陸鐵堅，楊詩龍

(中南大學土木工程學院，湖南長沙410075)

目前，多重抗側(cè)力體系在工程中已得到廣泛應用［1－2］，多重抗側(cè)力結(jié)構(gòu)體系在水平荷載作用下的位移計算也展開了廣泛研究，袁泉等［3］研究了雙重彎剪型結(jié)構(gòu)，童樹根等［4］考慮了截面沿豎向的變化，應用串聯(lián)－并聯(lián)電路模型研究了雙重變截面變剛度彎剪型抗側(cè)力體系的水平位移的解析解，Lee等［5－6］研究了框架剪力墻結(jié)構(gòu)的靜力和動力可靠性。以上研究成果能很好地應用于規(guī)則多重抗側(cè)力體系，如規(guī)則框剪結(jié)構(gòu)、框筒結(jié)構(gòu)、密肋復合墻－剪力墻混合結(jié)構(gòu)等。工程實踐中經(jīng)常遇到復雜結(jié)構(gòu)體系，為了更好地進行復雜結(jié)構(gòu)體系在水平作用下的位移計算以及地震作用下的時程分析，可采用層模型來進行研究，層模型由于自由度少、求解迅速等特點，應用較廣，特別是彎剪型層模型既考慮了結(jié)構(gòu)的彎曲變形也考慮了剪切變形。趙西安等［7］提出了彎剪型層模型，并應用于實例;曹征良等［8］對彎剪型層模型進行了進一步研究，給出了結(jié)構(gòu)總抗側(cè)剛度矩陣。筆者認為，彎剪型層模型的彈塑性時程分析還有一些問題值得探討。在此，就層等效抗彎剛度和等效抗剪剛度的計算，層單元剛度矩陣的推導，拐點處理等幾個方面進行探討。

1 等效抗彎剛度和抗剪剛度的計算

包世華［9］指出可用靜力分析或模型試驗的方法，求出結(jié)構(gòu)在側(cè)向荷載{P}作用下的側(cè)移{x}和彎曲變形轉(zhuǎn)角{θ}，然后由原結(jié)構(gòu)和等效的層模型在樓層處側(cè)移和轉(zhuǎn)角分別相等的條件，折算出其等效的抗彎剛度EIi和抗剪剛度GAi。但原結(jié)構(gòu)樓層處的彎曲變形轉(zhuǎn)角很難由靜力分析或模型試驗得出，只能由水平位移的一階導數(shù)來替代，但根據(jù)Timoshenko兩廣義位移梁理論可知，水平位移的一階導數(shù)與彎曲轉(zhuǎn)角不再相等［10］，其差為剪切應變。文獻［7］由原結(jié)構(gòu)樓層處的位移相等得到了等效抗彎剛度和抗剪剛度，適用于各層梁、柱、墻的剛度沿豎向基本均勻或變化不大的結(jié)構(gòu)，為了拓寬等效EIi和GAi求解方法的應用范圍，本文選取2種荷載工況{P}，如圖1。使得每種荷載工況下原結(jié)構(gòu)和等效層模型的水平位移都對應相等。

圖1 2種荷載工況Fig．1 Two kinds of load condition

等效的層模型樓層處水平位移理論值的計算見下式［7］:

工況1下，1至N－1層僅發(fā)生彎曲變形，根據(jù)等效層模型和原結(jié)構(gòu)或試驗模型1至N－1層水平位移相等，可求出EI1至EIN－1，結(jié)合工況2，可得GA1至GAN－1，2工況下第N層等效層模型和原結(jié)構(gòu)或試驗模型分別對應相等，求出EIN和GAN。

2 層單元剛度矩陣的推導

彎剪型結(jié)構(gòu)的側(cè)向剛度矩陣一般由結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣通過縮聚的方法獲得，因此先要確定結(jié)構(gòu)的層單元剛度矩陣。文獻［8］根據(jù)節(jié)點平衡得到了總剛度矩陣，其單元剛度矩陣實質(zhì)上是考慮剪切變形的梁單元剛度矩陣，由于層模型的抗彎剛度和抗剪剛度不是實際上的EIi和GAι，而是根據(jù)樓層處水平位移相等等效計算出的等效抗彎剛度和抗剪剛度。本文采用圖2所示并聯(lián)電路模型計算層間位移。

圖2 并聯(lián)電路模型Fig．2 Parallel－ circuit model

層單元兩端自由度和桿端力向量為:

xi為第i層樓層處的水平位移，θi第i層樓層處的彎曲轉(zhuǎn)角。

假設虛位移為:

層間水平位移記為y(x)，則

設層間彎曲位移:

記yb(h)=yb，h為層高。

邊界條件有:

由式(7)可以解出 a1，a2，a3和 a4。

設i質(zhì)點相對于i－1質(zhì)點的剪切位移為ys。

則根據(jù)Timoshenko剪切梁的彎曲變形與剪切變形的基本關(guān)系［11］，即圖2并聯(lián)模型中的電壓1等于電壓2，有:

將式(6)代入式(8)得:

又由圖2模型可知:

將式(9)代入式(10)有:

層間剪力為:

剪切變形能為:

彎矩為:

彎曲應變能:

總勢能為:

