指數(shù)周期性與穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學學報，2012，27（3）：480-488.

[15]ZHOU L Q.Delay-dependent exponential stability of cellular neural net-works with multi-proportional delays[J].Neural Process Letters，DOI10.1007/s11063-012-9271-8.

G lobal exponential stability of a class of cellular neural networksw ith multi-proportional delays

ZHAO Shanqi，ZHOU Liqun
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

Global exponential stability of a class of cellular neural networks with multi-proportional delays is studied.The sufficient conditions of global exponential stability of the equilibrium of system are obtained by constructing suitable Lyapunov functional and Halanay delay inequality.An example is given to illustrate the effectiveness of the result.

cellular neural networks；multi-proportional delays；global exponential stability；Lyapunov functional

O175.13；TP183

A

1671-1114（2014）01-0007-04

2013-02-16

國家自然科學基金資助項目（60974144）；天津市高等學?？萍及l(fā)展基金資助項目（20100813）；天津師范大學博士基金資助項目（52LX34）

趙山崎（1989—），女，碩士研究生.

周立群（1972—），女，博士，副教授，主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡理論及應用方面的研究.

（責任編輯 馬新光）