郝玉芹

（唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山063000）

《線性代數(shù)》大都介紹了矩陣分塊法理論，但對(duì)其應(yīng)用卻涉及較少。本文將利用矩陣分塊法理論對(duì)矩陣進(jìn)行分塊，或構(gòu)造相關(guān)的分塊矩陣，探討此理論在解題中的應(yīng)用。

1 利用矩陣分塊法證明矩陣有相同的特征值

例1 設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則AB與BA有相同的非零特征根。

（1）式與（2）式等號(hào)兩邊分別取行列式后的兩式左端相等，從而右端也相等，即

由此可知，矩陣AB與BA的特征多項(xiàng)式相差一個(gè)λm－n因子，因而矩陣AB與BA非零特征值相同。證畢。

2 利用矩陣分塊法證明二次型的正定性

例2 如果二次型f1（x1，x2，…，xn）＝XTAX 是正定二次型，那么f（x，x，…，x）＝是負(fù)定二次型，212n其中

下面兩個(gè)命題是《線性代數(shù)》中常見的命題，本文將用矩陣分塊法證明它們。

3 利用矩陣分塊法證明行列式相等

例3 設(shè)A，B是任意n階矩陣，則｜AB｜＝｜A｜｜B｜［1］。

證明 以n階矩陣A，B，n階零矩陣O以及n階單位矩陣的負(fù)就矩陣－E構(gòu)造分塊矩陣并用分塊矩

上式左邊為｜A｜｜B｜，右邊應(yīng)用Laplace定理［2］選取n＋1～2n列展開得到：

4 利用矩陣分塊法證明矩陣秩的關(guān)系式

例4 設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，則R（AB）≥R（A）＋R（B）－n。

證明 以Am×n，－Bn×s，En，Om×s為子塊構(gòu)造分塊矩陣乘矩陣Q，有

即R（AB）≥R（A）＋R（B）－n。證畢。

5 結(jié)語

通過對(duì)《線性代數(shù)》中幾個(gè)命題的證明可以看出，借助矩陣分塊法這個(gè)重要工具，可以簡(jiǎn)化矩陣證明題的證明過程，突顯了此方法在矩陣證明過程中簡(jiǎn)捷高效的特點(diǎn)，體現(xiàn)了矩陣分塊法這一工具的實(shí)用價(jià)值。

［1］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］ 華中理工大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1999.