鑒于中國(guó)數(shù)學(xué)記法具有一般矩陣的性質(zhì)，有人會(huì)想到棋盤問(wèn)題是從中國(guó)傳到歐洲的，當(dāng)然，鑒于印度創(chuàng)造了現(xiàn)代形式的棋子，也會(huì)有人認(rèn)為是從印度傳去的。有些棋盤問(wèn)題牽涉到級(jí)數(shù)，另一些則牽涉到排列、組合和概率。歐洲中世紀(jì)的一個(gè)著名的問(wèn)題是關(guān)于在棋盤上放谷粒的問(wèn)題：在第一個(gè)方格里放一粒，第二個(gè)方格放兩粒，第三個(gè)方格放四粒，照這樣按幾何級(jí)數(shù)一直放下去，問(wèn)從理論上說(shuō)，總共可以放多少谷粒？答案是：總數(shù)等于264-1。

另一個(gè)著名的問(wèn)題是瓦卡曾經(jīng)討論過(guò)的，它與8世紀(jì)唐代僧一行的名字有關(guān)。沈括在《夢(mèng)溪筆談》中寫(xiě)道：

小說(shuō)：唐憎一行曾算棊局都數(shù)，凡若干局盡之。予嘗思之，此固易耳。但數(shù)多，非世間名數(shù)可能言之。今略舉大數(shù)。凡方二路，用四子，可變八十一局。方三路，用九子，可變一萬(wàn)九千六百八十三局。方四路，用十六子，可變四千三百四萬(wàn)六千七百二十一局。方五路，用二十五子，可變八千四百七十二億八千八百六十萬(wàn)九千四百四十三局。方六路，用三十六子，可變十五兆九十四萬(wàn)六千三百五十二億九千六百九十九萬(wàn)九千一百二十一局。方七路以上，數(shù)多無(wú)名可記。盡三百六十一路，大約連書(shū)萬(wàn)字五十二。

（據(jù)講故事的人說(shuō)，僧一行有一次計(jì)算了可能擺出的棋局的總數(shù)，并且發(fā)現(xiàn)他能夠絲毫沒(méi)有遺漏地計(jì)算出來(lái)。我再三思考了這件事，最后得出結(jié)論說(shuō)，這是很容易辦到的。不過(guò)，這時(shí)所牽涉到的數(shù)字不能用一般使用的數(shù)字名稱來(lái)表達(dá)。在這里，我主要只提一提計(jì)算中需要用到的大數(shù)。用兩路和四個(gè)棋子，可以擺出81種不同的可能棋局。用三路和九個(gè)棋子，總數(shù)是19683。用四路和十六個(gè)棋子，總數(shù)是43046721。用五路和二十五個(gè)棋子，總數(shù)是847288609443?！狡呗芬陨希倲?shù)就大得無(wú)法用現(xiàn)有的數(shù)字名稱來(lái)表達(dá)了。當(dāng)361個(gè)棋子全部用上時(shí)，總數(shù)達(dá)到10000^52的數(shù)量級(jí)。）

沈括接著又解釋一行的方法說(shuō)，他們能夠計(jì)算出在棋盤上出現(xiàn)的一切可能的變換和移動(dòng)的數(shù)目。看來(lái)，“上驅(qū)”“搭因”“重因”等就是這些計(jì)算的名稱。

一提到中國(guó)對(duì)排列和組合的研究，人們立即就會(huì)想到《易經(jīng)》和其中的八卦及六十四卦。我們大概可以想到，它曾引導(dǎo)人們?nèi)?duì)一切可能的排列進(jìn)行某些數(shù)學(xué)研究，并且，如果說(shuō)這種研究的結(jié)果不能明顯地看到的話，那么也有理由認(rèn)為，它們是被某些教派（大概是道教）當(dāng)作秘傳的教義保藏起來(lái)了。在這一方面，公元190年的《數(shù)術(shù)記遺》及其無(wú)可懷疑的道教背景是值得注意的。在這部書(shū)中提到幾種與占卜有明顯關(guān)系的計(jì)算方法，例如“八卦算”和“龜算”，這里的卦是按不同的方法在八個(gè)方位上排列起來(lái)的，而“把頭算”可能與骰子的投擲有關(guān)。在討論算盤的起源時(shí)，我們有機(jī)會(huì)描述《數(shù)術(shù)記遺》中提到過(guò)的幾種計(jì)算工具，其中的珠子（有時(shí)是不同顏色的）是放在記數(shù)的或刻度的坐標(biāo)上的。如果這

些工具僅僅是為了記數(shù)，那么，它們的價(jià)值就不太大了，因?yàn)閿?shù)學(xué)家們?cè)趹?yīng)用算籌方面已經(jīng)十分熟練。因此，我們可以設(shè)想，它們的真正用途是研究排列和組合。例如，當(dāng)我們?cè)谔宜阒锌吹桨迳嫌浻袛?shù)字9183時(shí)，那么，我們似乎有理由假定，這種算具有助于回答“從9183能組合出多少個(gè)不同的數(shù)來(lái)”這樣一個(gè)問(wèn)題。可以假定，第一、第三、第八和第九道的珠是可以交換的。同樣，三才算可能是企圖回答一些這樣的問(wèn)題：“如果九個(gè)字母當(dāng)中三個(gè)是a，三個(gè)是b，三個(gè)是c，那末，它們一共有多少種排列方法？”而八卦的問(wèn)題，則和“八個(gè)人圍著一張圓桌坐，共有多少種不同坐法”這個(gè)問(wèn)題相類似。

這里，必須提起11世紀(jì)邵雍所作的《易經(jīng)》六十四卦的排列。萊布尼茨認(rèn)為這種排列不是別的，而是把從l到64這些數(shù)字用二進(jìn)位記法寫(xiě)出來(lái)。六十四卦也啟發(fā)了一個(gè)日本封建領(lǐng)主藤原通憲，他在公元1157年前后寫(xiě)成一部日本早期數(shù)學(xué)著作《計(jì)子算》，雖然這部著作已經(jīng)失傳，但后人知道，其中包含有六十四卦組合的數(shù)學(xué)研究。

我相信，如果有一個(gè)漢學(xué)家兼通數(shù)學(xué)，那么，通過(guò)對(duì)隱晦難解的中國(guó)中世紀(jì)占卜術(shù)著作的探索，他在這方面是會(huì)大有收獲的。秦九韶在公元1247年的《數(shù)書(shū)九章》的自序中說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)派有三十余家，其中有的是建立在討論太一壬甲（算卦）三式的著作的基礎(chǔ)上的，但他們都是屬于內(nèi)算（秘傳的數(shù)學(xué)）。在他們留下的大量著作中能不能發(fā)現(xiàn)一些對(duì)排列組合理論有價(jià)值的早期貢獻(xiàn)，這是一個(gè)值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題。鑒于歐洲在伊士拉（Abrabam ben Ezra，1140年）以前，印度在巴斯卡拉（Bhāskara，1150年）以前，在這方面的發(fā)現(xiàn)極端貧乏，因此，這種研究是很有意義的。直到15世紀(jì)末帕喬利的時(shí)代，排列和組合的問(wèn)題才有了真正的進(jìn)步，關(guān)于它的第一部著作——伯努利（Jakob Bernoulli）的《猜度術(shù)》（Ars Conjectandi）——直到1713年才問(wèn)世。