摘 要：利用同余法，遞歸數(shù)列法，pell方程相關(guān)理論解決了特殊不定方程的整數(shù)解。

關(guān)鍵詞：三次不定方程 整數(shù)解 pell方程

中圖分類(lèi)號(hào)：O156.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2013）02（a）-0213-01

關(guān)于不定方程（，且不含平方因子）D中不含有型素因子時(shí)已有了很多研究成果。當(dāng)含有型素因子時(shí)方程求解困難。1991年曹玉書(shū)研究了方程中含有型素因子的情況[1]。羅明1995年解決了方程的整數(shù)解的問(wèn)題[2]。本文證明了下列結(jié)論：

定理1 不定方程僅有整數(shù)解

定理2 不定方程僅有平凡解

引理1[3] 不定方程僅有整數(shù)解，。

引理2[4] 不定方程僅有平凡解。

定理1的證明：當(dāng)時(shí)有，方程兩邊同時(shí)除以125得令可得由引理1可知，或者即或者。

因?yàn)樗裕?）有以下兩種情形：

情形①

情形②

對(duì)于情形①中式可得：即通過(guò)因式分解可解得經(jīng)驗(yàn)證只有當(dāng)是原方程的解。

對(duì)于情形②由后式可得：將前式帶入可得：，借助工具M(jìn)athematica及pell方程相關(guān)理論，可得方程的全部解又以下兩個(gè)類(lèi)給出：

其中是方程的最小正數(shù)解，是pell方程的基本解。由F-L與不定方程的關(guān)系易得：

由③可知又所以與⑴矛盾所以無(wú)解：同理可得④無(wú)解：定理1證畢。

定理2的證明：當(dāng)時(shí)有，得令可得由引理2可知無(wú)正整數(shù)解。

當(dāng)5不整除時(shí)，原方程化為 （2）

因?yàn)樗裕?）有以下兩種情形：

情形⑤

情形⑥

對(duì)于情形⑤可得可得

由⑨可知又所以與（2）矛盾所以無(wú)解：同理可得⑩無(wú)解。

情形⑥后式可得即通過(guò)分解因式可得經(jīng)驗(yàn)證無(wú)解。同理可得⑦式無(wú)解。定理證畢。

參考文獻(xiàn)

[1]曹玉書(shū).關(guān)于丟番圖方程[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1991（1）：18-21.

[2]羅明.關(guān)于不定方程[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào).自然科學(xué)版），1995（3）：29-31.

[3]倪谷炎.關(guān)于不定方程[J][J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1999（3）：13-15.

[4]倪谷炎.關(guān)于不定方程[J].國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1999（5）：109-111.

[5]周持中.斐波那契—— 盧卡斯序列及其應(yīng)用[M].湖南科學(xué)技術(shù)出版發(fā)行社，1993：280-289.

[6]柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠蘙M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011，20-28.