符進(jìn)才

摘要：高中學(xué)生的邏輯思辨能力已經(jīng)發(fā)展到了一定成熟階段。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該合理利用學(xué)生的思維特點(diǎn)，進(jìn)行規(guī)律性、系統(tǒng)性的反思能力訓(xùn)練。這對(duì)于豐富教師的教學(xué)方法和學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)解題中進(jìn)行一題多解思維方式和舉一反三的反思能力培養(yǎng)都有巨大的作用。

關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)；一題多解；反思

在高中數(shù)學(xué)實(shí)踐中，教師和學(xué)生總是面臨這樣的困擾：一方面，教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)了基礎(chǔ)性知識(shí)并作出了一定的發(fā)散性思維指導(dǎo)。另一方面，學(xué)生在面對(duì)同樣類型或是稍加改變的題目仍然不會(huì)解答。其實(shí)，反思能力的培養(yǎng)能夠完美解決這一教與學(xué)當(dāng)中的矛盾。

一、數(shù)學(xué)反思的內(nèi)涵和重要性

反思，顧名思義，就是思維反復(fù)操作進(jìn)行的過程。反思這一動(dòng)作可以發(fā)生在思考過程中的任意階段。反思的作用在于，重新梳理思維的過程，進(jìn)而達(dá)到思維的完美狀態(tài)。數(shù)學(xué)是一門充滿邏輯和考證的基礎(chǔ)性學(xué)科，要求靈活轉(zhuǎn)變思維方式，不斷進(jìn)行思維過程的反復(fù)。要求學(xué)生懂得在解決問題的過程當(dāng)中發(fā)現(xiàn)問題，在發(fā)現(xiàn)問題的過程中解決問題。解題的反思能力包括多方面的能力，例如，對(duì)題意的反思，是否真正理解題意？對(duì)解題步驟的反思，解題步驟的順序是否影響了解題的難易程度？對(duì)解題方法的反思，是否有另一種解題方法？對(duì)概念的反思，是否真正理解基礎(chǔ)性的概念，能夠發(fā)現(xiàn)題目對(duì)于暗含概念的考查？對(duì)數(shù)學(xué)公式的反思，對(duì)于出題人寫出的公式變式，能否化繁為簡(jiǎn)？對(duì)錯(cuò)誤的反思，是否能從錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)問題癥結(jié)所在，力求不再犯同樣的錯(cuò)誤？當(dāng)然，這些反思的內(nèi)容，不能只靠學(xué)生的自我操作來實(shí)現(xiàn)，學(xué)生的知識(shí)面和心智還不足以完成自我實(shí)現(xiàn)，還要依靠高中數(shù)學(xué)教師的開導(dǎo)和啟發(fā)。在教學(xué)的過程中，教師要主動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生反思的能力，特別是針對(duì)學(xué)生對(duì)于思維規(guī)律的反思。教師必須用舉一反三、反復(fù)訓(xùn)練、殊途同歸等方法來鼓勵(lì)學(xué)生開動(dòng)腦筋，發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力解題，培養(yǎng)在教與學(xué)中反思思維規(guī)律的能力。這對(duì)于快速提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的能力是最關(guān)鍵的。

二、反思方法的訓(xùn)練和反思能力的培養(yǎng)

1.教師要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，結(jié)合圖形，敏銳觀察，靈活運(yùn)用各種公理、定理，如平面的基本性質(zhì)，空間兩條直線的位置關(guān)系（相交、平行、異面），直線互相垂直的概念等，反復(fù)思考各種概念運(yùn)用的情景，發(fā)揮想象力，進(jìn)行圖形問題的總結(jié)。

例1：在正方體ABCD-A■B■C■D■中，O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD■、D■C■的中點(diǎn)，則直線OM（ ）。

A.是AC和MN的公垂線. B.垂直于AC但不垂直于MN.

