【摘 要】本文以“二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題”的教學(xué)片段為載體，論述“支架式”模式下進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)模式與教學(xué)策略。探討數(shù)學(xué)課堂從有效向高效轉(zhuǎn)化的途徑，以達(dá)成提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】支架式教學(xué) 探究式教學(xué) 線性規(guī)劃問題 高效課堂

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）06-0132-02

支架式教學(xué)理論源于前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”。“最近發(fā)展區(qū)”是指“實(shí)際發(fā)展水平與潛在發(fā)展水平的差距”。在探索新知的過程中，前者是由獨(dú)立解決問題的能力而定的，后者是在教師的指導(dǎo)下或與更有能力的合作伙伴合作時(shí)能夠解決問題的能力而定的，因此在開展教學(xué)活動(dòng)前，教師首先應(yīng)掌握學(xué)生的實(shí)際發(fā)展水平，架構(gòu)合理的教學(xué)情境，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)、積極參與探索、充分解放思想束縛、向更高水平邁進(jìn)。

下面以一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)片段為例，剖析“支架式”教學(xué)模式下進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)。這節(jié)課選自二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，其知識(shí)與技能目標(biāo)是了解二元一次不等式的幾何意義、會(huì)用二元一次不等式組表示平面區(qū)域。

教學(xué)片段：二元一次不等式表示的圖形。

二元一次不等式x-y-6<0的解集所表示的圖形。

師：前面已學(xué)習(xí)了二元一次不等式的解集與直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。請(qǐng)思考以下問題：方程x-y-6=0表示為一條直線，那么二元一次不等式x-y-6<0所表示的圖形是什么？請(qǐng)說明理由。

生：在直角坐標(biāo)系上作出直線x-y-6=0，然后列出滿足二元一次不等式x-y-6<0的幾組解，并在圖上描出相應(yīng)的點(diǎn)。通過作圖觀察，并與同學(xué)交流后，得出這些點(diǎn)分布在直線x-y-6=0的左上方。

師：巡視過程中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生沒有作出直線x-y-6=0，給予及時(shí)點(diǎn)撥，并選擇部分學(xué)生的數(shù)據(jù)，在通過幾何畫板上描點(diǎn)、展示提出問題，為什么這些點(diǎn)是分布在直線的左上方？請(qǐng)?jiān)囍o予證明。

生：（靜下來思考）提出各種各樣的觀點(diǎn)。

師：（對(duì)學(xué)生提出的觀點(diǎn)進(jìn)行引領(lǐng)并梳理，得出結(jié)論。）如圖1所示，若P（x0，y0）在直線上，當(dāng)點(diǎn)A（x0，y1）中的y1>y0時(shí)，即點(diǎn)A在點(diǎn)P的上方。然后通過幾何畫板和代數(shù)法作個(gè)檢驗(yàn)。

生：學(xué)生立即動(dòng)手實(shí)踐，不難發(fā)現(xiàn)。當(dāng)x0-y0-6=0時(shí)，x0-y1<6。

師：（1）引導(dǎo)學(xué)生歸納，當(dāng)x不變，y增大時(shí)，x-y-6整體減小，即小于0（即在上方的點(diǎn)使得x-y-6<0）。（2）提出問題，當(dāng)x不變，y減小時(shí)，x-y-6整體怎樣變化？再想一想：如果y不變，x增大或減小時(shí)，x-y-6整體變化情況又是怎樣？

生：（合作交流）

師：引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論（盡量的多，盡量地給予肯定）：（1）在直線的左上方的點(diǎn)滿足x-y-6<0，直線上的點(diǎn)滿足x-y=0，直線右下方的點(diǎn)滿足x-y-6>0。（2）同一區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，使不等式的符號(hào)相同（代點(diǎn)法）。（3）左方與上方，右方與下方是一樣的。（4）判斷點(diǎn)所在的區(qū)域，只要固定x或者y，再去判斷另一個(gè)變量。

……

對(duì)上述教學(xué)片段，進(jìn)行思考：

第一，在教學(xué)過程中，對(duì)學(xué)生的“實(shí)際發(fā)展水平”和“潛在發(fā)展水平”都應(yīng)該有個(gè)充分的預(yù)設(shè)。以使在課堂搭起的支架更有針對(duì)性。在以上的教學(xué)片段中，對(duì)學(xué)生的“實(shí)際發(fā)展水平”可以進(jìn)行這樣的預(yù)設(shè)：（1）能獨(dú)立作出直角坐標(biāo)系下的直線方程x-y-6=0的圖象；（2）能選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，使點(diǎn)坐標(biāo)滿足不等式x-y-6<0，能初步直觀判斷出點(diǎn)分布的大致情況。

