【摘 要】本文給出了證明一元多項(xiàng)式的整除性關(guān)系的常用的方法，并通過(guò)典型例題加以說(shuō)明，有利于讀者熟練證明一元多項(xiàng)式多項(xiàng)式的整除性。

【關(guān)鍵詞】多項(xiàng)式 整除 證明

多項(xiàng)式理論是代數(shù)學(xué)研究的最基本的對(duì)象之一，它不但與高次方程的討論有關(guān)，而且在進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)以及其它數(shù)學(xué)分支時(shí)也都會(huì)碰到。在多項(xiàng)式理論中，整除性理論是主要的內(nèi)容之一，而證明整除關(guān)系是整除性理論中最直接的問(wèn)題，本文給出了證明整除性常用的方法。

一、直接法（直接由定義證明）

由整除的定義，所謂多項(xiàng)式整除，是指能找到，使.在很多問(wèn)題里，我們可以直接或間接地將找出來(lái).

例1 設(shè)，且又若而，求證.

證 明 由條件，存在，分別使下兩式成立：

（2）代入（1）式得：

，因?yàn)楣视上ヂ芍?，從而由定義知.

說(shuō)明 這種方法的特點(diǎn)是，要證，可直接從中分解出；或根據(jù)條件，找使.即可證明整除關(guān)系.

二、利用帶余除法證明

由帶余除法知，多項(xiàng)式整除的充要條件是以除所得的余式為零.

例2 試證若，（為正整數(shù)），則必有.

證 明 用去除，由帶余除法，存在多項(xiàng)式使

這里余式或者，因而實(shí)際上是一個(gè)常數(shù)，記為要證，，只須證.

用反證法，假設(shè)，則由（3），

由上式及得，矛盾.從而結(jié)論成立.

三、用因式分解定理證明

由因式分解定理，我們可得如下事實(shí)：

設(shè)，

這里是非負(fù)整數(shù)，是不可約多項(xiàng)式.則當(dāng)且僅當(dāng).

例3 若，且. 證明.證明設(shè)，，這里

由于，故及互不相同（對(duì)所有的）又設(shè)

，這里不可約，.由知；由知.

綜上所述，有.

四、利用根與一次因式的關(guān)系

這是證明整除性的一種常用的、重要的方法. 我們知道，整除關(guān)系并不因數(shù)語(yǔ)的擴(kuò)大而改變，因此可以在復(fù)數(shù)域中討論多項(xiàng)式的整除關(guān)系，此時(shí)由代數(shù)基本定理，次方程在中恰有個(gè)根，而復(fù)數(shù)是的根，當(dāng)且僅當(dāng). 故要證，只須證（在內(nèi)）的根全是的根即可（重根按重?cái)?shù)計(jì)算：要求作為的根其重?cái)?shù)不超過(guò)作為的根的重?cái)?shù)）.

例4 試證，這里為任意正整數(shù).

證 明 由例3的結(jié)論，我們只須證的兩根（3次單位根）是的根. 注意到，所以從而.

說(shuō) 明 在用此法證明而的根又不唯一時(shí)，我們常需借助例3的結(jié)果.

五、歸納法

當(dāng)要證的整除關(guān)系式中含有任意正整數(shù)時(shí)，我們?？捎脭?shù)學(xué)歸納法法證明.

例5 試證對(duì)任意非負(fù)整數(shù)，均有，這里為任意正整數(shù).

證 明 對(duì)用歸納法：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)的情形成立，即存在，使，現(xiàn)考查的情形，

從而結(jié)論對(duì)的情形也成立，因而由歸納法，對(duì)一切非負(fù)整數(shù)，有.

參考文獻(xiàn)：

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[3]丘維聲. 高等代數(shù). 清華大學(xué)出版社[M].2010.

作者簡(jiǎn)介：繆彩花，女，1985年8月—，助教，云南宣威市人，漢族，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究，專業(yè)方向?yàn)閺?fù)分析。