C.垂直于MN，但不垂直于AC. D.與AC、MN都不垂直。

錯(cuò)解：B。

錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影。

正解：A。

例2判斷：若a，b是兩條異面直線，P為空間任意一點(diǎn)，則過P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a，b都平行。

錯(cuò)解：認(rèn)為正確。

錯(cuò)因：空間想象力不夠。忽略點(diǎn)P在其中一條線上，或a與點(diǎn)P確定平面恰好與b平行，此時(shí)就不能過P作平面與a平行。

正解：假命題。

2.鼓勵(lì)學(xué)生從錯(cuò)誤當(dāng)中進(jìn)行反思，找出錯(cuò)誤原因，吸取經(jīng)驗(yàn)，爭(zhēng)取不犯同樣的問題。反思是一個(gè)過程，最關(guān)鍵的步驟是在解題后進(jìn)行反思，思考自己做題時(shí)解題的思維軌跡和方法。對(duì)于錯(cuò)題，學(xué)生要觀察在哪一步犯錯(cuò)，犯的是什么錯(cuò)誤，是概念理解不清，是公式運(yùn)用錯(cuò)誤？還是單純的計(jì)算錯(cuò)誤或是其他原因。這一過程實(shí)際上相當(dāng)于讓學(xué)生重新梳理了思維的過程，對(duì)于學(xué)生自我實(shí)現(xiàn)思維操作，提高解題能力，夯實(shí)概念、公式等基礎(chǔ)性學(xué)習(xí)內(nèi)容有重要作用。

例3：如圖，已知在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC，CD上的點(diǎn)。求證：直線EG，F(xiàn)H，AC相交于點(diǎn)T。

錯(cuò)解：證明：∵E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，EF=BD，

又■=■=2， ∴GH∥BD，GH=■BD，

四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG，F(xiàn)H相交于一點(diǎn)T，

∵■=2，F(xiàn)分別是AD. ∴AC與FH交于一點(diǎn).

∴直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點(diǎn)

正解：證明：∵E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，EF=■BD，又∵■=■=2， ∴GH∥BD，GH=■BD，

∴四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG，F(xiàn)H相交于一點(diǎn)T，

∵EG∈平面ABC，F(xiàn)H∈平面ACD，

∴T∈面ABC，且T∈面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，

∴T∈AC，∴直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點(diǎn)T。

3.訓(xùn)練學(xué)生的思維方式，強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力。

我們觀察下面一道基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)題。

原題： f（x）=■的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍

解：由題意mx■+8x+4>0在R上恒成立

∴m>0且Δ≤0，得m≥4

這是一個(gè)基礎(chǔ)性的題，學(xué)生很容易根據(jù)根號(hào)的定義、意義和定義域的概念得出∴m>0且Δ≤0這個(gè)結(jié)論，進(jìn)而得出m≥4，求出了m的取值范圍。

在另一種情況下，對(duì)上面的題目出現(xiàn)了函數(shù)的變式，對(duì)原來的多項(xiàng)式進(jìn)行求對(duì)數(shù)。題目變成了：f（x）=log■■的定義域?yàn)镽，求m的取值范圍。解答方法如下：

解：由題意mx■+8x+4>0在R上恒成立

∴m>0且Δ<0，得m>4

這實(shí)際上跟第一種解法并無明顯區(qū)別，出題者考的實(shí)際上是對(duì)log函數(shù)的基本定義的考察，與第一種解法中考察根號(hào)、定義域的定義、意義并無明顯差別。學(xué)生只要對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性的概念理解通透，就能很快解答。學(xué)生往往需要在學(xué)習(xí)概念的過程中加強(qiáng)反思，進(jìn)行強(qiáng)化性訓(xùn)練，反思理解概念的意義和運(yùn)用場(chǎng)合。

我們?cè)賮砜戳硪环N題目的變式：

f（x）=log■（mx■+8x+4）的值域?yàn)镽，求m的取值范圍

解：令t=mx■+8x+4，則要求t能取到所有大于0的實(shí)數(shù)，

∴當(dāng)m=0時(shí)，t能取到所有大于0的實(shí)數(shù)

當(dāng)m≠0時(shí)，m>0且Δ≥0？圯0

∴0≤m≤4

實(shí)際上這是一種換元的思想，通過換元法，將減元結(jié)果簡(jiǎn)化，更容易求值。

反思能力的培養(yǎng)必須與數(shù)學(xué)能力結(jié)合起來，這樣才能提高學(xué)生解題的能力和學(xué)習(xí)的效率。而且，反思并不是越多越好，它的價(jià)值在于發(fā)現(xiàn)問題進(jìn)而解決問題。因而選擇一個(gè)合適的反思缺口，當(dāng)問題解決了，反思的過程就應(yīng)該適當(dāng)?shù)慕Y(jié)束，而不是進(jìn)入思維的死胡同。

參考文獻(xiàn)：

1.彭波，《淺談數(shù)學(xué)解題后的反思》[J]；《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》；2007（03）

2.曹緒華，《例說解題反思》[J]；《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》；2007（04）

【責(zé)編 張景賢】