常思江，曹小兵，王中原，宇文聰伶

（1.南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，南京210094；2.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 控制技術(shù)學(xué)院，江蘇 無錫214121；3.西北工業(yè)集團(tuán)有限公司 科研一所，西安710043）

隨著低間接傷害概率和高精度打擊逐漸成為現(xiàn)代戰(zhàn)爭對彈藥武器的基本要求，發(fā)展低成本彈道修正技術(shù)已成為提高火炮武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能的重要途徑之一。其中，一類采用脈沖發(fā)動機(jī)作為控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的彈道修正彈因成本較低、易于工程實現(xiàn)等受到了國內(nèi)外的廣泛關(guān)注[1－5]。

在此類脈沖修正彈的研究過程中，在其初步設(shè)計階段合理、有效地確定相關(guān)參數(shù)（如脈沖參數(shù)、彈道參數(shù)等）是極為重要的問題，國內(nèi)外也開展了相應(yīng)的研究。文獻(xiàn)[3]中以落點圓概率誤差為評判標(biāo)準(zhǔn)，采用蒙特卡羅方法，通過大量的數(shù)值仿真對脈沖個數(shù)、單脈沖沖量大小等參數(shù)進(jìn)行了設(shè)計；文獻(xiàn)[4]分別對修正閾值、脈沖力值、脈沖個數(shù)對脫靶量的影響進(jìn)行了仿真分析，以此作為確定脈沖末修迫彈參數(shù)的主要依據(jù)；文獻(xiàn)[5]則利用數(shù)值仿真擬合出了脈沖工作級數(shù)、修正時機(jī)等參數(shù)與修正距離的數(shù)學(xué)關(guān)系式。

根據(jù)上述文獻(xiàn)，該類脈沖修正彈箭的參數(shù)設(shè)計主要還是依靠大量不同條件下的數(shù)值仿真。該方式操作簡易，但對設(shè)計者的水平、經(jīng)驗等依賴較大，缺乏較強(qiáng)的理論支撐，且實際中難以窮盡所有條件，其結(jié)果存在一定的局限性。對此，本文以某低速旋轉(zhuǎn)尾翼式脈沖修正彈為對象，根據(jù)其特點建立了一個脈沖修正彈參數(shù)優(yōu)化設(shè)計模型，并提出一個基于自適應(yīng)罰函數(shù)且適于處理整數(shù)離散變量的改進(jìn)粒子群算法，對某些主要參數(shù)（如脈沖個數(shù)、單脈沖沖量大小等）進(jìn)行了尋優(yōu)，旨在為脈沖修正彈的參數(shù)設(shè)計提供一個新的思路和方法。

1 脈沖修正彈參數(shù)優(yōu)化設(shè)計模型

1.1 優(yōu)化設(shè)計變量與目標(biāo)函數(shù)

脈沖修正彈的設(shè)計參數(shù)主要包括脈沖發(fā)動機(jī)個數(shù)、單脈沖沖量大小、單個脈沖持續(xù)作用時間、脈沖發(fā)動機(jī)在彈體上的布局參數(shù)及彈體轉(zhuǎn)速等，它們對彈箭的彈道特性都有不同程度的影響，這些影響有時彼此之間相互制約，這也是開展參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的必要性所在。由于旨在討論思路和方法，為方便起見，本文選取脈沖發(fā)動機(jī)個數(shù)n、單脈沖沖量大小Iimp、脈沖發(fā)動機(jī)相對于彈體質(zhì)心的軸向布置位置（即軸向偏心距離）Limp及彈體尾翼斜置角εw為優(yōu)化設(shè)計變量，而其余一些參數(shù)（如單脈沖持續(xù)作用時間tp等）則根據(jù)相關(guān)試驗或經(jīng)驗取為定值。

考慮到脈沖修正彈的低成本特點及修正能力要求，選取脈沖發(fā)動機(jī)總沖量IT為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，在尋優(yōu)過程中，應(yīng)遵循一定原則尋求一組優(yōu)化設(shè)計變量使脈沖修正彈所用總沖IT最小，該目標(biāo)函數(shù)反映了設(shè)計方案對修正低能耗的要求。

