摘 要：傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)方法是通過(guò)主觀假定初始價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、期限、波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率等條件來(lái)對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，很少聯(lián)系實(shí)際的期權(quán)市場(chǎng)報(bào)價(jià)對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。本文根據(jù)股票期權(quán)市場(chǎng)報(bào)價(jià)，通過(guò)Matlab快速方便地求解出隱含的波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用Matlab基于最小二乘蒙特卡洛模擬（LSM）方法對(duì)該股票的美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。本文揭示了如何根據(jù)期權(quán)市場(chǎng)報(bào)價(jià)實(shí)現(xiàn)隱含波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的求解，進(jìn)而結(jié)合LSM方法對(duì)美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的一種新方法。此外，本文對(duì)LSM方法的改進(jìn)技術(shù)也進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞：LSM方法；美式期權(quán)定價(jià)；隱含波動(dòng)率；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

中圖分類(lèi)號(hào)：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-2265（2013）12-0020-05

一、引言

1973年之前，理論上對(duì)于期權(quán)定價(jià)一直找不到令人滿(mǎn)意的模型，主要是由于對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)過(guò)程無(wú)法用適當(dāng)?shù)碾S機(jī)過(guò)程來(lái)描述。1973年布萊克、斯科爾斯（Black、Scholes）兩位學(xué)者將標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格假設(shè)為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并由此獲得了歐式看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)模型，從此期權(quán)市場(chǎng)在全球范圍內(nèi)得到了快速的發(fā)展。對(duì)于歐式期權(quán)的定價(jià)，可采用樹(shù)形法，Black-Scholes模型（以下簡(jiǎn)稱(chēng)B-S模型）、有限差分法、蒙特卡洛模擬法；對(duì)于美式期權(quán)的定價(jià)，樹(shù)形法、有限差分法也適用，蒙特卡洛模擬方法在歐式衍生產(chǎn)品的定價(jià)方面獲得了有效應(yīng)用，但其采用的是正向求解的方法，這就限制了將蒙特卡洛模擬方法運(yùn)用于具有后向迭代搜索特征的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。1993年蒂利（Tilley）提出了美式期權(quán)具有提前執(zhí)行的特征后，使用蒙特卡洛模擬方法為美式衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)的問(wèn)題才得到初步解決。巴里康和馬蒂諾（Barraquand和Martineau，1995）將資產(chǎn)價(jià)格的狀態(tài)空間加以分隔，得出每一條路徑在不同區(qū)域間移動(dòng)的概率，然后使用類(lèi)似于二叉樹(shù)模型的方式進(jìn)行逆推求解。但以上這些方法仍然存在著不足之處，在實(shí)際模擬中效果不是很理想，直至2001年由 朗斯塔夫、施瓦茨（Longstaff、Schwartz）提出的最小二乘蒙特卡洛法（Least-square Monte Carlo，簡(jiǎn)稱(chēng)LSM）成為了目前最為廣泛接受的美式期權(quán)定價(jià)方法。該方法估計(jì)出美式期權(quán)的條件期望值，運(yùn)用此條件期望值來(lái)決定該路徑是否執(zhí)行，由此得到每一路徑的執(zhí)行點(diǎn)，并獲得美式期權(quán)的價(jià)值。盡管當(dāng)前出現(xiàn)了很多美式期權(quán)定價(jià)的方法，但它們幾乎都是基于LSM方法所做出的改進(jìn)方法。

二、研究方法

其中，c、p分別為歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的價(jià)格；S0為股票在t=0時(shí)刻的價(jià)格；k為執(zhí)行價(jià)格；r為連續(xù)復(fù)利的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；[σ]為股票價(jià)格的波動(dòng)率；T為期權(quán)的期限。

2. 運(yùn)用Matlab基于B-S公式求解無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和隱含波動(dòng)率。按傳統(tǒng)方法，B-S期權(quán)定價(jià)公式參數(shù)中波動(dòng)率難以獲取，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的計(jì)算也容易出錯(cuò)。

對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的求解，一般會(huì)采用同期的國(guó)債利率來(lái)表示，這就要求國(guó)債的到期時(shí)間和期權(quán)存續(xù)期完全相同，現(xiàn)實(shí)中很少存在。另外，國(guó)債的利率要轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的形式，才可作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，過(guò)程較復(fù)雜。

對(duì)于波動(dòng)率計(jì)算的常規(guī)方法有兩種，其一是求歷史波動(dòng)率，其二是求隱含波動(dòng)率。由于歷史波動(dòng)率需要大量的歷史數(shù)據(jù)，并且得出的波動(dòng)率不能完全反映未來(lái)收益的波動(dòng)，所以更常用的是隱含波動(dòng)率。隱含波動(dòng)率實(shí)際上根據(jù)已有的期權(quán)報(bào)價(jià)，利用B-S公式和其他已知條件，求出報(bào)價(jià)的波動(dòng)率。這樣對(duì)于期權(quán)價(jià)格波動(dòng)較快的期權(quán)更有意義。

