摘 要：本文從研究正指數(shù)Sobolev空間中函數(shù)的逼近入手，用多分辨率分析構(gòu)造逼近的性能，恰當(dāng)?shù)恼业搅苏笖?shù)Sobolev空間中函數(shù)的等價(jià)性的描述和模的等價(jià)形式，這一結(jié)論成為我們深入刻畫函數(shù)空間的又一有效工具。

關(guān)鍵詞：多分辨率分析 Sobolev空間 分布 模

中圖分類號(hào)：O174.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2013）02（a）-0232-02

1 引言

在我們通常所使用的函數(shù)空間中，Sobolev空間是較為經(jīng)典的一類函數(shù)空間，并且由多分辨率分析在這一空間構(gòu)造所得的相關(guān)定理和結(jié)論可以推廣到其它一些函數(shù)空間中去。鑒于此，本文作者用正交級(jí)數(shù)的分解來(lái)刻畫正指數(shù)Sobolev 空間中函數(shù)的等價(jià)形式，并有效地估計(jì)了函數(shù)的模，這一分解補(bǔ)充了Berstein不等式，使之更為精確地描述了Sobolev空間中函數(shù)的特征。

我們從研究正指數(shù)Sobolev空間中函數(shù)的逼近開始，先給出這個(gè)空間的定義。當(dāng)時(shí)，與重合。如果，，并且它的所有的在分布意義上的導(dǎo)數(shù)也屬于，則稱。同樣也可以用<來(lái)定義，這是當(dāng)，且不再是整數(shù)時(shí)的定義。

在Sobolev空間中，我們可以用多分辨率分析構(gòu)造函數(shù)的逼近的性能。設(shè)是的一個(gè)正則多分辨率分析，用表示在中的正交補(bǔ)，表示在上的正交投影算子，從而在上的正交投影算子不是別的，就是=-。因此等價(jià)于，進(jìn)而有：

2 基本結(jié)論

利用上述分解可以對(duì)正指數(shù)的Sobolev空間進(jìn)行刻畫，我們有一重要定理，結(jié)論如下：

定理2.1：設(shè)，是的一個(gè)正則多分辨率分析，0〈〈，則當(dāng)且僅當(dāng)，且，其中，而。此外，在中的模等價(jià)于的模與級(jí)數(shù)的模之和。

證明：充分性。若，使得，其中，則。事實(shí)上，已知包含在中，因此，只要并且，就有屬于。為討論，用表示足夠小使得成立的數(shù)，我們使用的Hilbert結(jié)構(gòu)，有：

必要性。設(shè)是一個(gè)屬于的分布，而是一個(gè)對(duì)于足夠大的滿足的試驗(yàn)函數(shù)，顯然有：

設(shè)，構(gòu)造，使得，并且，最后選擇，滿足及，在此條件下有，因此

從上述定理的刻畫中，我們自然的想到，是否可以用多分辨率分析找到正指數(shù)的Sobolev空間中函數(shù)的等價(jià)性描述呢？這是個(gè)有意思的問題，答案是肯定的，主要結(jié)論如下：

定理2.2：的充分必要條件是其中，且在中的模有等價(jià)形式：

上述分解中的，和都是足夠光滑的。

由引理可知并且是次可微的，從而。根據(jù)Berstein不等式，我們有：

而由上述引理的結(jié)論及<，不難得到

因此，

接下來(lái)證明>0時(shí)，定理的充分性。由很容易看出。而當(dāng)時(shí)，，從而可以得到。

下面推導(dǎo)模的等價(jià)形式。由Bessel位勢(shì)的特征及Marcinkiewicz定理易知

綜上，>0時(shí)，定理的結(jié)論得到了證明。

綜上命題得到了證明，從而找到了正指數(shù)的Sobolev空間中函數(shù)的等價(jià)性描述。這一結(jié)論進(jìn)一步從理論上深化了我們對(duì)Sobolev空間的認(rèn)識(shí)，并且這一刻畫方法為我們研究其它函數(shù)空間提供了有力的基礎(chǔ)，拓寬了分析空間的思路。定理作為一個(gè)新的工具以簡(jiǎn)單的方式表達(dá)了函數(shù)和分布的性質(zhì)。

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