1.2 優(yōu)化模型的約束條件

約束函數(shù)是對設(shè)計變量取值予以某些限制的數(shù)學(xué)關(guān)系式，或是對優(yōu)化設(shè)計問題本身提出的條件限制。根據(jù)脈沖修正彈的特點，對優(yōu)化設(shè)計模型提出如下約束條件。

①脈沖個數(shù)和單脈沖沖量大小約束。

對于本文研究的脈沖修正彈，多個脈沖發(fā)動機(jī)沿彈體周向均勻布置，由于彈體直徑有限，并考慮到工程中脈沖發(fā)動機(jī)噴口的尺寸以及彈體材料的強(qiáng)度約束，取脈沖發(fā)動機(jī)個數(shù)約束為nmin≤n≤nmax（n為偶數(shù)）；而單個脈沖發(fā)動機(jī)的沖量與火藥類型、裝藥量等有關(guān)，取單脈沖沖量約束為0＜Iimp＜Iimp，max。

②脈沖發(fā)動機(jī)軸向偏心距約束。

脈沖發(fā)動機(jī)的軸向偏心距影響彈箭在脈沖作用下受到的脈沖作用力矩的大小和方向，故與脈沖修正彈的修正能力和飛行穩(wěn)定性都有直接關(guān)系，這里取軸向偏心距約束為0≤Limp≤Limp，max。

③彈箭飛行攻角約束。

彈箭在無控及有控飛行過程中的攻角α均不能超過一定的限制，即α≤αmax。

④彈體轉(zhuǎn)速約束。

本文研究的是一種低旋尾翼彈，故在設(shè)計彈體轉(zhuǎn)速時須考慮避免共振的不利影響，由外彈道理論，低旋尾翼彈轉(zhuǎn)速應(yīng)至少大于2倍的共振轉(zhuǎn)速R；若彈體滾轉(zhuǎn)一周內(nèi)若干脈沖接續(xù)作用完畢，則彈體在脈沖持續(xù)作用時間tp內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)小于脈沖發(fā)動機(jī)噴口間的夾角2π/n。設(shè)彈體平衡轉(zhuǎn)速為L，則有

由于彈體平衡轉(zhuǎn)速與尾翼斜置角εw有關(guān)，因此，彈體轉(zhuǎn)速約束實質(zhì)上也是優(yōu)化設(shè)計變量εw和n之間的約束關(guān)系。尾翼斜置角和平衡轉(zhuǎn)速的關(guān)系：

式中：v為 彈 箭 速 度；kxw＝ρSlm′xw/（2C），kxd＝ρSldm′xd/（2C），其中ρ為大氣密度，S為彈體特征面積，l為彈體特征長度，d為彈徑，C為彈體極轉(zhuǎn)動慣量，m′xw為尾翼導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，m′xd為極阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)。

將式（2）代入式（1），可得：

式（3）反映了優(yōu)化設(shè)計變量εw和n之間的約束關(guān)系。

⑤修正能力約束。

修正能力是彈道修正彈最重要的技術(shù)指標(biāo)之一。因此，在尋優(yōu)過程中除需滿足以上約束條件外，為合理地配置資源，還要保證彈箭的實際修正能力Xa與需求修正能力Xd相匹配，Xd值可通過對彈箭無控散布或目標(biāo)運動特性的分析予以確定。修正能力的約束表達(dá)式為

