【摘 要】高等數(shù)學(xué)中的泰勒級(jí)數(shù)是非常有用的一種工具，它發(fā)展至今已經(jīng)被大家熟知并得到了廣泛應(yīng)用。本文將先對(duì)高等數(shù)學(xué)中的泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹，再探討分析泰勒級(jí)數(shù)的一些應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；泰勒級(jí)數(shù)；應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)的時(shí)候會(huì)學(xué)習(xí)到泰勒級(jí)數(shù)，它是一種非常有用的工具。在某些方面如果能夠利用泰勒級(jí)數(shù)，可以取得意想不到的好處。在泰勒級(jí)數(shù)的發(fā)展過(guò)程中，最初的希臘哲學(xué)家芝諾得出了不能利用無(wú)窮級(jí)數(shù)求和來(lái)得到有限結(jié)果的結(jié)論，后來(lái)德謨克利特利用阿基米德的窮舉法推翻了芝諾的結(jié)論，證明了無(wú)窮級(jí)數(shù)之和可以得到有限結(jié)果。14世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們就找到了比如正弦、余弦之類的特殊泰勒級(jí)數(shù)。蘇格蘭科學(xué)家麥克勞林在研究中發(fā)現(xiàn)了一些泰勒函數(shù)的特例，比如函數(shù)在自變量為零時(shí)求得的泰勒級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)也就被命名為麥克勞林級(jí)數(shù)。17世紀(jì)，布魯克泰勒終于找到了一個(gè)方法，該方法對(duì)所有的函數(shù)都能夠使用，進(jìn)行函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)，這就是我們現(xiàn)在熟知的泰勒級(jí)數(shù)。本文將先介紹高等數(shù)學(xué)中的幾種泰勒級(jí)數(shù)，再探討泰勒級(jí)數(shù)的重要應(yīng)用。

一、泰勒級(jí)數(shù)概述

簡(jiǎn)而言之，泰勒級(jí)數(shù)就是用無(wú)數(shù)項(xiàng)相加來(lái)表示一個(gè)具體的函數(shù)，而這些相加項(xiàng)得來(lái)是通過(guò)計(jì)算該函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。在高等數(shù)學(xué)中的準(zhǔn)確定義如下：假設(shè)函數(shù)f（x）在x=x0某一領(lǐng)域內(nèi)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，則以下冪級(jí)數(shù)：

麥克勞林級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的一種特例，它是在泰勒級(jí)數(shù)中對(duì)自變量的取值為0得到的。函數(shù)f（x）的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的收斂性跟具體收斂于函數(shù)f（x）處并不是相一致的。也就是說(shuō)，即使函數(shù)f（x）在某處的各階導(dǎo)數(shù)都存在，相應(yīng)的麥克勞林級(jí)數(shù)也能夠計(jì)算出來(lái)，但是該級(jí)數(shù)是否收斂，收斂最終是不是在函數(shù)f（x）處都是不確定的，需要采用其它進(jìn)一步的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

將函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)具有很多種方法，主要可以分為直接展開(kāi)法和間接展開(kāi)法兩大類。在直接展開(kāi)法中，首先要求出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，然后將自變量的取值代入到各階導(dǎo)數(shù)中去，接下來(lái)就可以按照泰勒級(jí)數(shù)的定義式直接寫(xiě)出泰勒級(jí)數(shù)，最后還要考慮余項(xiàng)在x0的某一領(lǐng)域內(nèi)的極限是否為零。直接展開(kāi)法具有結(jié)果準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，但也存在展開(kāi)的過(guò)程復(fù)雜的缺點(diǎn)，而間接展開(kāi)法就克服了直接法的缺點(diǎn)，簡(jiǎn)化了整個(gè)展開(kāi)過(guò)程，取得了更廣泛的應(yīng)用。目前常見(jiàn)的間接展開(kāi)法有代換法、逐項(xiàng)微分法以及待定系數(shù)法等。