由式(19)知，彎剪型層模型的層剛度矩陣即為考慮剪切變形的Timoshenko梁單元剛度矩陣。

3 拐點處理

進行彈塑性時程分析時需要引入恢復力模型，折線型恢復力都存在轉(zhuǎn)折點，即拐點。拐點前后結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的剛度發(fā)生變化，為防止誤差積累而嚴重影響解的精度，需處理好拐點問題。目前最常用的處理方法是:先計算t和t+Δt時刻結(jié)構(gòu)的響應，根據(jù)兩時刻的位移和速度判斷是否有拐點存在，若有拐點，則計算拐點出現(xiàn)時刻t+Δt0。以拐點出現(xiàn)時刻為分界點，分成更小的步長，依次對不同剛度狀態(tài)進行計算，求得其響應。因此需要計算拐點出現(xiàn)時刻。肖明葵等［12］提出的拐點精確計算方法，用于單自由度體系很方便，但用于多自由度體系的拐點處理較困難。文獻［8］采用線性插值方法搜索拐點，線性插值法假設(t，t+Δt)時間段內(nèi)位移線性變化，通過線性插值求得拐點出現(xiàn)時刻。但拐點前后結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化，位移線性變化假設誤差較大，所以線性插值法將影響解的精度?，F(xiàn)推導用于多自由度體系的拐點精確處理公式。

一般的，結(jié)構(gòu)的動力反應增量方程為:

注意到，層間位移、層間速度、層間加速度與相對地面位移、速度、加速度有如下關(guān)系:

將式(21)代入式(20)，得基于層間動力狀態(tài)參數(shù)的動力增量方程為:

當結(jié)構(gòu)狀態(tài)未發(fā)生變化時，{ΔP}=0。

對于加載點的拐點，即第1類、第3類拐點，出現(xiàn)拐點的樓層在拐點時刻層間位移為已知值。對于卸載點拐點，即第2類拐點，層間位移為0時出現(xiàn)拐點。

設拐點在(t，t+Δt)時間段出現(xiàn)，時刻為t+Δt0，顯然0 ＜ Δt0＜ Δt。在(t，t+ Δt0)時間段內(nèi)，對于加載點，根據(jù)Newmark－β法有:

將式(23)、(24)代入式(22)得:

其中:

解方程(25)并整理得:

式中:

對于卸載點，若第i層出現(xiàn)卸載點拐點，則第i層的層間速度為0。根據(jù)Newmark－β知:

則有:

同理可以得到卸載點拐點計算公式，同式(28)。此時各系數(shù)列向量為:

以上推導了拐點計算公式的一般式，該公式以基于層間狀態(tài)參數(shù)的動力方程為基礎，不引入新的假設。給出的系數(shù)列陣中，只含有t時刻的狀態(tài)參數(shù)和拐點出現(xiàn)時刻的位移或速度參數(shù)，若第i層出現(xiàn)拐點，則A(i)，B(i)，C(i)，D(i)，E(i)均為已知值，代入拐點計算公式方程(式(28))，即可求解出Δt0，滿足0＜Δt0＜Δt的最小解即為拐點出現(xiàn)時刻。適用于wilson－θ法的拐點計算公式同理可以推導。

4 算例

對文獻［8］中9層框架結(jié)構(gòu)，采用MATLAB編制程序，進行彈塑性時程分析，結(jié)構(gòu)的計算參數(shù)見表1。地震波選用Elcentro波，最大地面加速度調(diào)整為 200 gal，積分步長為 0．02 s，阻尼比采用0.05。

時程分析的計算結(jié)果的對比見表2。

由表2計算結(jié)果可知:與其他計算結(jié)果相比，本文計算的樓層底部(1～6層)的最大樓層位移偏大，而樓層上部(7～9層)的最大樓層位移值偏小;從最大層間位移來看，底下2層的最大層間位移偏大，中間層最大層間位移相差不大，頂上2層的最大層間位移偏小。特別是第2層為薄弱層，與其他方法計算結(jié)果值相比，本文計算的最大層間位移明顯偏大。原因在于線性插值法處理拐點時，引入了位移線性變化假設，而實際上位移絕非線性變化，而且沒有處理卸載點拐點，故其精度是較低的。

表1 9層框架結(jié)構(gòu)計算參數(shù)Table 1 Parameters of frame structure of 9 storeys

表2 計算結(jié)果比較Table 2 Comparison of calculated result

5 結(jié)論

(1)本文介紹的2種荷載工況，能用于求解彎剪型層模型等效抗彎剛度和抗剪剛度。且不同樓層之間的等效抗彎剛度和抗剪剛度是彼此獨立的，因此對于剛度沿樓層變化較大的結(jié)構(gòu)也適用。

(2)基于勢能駐值原理推導的層單元剛度矩陣是正確可行的，且易于編程。

(3)進行彈塑性時程分析時，計算精度在很大程度上取決于拐點處理方法，特別是薄弱層的最大層間位移隨拐點處理方法的不同而有較大差異。本文推導的拐點精確處理公式，直接基于拐點出現(xiàn)時刻的動力方程，而未引入假設條件，故其精度是可靠的。且適用于剪切型層模型的拐點處理。

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