式中：κ為需求修正能力的放大系數(shù)，κ≥1.0；σ表示精度要求，為一適當(dāng)小的正數(shù)。

1.3 優(yōu)化模型分析及求解方法選取

綜上所述，可將脈沖修正彈參數(shù)優(yōu)化設(shè)計模型寫成如下形式：

式中：E4表示設(shè)計變量的四維歐氏空間，gi（x）表示優(yōu)化模型中的不等式約束。

根據(jù)模型（5），該優(yōu)化問題為有約束混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題（MINLP），這類問題中的設(shè)計變量既有連續(xù)變量又有整數(shù)離散變量，且約束的存在要求尋優(yōu)時不僅要使目標(biāo)函數(shù)不斷趨于極值，還要實時檢驗解的可行性，故MINLP的求解比一般有約束優(yōu)化問題復(fù)雜得多，有必要尋求適配的求解方法。目前，處理MINLP的方法可分為隨機(jī)方法和確定方法，其中，隨機(jī)方法可同時處理連續(xù)變量和整數(shù)離散變量，并能借助評價函數(shù)引導(dǎo)尋優(yōu)。因此，本文提出采用一種隨機(jī)方法即粒子群算法[6]對優(yōu)化設(shè)計模型（5）進(jìn)行尋優(yōu)。下面將討論一種基于自適應(yīng)罰函數(shù)的改進(jìn)粒子群算法。

2 基于自適應(yīng)罰函數(shù)的改進(jìn)粒子群算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法SPSO2011

粒子群算法自1995年提出以來，經(jīng)各國學(xué)者不斷應(yīng)用和研究，提出了多種改進(jìn)。這里介紹由法國學(xué)者M(jìn)aurice Clerc于2011年提出的標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法SPSO2011[7]，其要點如下：

①采用自適應(yīng)隨機(jī)拓?fù)浞椒ù_定出每個粒子的鄰域。

②SPSO2011的速度更新公式為

式中：q為迭代次數(shù)；i代表粒子；vi（q）表示粒子i迭代q次后的速度；pi（q）表示粒子i迭代q次后的位置；w表示慣性權(quán)重；p′i（q）為超球面內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)點。

③邊界約束定義了各優(yōu)化變量的定義域[pi，min，pi，max]，最優(yōu)值包含其中，當(dāng)粒子越界時，將越界那一維的速度設(shè)為零，并將其位置作為邊界值。

④和普通標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法一樣，SPSO2011在粒子初始化和速度更新時也要用到隨機(jī)數(shù)，為了提高生成隨機(jī)數(shù)的質(zhì)量并降低尋優(yōu)失敗率，本文將采用文獻(xiàn)[8]中提出的KISS偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。

2.2 自適應(yīng)罰函數(shù)的構(gòu)造

罰函數(shù)方法是化有約束問題為無約束問題的常用方法，而自適應(yīng)罰函數(shù)法能夠利用尋優(yōu)過程中的反饋信息動態(tài)地調(diào)整罰因子，故學(xué)界普遍認(rèn)為該方法的尋優(yōu)效果更佳。目前，關(guān)于自適應(yīng)罰函數(shù)法的研究大多集中于進(jìn)化算法（如遺傳算法等）領(lǐng)域。盡管進(jìn)化算法與粒子群算法的原理、實現(xiàn)方式等差異較大，但基于兩者均屬于概率隨機(jī)方法這一事實，本文借鑒進(jìn)化算法中自適應(yīng)罰函數(shù)[9]的構(gòu)造思想，提出一種帶有自適應(yīng)罰函數(shù)的改進(jìn)粒子群算法。自適應(yīng)罰函數(shù)構(gòu)造如下。

設(shè)各粒子所表示的設(shè)計變量分別為X1，X2，…，Xs，整個群體的目標(biāo)函數(shù)平均值為（X），則對Xi構(gòu)造如下自適應(yīng)懲罰函數(shù)F（Xi）：

式中：m為約束的個數(shù)；vj（Xi）表示粒子Xi對第j個約束函數(shù)的違反值，其表達(dá)式為

而

對不可行粒子，懲罰函數(shù)將根據(jù)個體和整個群體的適應(yīng)值信息和約束違反程度動態(tài)地調(diào)節(jié)懲罰強(qiáng)度。