有些函數(shù)存在一些奇點(diǎn)，所以不能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。但是如果變量的指數(shù)冪小于0的話，該函數(shù)能夠展開(kāi)為洛郎級(jí)數(shù)。

二、泰勒級(jí)數(shù)應(yīng)用

泰勒級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)的很多方面都有重要的作用，可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些問(wèn)題，下面將探討分析泰勒級(jí)數(shù)的一些重要應(yīng)用。

泰勒級(jí)數(shù)在解決非線性數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)具有重要作用。在我們的日常生活中，很多的實(shí)際問(wèn)題都不是線性的，都是非線性的，比如橋梁的振動(dòng)、車輛的振動(dòng)等。這些非線性問(wèn)題的求解，在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中一直是一個(gè)難題。傳統(tǒng)的解決方法都是以牛頓法為基礎(chǔ)的，但是這些傳統(tǒng)方法求解過(guò)程比較復(fù)雜，對(duì)過(guò)程參數(shù)的控制要求也比較嚴(yán)格，通常需要進(jìn)行多次的計(jì)算才能夠得出最佳的結(jié)果。而利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行非線性問(wèn)題的求解具有很大的優(yōu)勢(shì)。泰勒級(jí)數(shù)求解的基本思想如下：首先，在已知值處將非線性函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)；然后，將展開(kāi)的泰勒級(jí)數(shù)中的二次以上的項(xiàng)進(jìn)行刪除，只保留一次項(xiàng)，從而使非線性問(wèn)題線性化；最后，對(duì)最后的求解精度進(jìn)行檢驗(yàn)，如果精度不夠的話，可以在泰勒級(jí)數(shù)中保留二階多項(xiàng)式進(jìn)行求解，以提高求解精度。

泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)進(jìn)行極限的計(jì)算。一般對(duì)分式項(xiàng)進(jìn)行極限求值時(shí)，可以利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解，但是當(dāng)分子分母極限都為零時(shí)，洛必達(dá)法則便無(wú)能為力。此時(shí)可以根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行極限求解。在具體的計(jì)算過(guò)程中需要觀察分子和分母的各項(xiàng)是幾階可微的，再將各項(xiàng)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并將高階部分略去，然后進(jìn)行重新計(jì)算求值。

泰勒級(jí)數(shù)是求解非線性的常微分方程的一個(gè)重要工具。我們知道常微分方程的求解過(guò)程是比較困難的，而利用泰勒級(jí)數(shù)可以取得不錯(cuò)的效果。在求解的過(guò)程中，非常關(guān)鍵的一步是要把方程的右端項(xiàng)和未知數(shù)都看成一個(gè)參考變量t的函數(shù)，然后把把它們展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，從而可以把求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋求未知數(shù)的泰勒系數(shù)。只要方程所對(duì)應(yīng)的問(wèn)題具有一定的連續(xù)性，相應(yīng)的泰勒級(jí)數(shù)就有合適的收斂區(qū)間，也就能夠確定未知數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，從而求出方程的解。

此外，泰勒級(jí)數(shù)還能證明級(jí)數(shù)以及廣義積分的收斂性，能確定一些無(wú)窮小量的階數(shù)，還能夠證明中值定理以及一些復(fù)雜的不等式。

三、結(jié)語(yǔ)

目前，泰勒級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一種重要應(yīng)用工具。本文先對(duì)泰勒級(jí)數(shù)的發(fā)展歷史、基本概念以及常見(jiàn)的幾種泰勒級(jí)數(shù)、展開(kāi)方式等進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹，再重點(diǎn)探討了泰勒級(jí)數(shù)在各個(gè)方面的重要應(yīng)用。我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)積極學(xué)習(xí)泰勒級(jí)數(shù)，并針對(duì)生活中的實(shí)際問(wèn)題運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解，學(xué)為所用才是最佳的學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社，2002

[2]田華.巧用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式求解一類概率問(wèn)題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007