本文將利用市場(chǎng)期權(quán)報(bào)價(jià)，通過(guò)Matlab方程，快速方便地一次性求解出隱含波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。具體方法如下： 首先根據(jù)兩個(gè)到期月份相同但執(zhí)行價(jià)格不同的歐式期權(quán)的價(jià)格，利用B-S公式，寫(xiě)出兩個(gè)方程的聯(lián)立方程組。通過(guò)解方程組可以一次性求出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r和波動(dòng)率[σ]。這樣就可以省去查找無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的麻煩。

根據(jù)上述程序即可得到x1、x2的值，即為r、[σ]的數(shù)值。對(duì)美式股票期權(quán)來(lái)說(shuō)，在存續(xù)期間若沒(méi)有紅利收入，提前執(zhí)行期權(quán)是不理性的，此時(shí)就等同于歐式看漲期權(quán)，即可根據(jù)上述方法求解。本文將利用市場(chǎng)期權(quán)報(bào)價(jià)，通過(guò)Matlab方程，快速方便地求解出隱含波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率[σ]、r。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合LSM方法可對(duì)美式期權(quán)定價(jià)。

（二）用LSM模型對(duì)美式期權(quán)定價(jià)

對(duì)于美式期權(quán)定價(jià)，必須在可以提前行使期權(quán)的時(shí)間上對(duì)繼續(xù)持有期權(quán)還是立即行使期權(quán)做出選擇。行使期權(quán)所得價(jià)值通常比較容易決定。包括朗斯塔夫和施瓦茨在內(nèi)的學(xué)者提出了一種在蒙特卡洛模擬過(guò)程中確定持有期權(quán)所得價(jià)格的方法。在必須做出是否提前行使期權(quán)決定的時(shí)點(diǎn)上，他們提出了采用最小二乘法來(lái)確定繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值與某些相關(guān)變量之間的最佳匹配關(guān)系。該方法已成為目前使用蒙特卡洛模擬美式期權(quán)定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)方法。

1. LSM模擬方法的基本原理。在有限個(gè)離散的時(shí)間點(diǎn)上，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的模擬樣本路徑在每個(gè)時(shí)刻的截面數(shù)據(jù)，利用最小二乘法回歸求得繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益，并將其與該時(shí)刻立即執(zhí)行期權(quán)的收益進(jìn)行比較，如果后者大于前者，則立即執(zhí)行期權(quán)，否則繼續(xù)持有期權(quán)。

第二步：計(jì)算每條樣本路徑的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間和期權(quán)收益。在時(shí)刻t，看跌期權(quán)在樣本路徑上的內(nèi)在價(jià)值為It=max（K-St，0）。其中，K為執(zhí)行價(jià)格；St為執(zhí)行時(shí)間t的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。對(duì)于美式期權(quán)，由于可以提前執(zhí)行，在決定最優(yōu)執(zhí)行價(jià)格時(shí)，必須權(quán)衡該時(shí)刻立即執(zhí)行期權(quán)的即時(shí)收益（即內(nèi)在價(jià)值）與繼續(xù)持有該期權(quán)的期權(quán)收益。

LSM方法通過(guò)回歸得到一個(gè)當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St的簡(jiǎn)單二次多項(xiàng)式：V=a+bSt+cSt2。其中，St為標(biāo)的資產(chǎn)在第t年末的價(jià)格；V為當(dāng)繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值被貼現(xiàn)到第t年末的價(jià)值。把所有樣本路徑在時(shí)刻t的價(jià)格St作為x值，將對(duì)應(yīng)的樣本路徑上的未來(lái)收益作為Y值，并采用最小二乘法進(jìn)行回歸，可求得回歸系數(shù)a、b、c。

第三步：對(duì)每條樣本路徑對(duì)應(yīng)的期權(quán)收益進(jìn)行貼現(xiàn)，然后求均值，即為期權(quán)價(jià)格。

三、實(shí)證分析

現(xiàn)在美國(guó)、歐洲的金融市場(chǎng)上，歐式期權(quán)很少，大部分是美式期權(quán)。對(duì)于美式股票期權(quán)來(lái)說(shuō)，在存續(xù)期間若沒(méi)有紅利收入，提前執(zhí)行期權(quán)是不理性的，此時(shí)就等同于歐式看漲期權(quán)，進(jìn)而可通過(guò)Matlab方程一次性求解出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和隱含波動(dòng)率。