對(duì)學(xué)生的“潛在發(fā)展水平”可以進(jìn)行這樣的預(yù)設(shè)：

探究多項(xiàng)式x-y-6的大小隨著x（y）的變化而變化。

圖1 圖2

第二，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行支架式教學(xué)設(shè)計(jì)。這時(shí)就需要同學(xué)的合作及教師的引導(dǎo)作用。通過數(shù)形結(jié)合來引出探索的方向。（1）直線的左方與直線的上方本質(zhì)是一致的。直線的下方與右方本質(zhì)上也是一致的。（2）點(diǎn)在直線的上方與左方的理解：p（x0，y0）在直線上，則點(diǎn)A（x0，y1）（y1>y 0）在直線的上方、點(diǎn)A（x1，y0）（x1

有了上述這一教學(xué)片段的突破，學(xué)生可以從本質(zhì)的角度來理解這一模塊的知識(shí)。對(duì)于常見的題目類型都可以很快地解決。更重要的是為后面的深入教學(xué)作了很好的鋪墊。

例1，畫出不等式x+4y<4表示的平面區(qū)域。

變式：畫出不等式x+my<4（其中m為參數(shù)）表示的平面區(qū)域。

例2，用平面區(qū)域表示不等式組 的解集。

分析：以上例題是在學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平上設(shè)計(jì)，雖難度上有所加深，但加深的內(nèi)容就是在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi)。學(xué)生可通過一定的思考，給予解答，體驗(yàn)成功的愉悅。

第三，應(yīng)站在整體的高度上進(jìn)行支架設(shè)計(jì)。支架式教學(xué)設(shè)計(jì)，既要注重課堂上的橫向聯(lián)系，更要注意到知識(shí)上的縱向聯(lián)系。在后期的線性規(guī)則問題應(yīng)用教學(xué)中，要面臨探討以下兩個(gè)問題：（1）求目標(biāo)函數(shù)的最值；（2）及已知最值的前提下求約束條件或目標(biāo)函數(shù)所含參數(shù)的取值范圍。而如果在這一節(jié)的教學(xué)片段中，能夠合理構(gòu)建支架，挖掘?qū)W生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生的思維得以開發(fā)、得以發(fā)散。那么在以后教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維方向?qū)⒏鞔_，可輕松解決這類問題，充分享受到解題成功的喜悅，提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。如以下例題：

例3，在如圖2所示的可行域內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a的一個(gè)可能取值 。

變式：在如圖2所示的可行域內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay僅在點(diǎn)C（4，2）處取得最大值，則a的取值范圍是 。

例4，設(shè)m>1，在約束條件 下，目標(biāo)函數(shù)z=

x+5y的最大值為4，則m的值為__________。

分析：在例3中，因?yàn)楫?dāng)y的系數(shù)含參，可假定y的值不變，當(dāng)x的值越小時(shí)，z=x+ay的取值就越小，即直線z=x+ay應(yīng)往左移，依題意可知，線段AC上的點(diǎn)均為最優(yōu)

解。所以，可以判斷直線z=x+ay的斜率k > 0，且 ，

即a =-3。

在例3的變式中，因?yàn)楫?dāng)y的系數(shù)含參，可假定y的值不變，當(dāng)x的值越大時(shí)，z=x+ay的取值就越大，即直線z=x+ay應(yīng)往右移。依題意可知，當(dāng)直線z=x+ay在α范圍轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，直線z=x+ay僅在點(diǎn)C（4，2）處取得最大值（直線無法再向右移動(dòng)），如圖3所示。

在例4中，欲使z=x+5y的最大值，即將該直線向右上方平移。根據(jù)圖4可知，直線z=x+5y過點(diǎn)B時(shí)，取得最大值。然后將點(diǎn)B代入三條直線方程，可得m的值。

當(dāng)然以上例題還可以從截距的角度進(jìn)行分析、解答。此處先略去不講。

第四，支架要搭，也要拆。在實(shí)際教學(xué)中，可根據(jù)具體的情境，搭建合理的、必要的支架，為學(xué)生指點(diǎn)迷津，不致于失去方向，但當(dāng)不需要支架時(shí)，要學(xué)會(huì)放手，及時(shí)拆除支架。支架式的教學(xué)不應(yīng)該是面面俱到式的教學(xué)，這樣會(huì)導(dǎo)致學(xué)生缺乏獨(dú)立思考的空間，培養(yǎng)了學(xué)生的依賴心理。具體操作上應(yīng)根據(jù)教學(xué)實(shí)際，做到有的放矢，確保每一位學(xué)生都能參與教學(xué)的過程，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)

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[2]陳艷斌、朱維宗.支架式教學(xué)設(shè)計(jì)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（6）

〔責(zé)任編輯：范可〕