【摘 要】針對(duì)有限元方法產(chǎn)生的大型稀疏線性方程組，研究并實(shí)現(xiàn)了基于CSR存儲(chǔ)策略的不完全預(yù)條件技術(shù)。并分別對(duì)零填充和帶閥值的不完全分解進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明：閥值的不完全分解預(yù)條件具有較好的迭代加速效果，但需根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整預(yù)條件參數(shù)，以達(dá)到最佳加速效果。

【關(guān)鍵詞】大型稀疏線性方程組 預(yù)條件技術(shù) 不完全分解

在有限元數(shù)值模擬中，對(duì)所獲得的大型線性方程組的求解是難點(diǎn)之一。通常可分為兩類：直接法和迭代法。由于舍入誤差的影響，當(dāng)矩陣規(guī)模較大時(shí)直接法往往求解失真甚至失敗。因此，通常采用迭代法進(jìn)行求解。理論上，Gauss-Seidel迭代法、超松弛迭代法等基本迭代方法均可用于大型線性方程組的求解，但這些方法的收斂性較差，缺乏時(shí)效性。目前多采用基于預(yù)條件的Krylov子空間方法來加速收斂。本文針對(duì)有限元數(shù)值模擬中所獲得的大型稀疏線性方程組，采用CSR壓縮存儲(chǔ)策略存儲(chǔ)系數(shù)矩陣，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了不完全預(yù)條件算法。結(jié)合GMRES迭代方法，獲得了比較滿意的收斂效果。

一、不完全分解預(yù)條件矩陣的構(gòu)造

迭代法的收斂速度取決于系數(shù)矩陣的條件數(shù)，即系數(shù)矩陣的范數(shù)與其逆的范數(shù)的乘積。對(duì)線性系統(tǒng)Ax=b預(yù)條件的基本思想是尋找一個(gè)預(yù)條件矩陣M≈A，通過將其作用于原系統(tǒng)以改善所獲得的新系統(tǒng)的條件數(shù)，從而加快迭代的收斂速度。預(yù)條件技術(shù)的關(guān)鍵是預(yù)條件矩陣M的構(gòu)造。常見的預(yù)條件有分裂型預(yù)條件、截?cái)嗉?jí)數(shù)預(yù)條件、不完全分解預(yù)條件以及稀疏近似逆預(yù)條件等[1-2]。所謂不完全分解，就是將系數(shù)矩陣A分解成A=LU+R的形式，其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣，R為剩余矩陣，其構(gòu)造方法以高斯消元法為基礎(chǔ)。由于在消元過程中經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生元素填充（fill-in）而使矩陣L和U的稀疏性大大降低，故常采用某種舍棄策略來舍棄部分元素（除對(duì)角元外）以降低內(nèi)存需求。

（一）零填充不完全分解技術(shù)

最簡(jiǎn)單的不完全分解技術(shù)是不做任何填充的不完全分解，即矩陣L和U完全保存系數(shù)矩陣A的稀疏模式，稱之為ILU（0）設(shè)系數(shù)矩陣，其對(duì)應(yīng)的非零模式為，則零填充不完全分解可通過如下算法獲得。

（二）帶閥值的不完全分解技術(shù)

由于ILU（0）預(yù)條件技術(shù)舍棄了大量填充元，當(dāng)系數(shù)矩陣嚴(yán)重病態(tài)時(shí)，采用ILU（0）預(yù)條件技術(shù)迭代速度依然比較慢甚至出現(xiàn)不收斂的情況（如圖2）。為了得到更好的不完全分解預(yù)條件子，必須允許有填充元。Y.saad（1994）首次提出了帶閥值的不完全LU分解技術(shù)[3]，其采用基于元素大小而不是元素位置的舍棄策略，稱之為ILUT（p，），其中參數(shù)p和用于控制不完全分解中非零元的個(gè)數(shù)。

二、實(shí)際算例

利用不完全預(yù)條件方法，結(jié)合GMRES迭代對(duì)電磁場(chǎng)有限元方法獲得的大型線性方程組進(jìn)行求解。其中系數(shù)矩陣的階數(shù)為153872。其中，迭代終止條件設(shè)置為收斂精度達(dá)到1e-5或迭代300次。圖1顯示零填充不完全分解預(yù)處理的GMRES迭代基本不收斂，主要原因是由于舍棄了大量的填充元導(dǎo)致最終獲得的預(yù)條件矩陣與原系數(shù)矩陣相差較大，經(jīng)過預(yù)處理之后的新系統(tǒng)依然病態(tài)；有填充的不完全分解效果較好，在預(yù)定的迭代步數(shù)內(nèi)，收斂精度基本達(dá)到1e-5，而且可以看到，其收斂趨勢(shì)依然明顯，如果繼續(xù)迭代將可達(dá)到更高的收斂精度。

三、結(jié)論

（一）實(shí)際應(yīng)用中，由于系數(shù)矩陣嚴(yán)重病態(tài)，零填充不完全分解預(yù)處理由于舍棄了大量填充元，預(yù)處理效果不明顯甚至不收斂。

（二）帶閥值的不完全預(yù)條件效果比較好，迭代收斂速度快。但需通過數(shù)值試驗(yàn)以確定最佳參數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]周少博.大型線性方程組不完全分解預(yù)條件方法的研究[D]. 成都：電子科技大學(xué)，2008

[2]楊勇.大型線性方程組不完全分解預(yù)條件的研究[D]. 成都：電子科技大學(xué)，2013