本文對(duì)美式期權(quán)的定價(jià)過(guò)程分為兩個(gè)步驟。第一步：根據(jù)期權(quán)行市，基于Matlab一次性求解出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和隱含波動(dòng)率。第二步：根據(jù)第一步求出的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率，結(jié)合標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、不同的到期時(shí)間、執(zhí)行價(jià)格等條件，對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。對(duì)比其他研究，本文對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率的求值經(jīng)過(guò)編程實(shí)現(xiàn)，省去了對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率取值的討論，比較快捷方便。

四、結(jié)論

本文運(yùn)用工具M(jìn)atlab，基于LSM方法，結(jié)合期權(quán)市場(chǎng)報(bào)價(jià)，提出了一種新的解決美式期權(quán)定價(jià)的方法。經(jīng)實(shí)證研究，此方法具有可行性，更貼近現(xiàn)實(shí)，并且運(yùn)用編程計(jì)算，方法更加簡(jiǎn)單。

蒙特卡洛模擬方法應(yīng)用效果的關(guān)鍵在于兩個(gè)方面：一是隨機(jī)樣本的抽樣，它決定了抽樣樣本的分布偏差性。目前在實(shí)踐中較為普遍使用的是低偏差序列，如Halton、Faure、Sobol序列等模擬隨機(jī)數(shù)。二是隨機(jī)模擬路徑的構(gòu)造，它決定了模擬路徑逼近真實(shí)路徑的程度。在標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程構(gòu)造方面，對(duì)于蒙特卡洛方法的兩個(gè)最新技術(shù)改進(jìn)方向，即布朗橋與主成分分析技術(shù)，分別可以給出基于布朗橋構(gòu)造、基于主成分構(gòu)造，以及基于布朗橋和主成分分析合成構(gòu)造的擬蒙特卡洛方法。近年來(lái)，學(xué)術(shù)界對(duì)蒙特卡洛模擬的效率改進(jìn)技術(shù)的研究與探討，大都是從這兩個(gè)方面進(jìn)行的。

最近有學(xué)者從標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率跟蹤角度，將FHS-GARCH模型與LSM方法結(jié)合，提出了一種美式期權(quán)定價(jià)的新方法——FHS-GARCH-LSM方法。此外，筆者也對(duì)多變量的期權(quán)定價(jià)做了討論。下面本文將對(duì)這兩種方法做出簡(jiǎn)單的論述。

（一）從標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率跟蹤方面的改進(jìn)

許多期權(quán)定價(jià)模型，一般都假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率為常數(shù)，這一假定絕非完美。在實(shí)際中，波動(dòng)率就如同標(biāo)的資產(chǎn)本身一樣，也是一個(gè)隨機(jī)變量，通?？梢岳肍HS-GARCH模型來(lái)跟蹤波動(dòng)率的變化?；诖四Ｐ蛠?lái)表述標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)美式期權(quán)的定價(jià)，此方法稱(chēng)為FHS-GARCH-LSM方法。西南財(cái)經(jīng)大學(xué)劉強(qiáng)教授（2012）對(duì)此方法做了可行性分析。

對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行跟蹤的模型還有EWMA模型。相對(duì)GARCH模型而言，具有計(jì)算所需數(shù)據(jù)較少的優(yōu)點(diǎn)。從理論上也可依據(jù)EWMA模型來(lái)描述波動(dòng)率的變化，進(jìn)而對(duì)LSM方法做出改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)美式期權(quán)的定價(jià)。

（二）通常期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)只有一種，但是有些期權(quán)是多變量期權(quán)或期權(quán)組合，這些期權(quán)的價(jià)格與兩個(gè)或多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)有關(guān)

對(duì)這種期權(quán)定價(jià)，要通過(guò)copula函數(shù)對(duì)多資產(chǎn)間的結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，進(jìn)而通過(guò)蒙特卡洛模擬方法實(shí)現(xiàn)對(duì)其的定價(jià)。一般的copula函數(shù)有Bernstein Copula 、Gaussian Copula等?；诓煌腸opula模型的蒙特卡洛模擬的效果是有差異的。經(jīng)有關(guān)學(xué)者研究，在期權(quán)價(jià)格模擬中，前者比后者的擬合效果好。

因而，基于上述方法，無(wú)論是對(duì)隨機(jī)數(shù)抽樣、維納運(yùn)動(dòng)的改進(jìn)，還是通過(guò)對(duì)波動(dòng)率的改進(jìn)等，都能給出改進(jìn)后的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑，然后與LSM方法結(jié)合，就能夠創(chuàng)新性地獲得美式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值改進(jìn)模型?？傊?，可以運(yùn)用Matlab工具，基于LSM改進(jìn)方法，結(jié)合期權(quán)市場(chǎng)報(bào)價(jià)，探索出更多的解決美式期權(quán)定價(jià)的新方法。

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（特約編輯 齊稚平；校對(duì) XQ，SJ）