摘 要：為了提高科學(xué)可視化過程中各類算法的速度，對等參元做較全面的分析，提出在科學(xué)可視化過程中應(yīng)用等參元的方法。首先分析了等參元的基本概念；然后計算推導(dǎo)出各種類型網(wǎng)格單元對應(yīng)的等參元模型及其形函數(shù)；最后以四邊形網(wǎng)格為例，利用等參元進(jìn)行各類可視化技術(shù)。該方法已經(jīng)應(yīng)用在實際工程中，證明他是可行和高效的。

關(guān)鍵詞：科學(xué)可視化；等參元；形函；坐標(biāo)變換；網(wǎng)格

中圖分類號：TB115

1 等參元

等參元技術(shù)廣泛應(yīng)用于有限元分析、科學(xué)可視化等各個領(lǐng)域中，早期主要用于網(wǎng)格構(gòu)造，近年來在可視化過程中應(yīng)用也越來越廣泛。等參元技術(shù)的基本思想是：利用坐標(biāo)變換將不規(guī)則網(wǎng)格映射到規(guī)則的等參元中，在等參元中進(jìn)行計算，得到結(jié)果后再映射回不規(guī)則網(wǎng)格。

1.1 等參元的意義和定義

可視化過程中常常需要插值計算網(wǎng)格內(nèi)部某點的物理場值（如溫度場、位移場等），對于規(guī)則的網(wǎng)格單元，插值計算的計算量不大，可以直接計算。但是規(guī)則網(wǎng)格單元對曲線邊界的擬合不好。不規(guī)則的復(fù)雜網(wǎng)格單元（例如不規(guī)則三角形、不規(guī)則四邊形，甚至包括曲線邊界單元）可以較好的擬合實體區(qū)域邊界，因此在實際使用中不規(guī)則網(wǎng)格應(yīng)用更廣泛。但是不規(guī)則網(wǎng)格中插值計算比較復(fù)雜，計算量較大，因此考慮進(jìn)行坐標(biāo)變換。

首先在規(guī)則單元中進(jìn)行場值的計算（這樣計算要比在不規(guī)則單元中快很多），再通過一一對應(yīng)的坐標(biāo)變換，把規(guī)則的單元轉(zhuǎn)變成形狀不規(guī)則的單元，就可以得到真實空間中的場值。所以，等參元本質(zhì)上是一種坐標(biāo)變換。如果單元邊上只有兩個節(jié)點（例如四節(jié)點四邊形單元），則插值函數(shù)一般采用二次函數(shù)（例如雙線性插值函數(shù)）。

我們將真實空間稱為物理空間，將理想的規(guī)則的等參單元所在的空間稱為邏輯空間，等參元變換就是從邏輯空間向物理空間的一種坐標(biāo)變換。

有限元法中邏輯空間與物理空間網(wǎng)格單元之間的坐標(biāo)變化和網(wǎng)格單元內(nèi)物理場函數(shù)采用了相同的節(jié)點映射函數(shù)（即節(jié)點形函數(shù)），故稱為等參數(shù)映射，簡稱等參元（isoparametric elements）。正是因為物理場值模式（例如位移場、溫度場、應(yīng)力場或應(yīng)變場）和坐標(biāo)變換式具有完全相同的構(gòu)造，所含結(jié)點參數(shù)（結(jié)點位移和結(jié)點坐標(biāo)）的個數(shù)彼此相同，采用的形函數(shù)也相同，這就是等參元這一名稱的由來。

當(dāng)未知變量（例如位移、溫度等）的變化比單元的形狀（坐標(biāo)）變化更劇烈時我們需要比描述形狀的N’（結(jié)點參數(shù)的個數(shù)）更為高次的N來描述未知量的變化，所以就產(chǎn)生了次參元，反之產(chǎn)生了超參元。次參元和超參元事實上就是坐標(biāo)變換時插值的節(jié)點數(shù)m和物理場插值函數(shù)節(jié)點數(shù)n不同而已，而等參元中m和n則相同。

之所以使用等參元，主要是因為它具有一些優(yōu)點。首先等參元在計算機中編程實現(xiàn)更方便，其次也有數(shù)學(xué)上的需要。

任何一種坐標(biāo)變換為了具有等價性，必須具有以下兩點性質(zhì)。（1）完備性：即坐標(biāo)變換中各個形函數(shù)分量應(yīng)該滿足∑Ni=1。（2）協(xié)調(diào)性：等參元變換應(yīng)該是協(xié)調(diào)的，即相鄰單元通過同樣的等參元變換后，在公共邊上的物理場（位移等）是一致的。而次參元和超參元一般不滿足上述要求，這樣就導(dǎo)致實際應(yīng)用中等參元更常見。

1.2 形函數(shù)

可視化過程中，我們必須并且經(jīng)常需要進(jìn)行從邏輯空間到物理空間的坐標(biāo)變換。例如進(jìn)行流線分析時，我們首先在等參元網(wǎng)格中計算出了一系列的流線點（包括每點處的坐標(biāo)值和物理場值），然后我們需要將其映射回真實的物理空間，并在物理空間中繪制出最終的流線。當(dāng)我們在邏輯空間確定了一點的坐標(biāo)和場值，我們需要將其坐標(biāo)變換到物理空間中，此時我們用到形函數(shù)。必須注意，形函數(shù)本身并不是坐標(biāo)變換函數(shù)，而只是確定了坐標(biāo)變換函數(shù)（同時也是場值變換函數(shù)）中的參數(shù)。所以，可以說等參元變換就是基于形函數(shù)進(jìn)行的。包括坐標(biāo)變換和場值變換。

3 等參元的應(yīng)用

作者已經(jīng)將等參元方法應(yīng)用于項目中。結(jié)果表明，等參元技術(shù)會極大的降低計算量，提高計算速度。實驗中在四邊形網(wǎng)格中利用等參元法繪制的兩個可視化圖形，描述的都是一個方形零件在左上角固定，右下角受力情況下位移場的情況。第一副為位移場求模后標(biāo)量云圖，第二幅為位移場流線。測試用計算機為普通PC機，內(nèi)存4G，CPU為INTEL G630，雙核，2.7G頻率。一圖繪制時間為0.1秒，二圖繪制時間為1.2秒，可知算法時間效率很高。

4 結(jié)束語

本文提出了一種新穎的思路，將等參元應(yīng)用在各種網(wǎng)格類型中的可視化過程中，可以用來進(jìn)行點定位和插值。算法已被應(yīng)用到實際項目中，證明效率很高。當(dāng)然由于時間和能力的原因，本算法有提高的余地，未來我們將研究將等參元與面積坐標(biāo)法結(jié)合并推廣到三維網(wǎng)格類型中。

參考文獻(xiàn)：

[1]張迪.修改等參元[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯，1986（04）.

作者單位：沈陽城市建設(shè)學(xué)院，沈陽 110167