摘 要：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究已成為當(dāng)今世界的核心科學(xué)問題之一，而現(xiàn)實(shí)世界中很多網(wǎng)絡(luò)都是各個(gè)連接間具有不同權(quán)值的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，采取一定的方法研究網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)統(tǒng)計(jì)特性、網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)特性和網(wǎng)絡(luò)演化模型等方面的內(nèi)容對現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義頗大。本文對加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究現(xiàn)狀及研究方法進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：加權(quán)網(wǎng)絡(luò) 權(quán)重 賦權(quán)方式

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1672-3791（2013）05（b）-0013-01

近年來，越來越多的學(xué)者對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生了興趣，來自各個(gè)不同領(lǐng)域的研究者正對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展進(jìn)行著密切的研究，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)以及加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的各種性質(zhì)正逐漸被揭示出來。構(gòu)建一種能較好模擬現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型是每一個(gè)研究者的目標(biāo)。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)經(jīng)歷了規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)幾個(gè)階段。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中大多數(shù)的研究都是針對無權(quán)網(wǎng)絡(luò)的，但現(xiàn)實(shí)世界中很多網(wǎng)絡(luò)都是各個(gè)連接間具有不同權(quán)值的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，例如航空網(wǎng)、科學(xué)家合作網(wǎng)等就是典型的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。加權(quán)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)?shí)際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)演化特性提供更加真實(shí)、細(xì)致和全面的描述。因此，對加權(quán)網(wǎng)絡(luò)研究的重要意義是顯而易見的。

1 研究現(xiàn)狀

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)就是由節(jié)點(diǎn)和連線畫出的一種網(wǎng)絡(luò)。在考慮實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的時(shí)候，我們通常關(guān)心的是節(jié)點(diǎn)之間是否有邊相連，而不考慮不同節(jié)點(diǎn)間連接的緊密程度—即邊的權(quán)值。事實(shí)上，許多網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)間相互關(guān)系的強(qiáng)度是不同的，僅知道邊的有無還不足以準(zhǔn)確反映個(gè)體之間的關(guān)系和差異，此時(shí)就不能再將系統(tǒng)抽象成無權(quán)網(wǎng)絡(luò)了，必須引入一個(gè)新的維度來描述和區(qū)分邊與邊之間的這種差異性。權(quán)重將提供更加細(xì)致的刻畫，加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的研究就在這種要求下誕生了。事實(shí)證明復(fù)雜加權(quán)網(wǎng)絡(luò)能夠更貼切地描述實(shí)際復(fù)雜系統(tǒng)，提供了人們深入探索實(shí)際復(fù)雜系統(tǒng)特性和復(fù)雜行為的一個(gè)數(shù)學(xué)工具，也拓展了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在實(shí)際中的應(yīng)用。

實(shí)際的許多系統(tǒng)都可抽象為加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，例如人際交往網(wǎng)絡(luò)，對于傳染病的傳播，有無接觸雖然起著決定作用，但頻繁接觸者和偶爾接觸者被感染的幾率應(yīng)該不同。在科學(xué)家合作網(wǎng)中，任意兩個(gè)科學(xué)家之間的合作次數(shù)是不同的，合作一次與合作十次對信息傳播的貢獻(xiàn)顯然不一樣，應(yīng)用不同的邊來表現(xiàn)兩個(gè)人合作的親密程度和思想傳播的難易程度，此時(shí)就需要根據(jù)實(shí)際情況給每條邊賦予權(quán)重才能反映出現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)。因此研究網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值問題是有必要并且是有意義的。

目前對加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的研究主要集中在網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)統(tǒng)計(jì)特性、網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)特性和網(wǎng)絡(luò)演化模型等幾個(gè)方面。對于加權(quán)網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)特性研究：除要研究拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之外，還需要分析在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的權(quán)值分布情況，以及引入權(quán)重以后網(wǎng)絡(luò)幾何量的重新定義和實(shí)證分析等方面工作。研究結(jié)果表明：在許多實(shí)際加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，除了冪律度分布、平均最短距離小、聚類系數(shù)高這些無權(quán)網(wǎng)絡(luò)所具有的基本特點(diǎn)外，點(diǎn)權(quán)和邊權(quán)也遵從冪律分布。

