解題是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的一個重要組成部分，在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力和數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力等方面起著不可替代的作用。要提高數(shù)學(xué)解題能力，提升思維能力，除了正確運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，善于分析題意，選擇簡潔的解題途徑，還應(yīng)在解題后對解題過程進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)、反思。筆者認(rèn)為，讓學(xué)生在題后反思，能夠促使其較好地掌握數(shù)學(xué)知識和方法，全面提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

一、問卷調(diào)查

1.調(diào)查對象

為深入了解學(xué)生對題后反思這一學(xué)習(xí)方法的認(rèn)知程度，筆者選取了鄭州市兩所中職學(xué)校的516名學(xué)生為調(diào)研對象，并向其發(fā)放了調(diào)查問卷。

2.調(diào)查方法與結(jié)果

問卷調(diào)查法。筆者設(shè)計了《數(shù)學(xué)題后反思調(diào)查問卷》，選取了10道與數(shù)學(xué)題后反思學(xué)習(xí)相關(guān)的選擇題，形成問卷的初稿。選A得3分，選B得2分，選C得1分，得分越高說明該生題后反思能力越強(qiáng)。調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計顯示，總分在24分以上的有125人，占被測人數(shù)的24.2%；總分在18～23分的有172人，占被測人數(shù)的33.3%；總分在18分以下的有219人，占被測人數(shù)的42.4%。由此得出結(jié)論，大部分學(xué)生只是為了完成任務(wù)而解題，只要能解出正確答案就行，對自己的解題方法和解題過程從來不加以分析和反思，忽視了歸納數(shù)學(xué)思想方法，放棄了把感悟由經(jīng)驗上升到規(guī)律、由感性上升到理性的機(jī)會。長此以往，學(xué)生解題思路狹窄，思維的靈活性也得不到提高。

二、題后反思教學(xué)法的好處

以上調(diào)查表明，題后反思這一方法值得大力推廣，好處有三。

1.梳理思路，化零為整

解完一道題后不妨讓學(xué)生捋一下解題程序，有時會突然發(fā)現(xiàn)，一道題的解題模式竟涵蓋了很多同類題型的解題方法。這時要引導(dǎo)學(xué)生利用遷移規(guī)律來解決問題，提高自主學(xué)習(xí)能力。

如解一元一次不等式3x+6>2-x時，學(xué)生很容易得出解題過程，但是如果再對解題過程展開進(jìn)一步的分析，就會發(fā)現(xiàn)解所有一元一次不等式的“三部曲”——移項、合并同類項和三系數(shù)化為一。在分析與總結(jié)的過程中又回顧了如何移項，哪些是同類項以及不等式的基本性質(zhì)，一舉三得。這樣，有利于深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和解題方法的認(rèn)識，使其真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)其創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展。

2.一題多解，培養(yǎng)思維

在學(xué)生解答完題目后，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思解題的過程，尋找最佳解題方案，提高學(xué)生的解題能力。如，想想這道題是怎樣做出來的？回憶一下你思考的全過程？為什么要這樣做？還有沒有其他的方法？如果有，哪種方法更好？等等，幫助學(xué)生進(jìn)行反思。

例題：已知{a}為等差數(shù)列，其前10項的和S=100，前100項的和S=10，求前110項的和S

這道題目，學(xué)生獨(dú)立完成后都紛紛發(fā)表想法，不少同學(xué)采取了這樣的解法：要求等差數(shù)列的和可先求首項及公差，利用方程思想（常規(guī)解法）

設(shè)數(shù)列{a}的首項為a，公差為d，則10a+×10×9d=100。

100a+×100×99d=10 求出a，d

再由S=110a+d，得出結(jié)論。

但還有不少同學(xué)選用這樣的解法：函數(shù)思想（待定系數(shù)法）

數(shù)列{a}的前n項和S=A+Bn，則

100A+10B=100

10000A+100B=10，解出A=-，B=

再由S=A×110+B×110=-110

還有個別學(xué)生選用這樣的解法：利用性質(zhì)（簡化運(yùn)算）

因為數(shù)列{a}為等差數(shù)列

∴S-S=a+a+……+a==-90

∴a+a=a+a=-2，∴S==-110

學(xué)生解題后，教師提出問題要求學(xué)生反思，如“想想這道題是怎樣做出來的？回憶一下你思考的全過程”。并要求學(xué)生用自己的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行概述，說說自己的解題方法，再對每種方法進(jìn)行評價。前兩種都是很常用的解法，而后一種解法簡單明了，見解很獨(dú)到。最后讓學(xué)生在保留自己解題方法的基礎(chǔ)上，也參考一下別人的方法，把自己的方法和別人的方法進(jìn)行比較，最后積累屬于個人的知識組塊。通過此題采用多種解法解答激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，能夠進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生勇于探索的科學(xué)精神。

3.糾錯補(bǔ)漏，加強(qiáng)訓(xùn)練

在解題過程中，出現(xiàn)錯誤是不可避免的，關(guān)鍵是尋找錯因：究竟是知識的負(fù)遷移，還是落入命題者的“陷阱”？這樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有意識地選編典型易錯題進(jìn)行訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生對錯誤進(jìn)行全方位地反思，從試誤、糾錯再到正確的過程中，幫助學(xué)生弄清錯誤的根源，提高反思能力。

如：求過點(diǎn)（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個交點(diǎn)。

許多學(xué)生是這樣解的：設(shè)所求的過點(diǎn)（0，1）的直線為y=kx+1，則它與拋物線的交點(diǎn)為

y=kx+1y2=2x. ，消去y得（kx+1）2-2x=0。

整理得k2x2+（2k-2）x+1=0。

∵直線與拋物線僅有一個交點(diǎn)，∴△=0解得k=

∴所求直線為y=x+1

如果做過題后進(jìn)行檢查就會發(fā)現(xiàn)此解法共有三處錯誤：

第一，設(shè)所求直線為y=kx+1時，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形，實際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即k≠0，而上述解法沒做考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密的問題。

正確解法應(yīng)該是：①當(dāng)所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因為過點(diǎn)（0，1），所以x=0即y軸，它正好與拋物線y2=2x相切。

②當(dāng)所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行x軸，它正好與拋物線y2=2x只有一個交點(diǎn)。

③一般地，設(shè)所求的過點(diǎn)（0，1）的直線為y=kx+1（k≠0），

則y=kx+1y2=2x ，∴ k2x2+（2k-2）x+1=0

令Δ=0，解得k = ，

∴？搖所求直線為y=x+1

綜上，滿足條件的直線為：y=1，x=0，y=x+1

解完題后，如果能反思一下解題過程，不僅能鞏固已學(xué)的知識，避免解題的疏漏或錯誤，更重要的是還能對解題思路進(jìn)一步整理、歸納，對原題進(jìn)行引申發(fā)展，達(dá)到深化知識、積累經(jīng)驗的目的。在教學(xué)中，不失時機(jī)地通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“一題多解”訓(xùn)練，通過廣泛的聯(lián)想，使我們的思維觸角伸向不同的方向，不同的層次，這樣不僅能鞏固所學(xué)知識，而且能較好地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要逐步培養(yǎng)學(xué)生的題后反思意識，在數(shù)學(xué)活動中不斷進(jìn)行回顧、總結(jié)、評價和調(diào)節(jié)，讓學(xué)生在題后反思的過程中自我成長，學(xué)會學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)知識和方法，全面提升思維品質(zhì)。（責(zé)編 王鵬飛）