摘 要:為了提高科學(xué)可視化過程中各類算法的速度,對等參元做較全面的分析,提出在科學(xué)可視化過程中應(yīng)用等參元的方法。首先分析了等參元的基本概念;然后計算推導(dǎo)出各種類型網(wǎng)格單元對應(yīng)的等參元模型及其形函數(shù);最后以四邊形網(wǎng)格為例,利用等參元進(jìn)行各類可視化技術(shù)。該方法已經(jīng)應(yīng)用在實際工程中,證明他是可行和高效的。
關(guān)鍵詞:科學(xué)可視化;等參元;形函;坐標(biāo)變換;網(wǎng)格
中圖分類號:TB115
1 等參元
等參元技術(shù)廣泛應(yīng)用于有限元分析、科學(xué)可視化等各個領(lǐng)域中,早期主要用于網(wǎng)格構(gòu)造,近年來在可視化過程中應(yīng)用也越來越廣泛。等參元技術(shù)的基本思想是:利用坐標(biāo)變換將不規(guī)則網(wǎng)格映射到規(guī)則的等參元中,在等參元中進(jìn)行計算,得到結(jié)果后再映射回不規(guī)則網(wǎng)格。
1.1 等參元的意義和定義
可視化過程中常常需要插值計算網(wǎng)格內(nèi)部某點的物理場值(如溫度場、位移場等),對于規(guī)則的網(wǎng)格單元,插值計算的計算量不大,可以直接計算。但是規(guī)則網(wǎng)格單元對曲線邊界的擬合不好。不規(guī)則的復(fù)雜網(wǎng)格單元(例如不規(guī)則三角形、不規(guī)則四邊形,甚至包括曲線邊界單元)可以較好的擬合實體區(qū)域邊界,因此在實際使用中不規(guī)則網(wǎng)格應(yīng)用更廣泛。但是不規(guī)則網(wǎng)格中插值計算比較復(fù)雜,計算量較大,因此考慮進(jìn)行坐標(biāo)變換。
首先在規(guī)則單元中進(jìn)行場值的計算(這樣計算要比在不規(guī)則單元中快很多),再通過一一對應(yīng)的坐標(biāo)變換,把規(guī)則的單元轉(zhuǎn)變成形狀不規(guī)則的單元,就可以得到真實空間中的場值。所以,等參元本質(zhì)上是一種坐標(biāo)變換。如果單元邊上只有兩個節(jié)點(例如四節(jié)點四邊形單元),則插值函數(shù)一般采用二次函數(shù)(例如雙線性插值函數(shù))。
我們將真實空間稱為物理空間,將理想的規(guī)則的等參單元所在的空間稱為邏輯空間,等參元變換就是從邏輯空間向物理空間的一種坐標(biāo)變換。
有限元法中邏輯空間與物理空間網(wǎng)格單元之間的坐標(biāo)變化和網(wǎng)格單元內(nèi)物理場函數(shù)采用了相同的節(jié)點映射函數(shù)(即節(jié)點形函數(shù)),故稱為等參數(shù)映射,簡稱等參元(isoparametric elements)。正是因為物理場值模式(例如位移場、溫度場、應(yīng)力場或應(yīng)變場)和坐標(biāo)變換式具有完全相同的構(gòu)造,所含結(jié)點參數(shù)(結(jié)點位移和結(jié)點坐標(biāo))的個數(shù)彼此相同,采用的形函數(shù)也相同,這就是等參元這一名稱的由來。
當(dāng)未知變量(例如位移、溫度等)的變化比單元的形狀(坐標(biāo))變化更劇烈時我們需要比描述形狀的N’(結(jié)點參數(shù)的個數(shù))更為高次的N來描述未知量的變化,所以就產(chǎn)生了次參元,反之產(chǎn)生了超參元。次參元和超參元事實上就是坐標(biāo)變換時插值的節(jié)點數(shù)m和物理場插值函數(shù)節(jié)點數(shù)n不同而已,而等參元中m和n則相同。
之所以使用等參元,主要是因為它具有一些優(yōu)點。首先等參元在計算機中編程實現(xiàn)更方便,其次也有數(shù)學(xué)上的需要。
任何一種坐標(biāo)變換為了具有等價性,必須具有以下兩點性質(zhì)。(1)完備性:即坐標(biāo)變換中各個形函數(shù)分量應(yīng)該滿足∑Ni=1。(2)協(xié)調(diào)性:等參元變換應(yīng)該是協(xié)調(diào)的,即相鄰單元通過同樣的等參元變換后,在公共邊上的物理場(位移等)是一致的。而次參元和超參元一般不滿足上述要求,這樣就導(dǎo)致實際應(yīng)用中等參元更常見。
1.2 形函數(shù)
可視化過程中,我們必須并且經(jīng)常需要進(jìn)行從邏輯空間到物理空間的坐標(biāo)變換。例如進(jìn)行流線分析時,我們首先在等參元網(wǎng)格中計算出了一系列的流線點(包括每點處的坐標(biāo)值和物理場值),然后我們需要將其映射回真實的物理空間,并在物理空間中繪制出最終的流線。當(dāng)我們在邏輯空間確定了一點的坐標(biāo)和場值,我們需要將其坐標(biāo)變換到物理空間中,此時我們用到形函數(shù)。必須注意,形函數(shù)本身并不是坐標(biāo)變換函數(shù),而只是確定了坐標(biāo)變換函數(shù)(同時也是場值變換函數(shù))中的參數(shù)。所以,可以說等參元變換就是基于形函數(shù)進(jìn)行的。包括坐標(biāo)變換和場值變換。
3 等參元的應(yīng)用
作者已經(jīng)將等參元方法應(yīng)用于項目中。結(jié)果表明,等參元技術(shù)會極大的降低計算量,提高計算速度。實驗中在四邊形網(wǎng)格中利用等參元法繪制的兩個可視化圖形,描述的都是一個方形零件在左上角固定,右下角受力情況下位移場的情況。第一副為位移場求模后標(biāo)量云圖,第二幅為位移場流線。測試用計算機為普通PC機,內(nèi)存4G,CPU為INTEL G630,雙核,2.7G頻率。一圖繪制時間為0.1秒,二圖繪制時間為1.2秒,可知算法時間效率很高。
4 結(jié)束語
本文提出了一種新穎的思路,將等參元應(yīng)用在各種網(wǎng)格類型中的可視化過程中,可以用來進(jìn)行點定位和插值。算法已被應(yīng)用到實際項目中,證明效率很高。當(dāng)然由于時間和能力的原因,本算法有提高的余地,未來我們將研究將等參元與面積坐標(biāo)法結(jié)合并推廣到三維網(wǎng)格類型中。
參考文獻(xiàn):
[1]張迪.修改等參元[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯,1986(04).
作者單位:沈陽城市建設(shè)學(xué)院,沈陽 110167