對于加權(quán)網(wǎng)絡(luò)上動(dòng)力學(xué)特性的研究：加權(quán)網(wǎng)絡(luò)將不同的邊賦予了權(quán)值，必然會(huì)影響各種物理量如信息、流量等在網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)特性。Brau nstein等[1]引入了隨機(jī)權(quán)值，研究了這種加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中權(quán)重隨機(jī)性強(qiáng)弱對最優(yōu)路徑的影響。Crucitti等[2]基于網(wǎng)絡(luò)上流量簡單再分配過程，研究了加權(quán)網(wǎng)絡(luò)關(guān)于一系列點(diǎn)（或邊）癱瘓與失效的模型，指出負(fù)載量最大的節(jié)點(diǎn)受到攻擊將會(huì)最大程度地降低網(wǎng)絡(luò)的有效性，甚至使系統(tǒng)癱瘓，這對于具有負(fù)載廣泛分布的Internet網(wǎng)和電力網(wǎng)等實(shí)際網(wǎng)絡(luò)預(yù)防攻擊是有重要意義的。

對于加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的建模研究：在加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，模型的建立以及運(yùn)用必須充分考慮各個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)和通路由于不同的實(shí)際權(quán)值所造成的網(wǎng)絡(luò)總體統(tǒng)計(jì)特性的極大差異。最近，Zheng等[3]研究了隨機(jī)分配權(quán)重的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)模型；Gao和Zhao等[4]首次提出了網(wǎng)絡(luò)形成的機(jī)制源于系統(tǒng)的階段平衡，這種平衡是確保新加入節(jié)點(diǎn)不能再通過改變自身的選擇而獲得更大的效用。

2 研究方法

（1）建立復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型。自然界中存在的大量復(fù)雜系統(tǒng)都可以通過形形色色的網(wǎng)絡(luò)加以描述。比如人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)：以人為節(jié)點(diǎn)，以“認(rèn)識(shí)”為連線，全中國某一天的人口就組成一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。在交通系統(tǒng)中，以地點(diǎn)表示節(jié)點(diǎn)，以公路、鐵路或航線表示邊而建立起來的公路網(wǎng)絡(luò)、鐵路網(wǎng)絡(luò)和航空網(wǎng)絡(luò)等等。這些關(guān)系網(wǎng)都可以用一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型來表示。

（2）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值研究。采取一定方式給網(wǎng)絡(luò)的邊賦權(quán)值，計(jì)算并分析點(diǎn)權(quán)的分布規(guī)律。通常采取以下三種方式給網(wǎng)絡(luò)的邊賦權(quán)重：①常數(shù)權(quán)重：網(wǎng)絡(luò)中每條邊的權(quán)重均為常數(shù)構(gòu)建的加權(quán)網(wǎng)絡(luò)。②服從指數(shù)分布的邊權(quán)重：假設(shè)邊的權(quán)重服從指數(shù)分布，即，其參數(shù)為>0。③服從節(jié)點(diǎn)度乘積分布的邊權(quán)重：設(shè)節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j的度分別為和，則連接這2個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊權(quán)重定義為：，其中可有效地調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度大小。（3）加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析?？梢圆捎眠x擇性攻擊和隨機(jī)性打擊的方法考察加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的容錯(cuò)能力和抗攻擊能力，討論網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)統(tǒng)計(jì)特征量的變化及特點(diǎn)。（4）實(shí)際應(yīng)用。以現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)網(wǎng)絡(luò)為例抽象出相應(yīng)的加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，并對其統(tǒng)計(jì)特性及動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究，得出相應(yīng)分布規(guī)律，以指導(dǎo)實(shí)際。例如，公交站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，通過模型的建立及靜態(tài)統(tǒng)計(jì)特征量的分析，可以給出緩解交通壓力的方案，以指導(dǎo)實(shí)際。

3 結(jié)語

現(xiàn)實(shí)世界中的大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)都是加權(quán)網(wǎng)絡(luò)，所以越來越多的人加入到加權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究隊(duì)伍，研究其幾何性質(zhì)、形成機(jī)制、網(wǎng)絡(luò)演化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律、網(wǎng)絡(luò)模型的性質(zhì)以及網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，并把它與真實(shí)系統(tǒng)結(jié)合起來。但由于目前對小世界網(wǎng)和無標(biāo)度網(wǎng)相關(guān)的工作還相當(dāng)有限，并且復(fù)雜加權(quán)網(wǎng)絡(luò)已展示出比拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)更廣泛的統(tǒng)計(jì)特性，所以對于復(fù)雜加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的研究尚處于早期階段，還有許多問題有待解決，許多方面要加強(qiáng)探索，許多相關(guān)課題值得進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)

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