比較法分為差值比較法和商值比較法。

差值比較法分四步：作差、變形、判斷符號、下結(jié)論。作差是依據(jù)，變形是手段，判斷差的符號才是目的。

商值比較法分四步：作商、變形、比較商與1的大小、下結(jié)論，注意分母的正負(fù)號。

關(guān)鍵是變形，變形的目的是判斷正負(fù)號或比較1的大小。變形的技巧通常有以下九種：

一、化簡

作差，化簡是一種最常見的方法，即使不能直接判斷差的正負(fù)，也要先化簡，再作其它變形。

例1、求證a+3a-5

證明：a+3a-5-a+2a-4=a■-2a-15-a■-2a-8=-7<0

∴a+3a-5

二、通分

一般地，遇到分式先通分。通分，可以通分母，也可以通分子，通分母看分子，通分子看分母。

例2、已知a，b，m都是正數(shù)，并且a■

證明：■-■=■，

由于a，b，m都是正數(shù)，并且a

b+m>0，b-a>0

∴■>0

∴■>■

三、因式分解

因式分解，化“差”為“積”，幾個因式的積或商，有利于判斷正負(fù)。

例3、求證：若a>b>c，則bc■+ca■+ab■

證明：bc■+ca■+ab■-b■c+c■a+a■b=b-ac-ac-b ∵a>b>c，b-a<0，c-a<0，c-b<0

∴（b-a）（c-a）（c-b）<0

∴bc■+ca■+ab■

四、配方

對于二次三項式，如果不能因式分解，就配方變成幾個正數(shù)（或負(fù)數(shù)）的和。

例4、求證（1）x2+3>2x （2）a2+b2≥2a-b-1

證明：（1）∵（x2+3）-2x=（x-1）2+2>0

∴x2+3>2x

（2）∵a■+b■-2a-b-1=a-1■+b+1■≥0

∴a2+b2≥2（a-b-1）

五、有理化

一般地，遇到根式先有理化，有理化分三種，分子有理化、分母有理化、分子分母同時有理化。

例5、已知a？莛1，M=■-■，N=■-■比較M與N的大小。

證明：

M-N=■-■-■-■=■-■

=■

=--■<0

∴M

六、拼湊，拆項分組，幾個正數(shù)（或負(fù)數(shù)）的和

例6、已知a>b，c

證明：（a-c）（b-d）=（a-b）+（d-c）

∵a>b，c

∴a-b>0，d-c>0

∴（a-c）-（b-d）=（a-b）+（d-c）>0

∴a-c

例7、已知0

證明：a■-1-a=a■+a-1=a-■a+■-■

而0

∴a■<1-a

七、判別式

對于二次三項式，可以用判別式法。

例8、已知：a，b∈R求證：a■+b■？叟ab+a+b-1。

證明：a■+b■-ab+a+b-1=a■-b+1a+b■-b+1

對于a的二次三項式a■-b+1a+b■-b+1

△=b+1■-4b■-b+1=-3b-1■？燮0

∴a■-b+1a+b■-b+1≥0

∴a2+b2≥ab+a+b-1

八、求最值

例9、已知0

證明：a■-1-a=a■+a-1

令y=a■+a-1=a+■■-■，而0

∴a2<1-a

九、分離常數(shù)

例10、已知a>0，b>0，求證：■+■≥■+■。

證明：■+■÷■+■=■= ■=1+■≥1

∵a>0，b>0

∴■+■≥■+■。

總之，變形大致有兩種策略，化成和的形式或化成積的形式。變形要到位，判斷符號或比較1的大小就容易多了。一個題目有多種方法，可以用其中的一種變形，也可以混合使用多種變形，無論無何變形，只要能判斷茶正負(fù)號或比較商與1的大小即可。