2.3 整數(shù)離散變量的處理

在脈沖修正彈參數(shù)優(yōu)化設(shè)計問題中，脈沖個數(shù)必須為整數(shù)，但在初始化和迭代更新時粒子位置無法保證一定是整數(shù)，故必須取整。常用方法是直接取最近的整數(shù)，但此方法可能會導(dǎo)致最終無法獲得最優(yōu)解。這里參考文獻(xiàn)[10]，采用一個簡單可行的隨機(jī)取整策略。

設(shè)整數(shù)變量在實數(shù)空間更新時為r值，取整時將從相鄰整數(shù)floorr和ceilr中隨機(jī)選取，ceilr和floorr分別表示向上和向下取整，而被選概率與其至r的距離成反比。以Intr表示對r取整，有

式中：U（0，1）為[0，1]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

3 算例仿真及結(jié)果

為了驗證以上改進(jìn)粒子群算法的效果，本文選取了7個廣泛應(yīng)用于各類智能算法（如模擬退火算法、遺傳算法等）性能測試的Benchmark函數(shù)[11]進(jìn)行檢測，全部得到了高質(zhì)量的最優(yōu)解（與精確解相比最大誤差約為0.002%），故可將其應(yīng)用于脈沖修正彈參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計。

改進(jìn)粒子群算法的主要參數(shù)及優(yōu)化變量取值范圍分別列于表1和表2中。表1中：NT為粒子總數(shù)，NH為隨機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的粒子數(shù)，w為慣性權(quán)重，c為加速系數(shù)上限值。

表1 改進(jìn)粒子群算法主要參數(shù)取值

表2 優(yōu)化設(shè)計變量的取值范圍

根據(jù)某制式彈的散布特性，本文以側(cè)向彈道修正為例，取修正彈的最大修正能力約束為50m；彈體飛行過程中最大攻角限幅αmax＝6°；初速v0＝420m/s，射角θ0＝45°；脈沖啟控點為距離落點1 000m斜距處，單脈沖持續(xù)作用時間tp＝20ms。

對改進(jìn)粒子群算法編制程序進(jìn)行尋優(yōu)，得到設(shè)計變量的優(yōu)化值：脈沖發(fā)動機(jī)個數(shù)為10，單個脈沖發(fā)動機(jī)沖量為18N·s，脈沖發(fā)動機(jī)布置的軸向偏心距為0.025m，彈體尾翼導(dǎo)轉(zhuǎn)角為0.244rad。相應(yīng)地，目標(biāo)函數(shù)即脈沖發(fā)動機(jī)總沖為180N·s。

表3 某脈沖修正彈的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

圖1 尋優(yōu)過程中罰函數(shù)值的收斂曲線

圖2 優(yōu)化變量對應(yīng)的修正彈道側(cè)偏曲線

圖3 優(yōu)化變量對應(yīng)的修正彈道攻角幅值

根據(jù)表3和圖1，改進(jìn)粒子群算法的多次尋優(yōu)結(jié)果略有差異，這是由于該類算法屬于隨機(jī)優(yōu)化方法，其優(yōu)化結(jié)果必然表現(xiàn)出一定的隨機(jī)特性，但從總體上看，多次優(yōu)化所得最優(yōu)罰函數(shù)值和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的變化不大，幾乎不影響實際應(yīng)用的效果。

從單次的粒子群尋優(yōu)過程來看，自適應(yīng)罰函數(shù)值在尋優(yōu)的最初階段下降很快，隨著粒子的不斷進(jìn)化，罰函數(shù)值的降低越發(fā)趨緩，當(dāng)粒子的進(jìn)化代數(shù)為30左右時，罰函數(shù)值已趨于一定值，體現(xiàn)了良好的收斂性。由圖2、圖3可看出，采用改進(jìn)粒子群算法尋優(yōu)所得優(yōu)化變量所對應(yīng)的修正彈道諸元也可滿足約束的要求。以上結(jié)果表明，采用基于自適應(yīng)罰函數(shù)的改進(jìn)粒子群算法求解脈沖修正彈參數(shù)優(yōu)化設(shè)計模型，收斂較快且優(yōu)化效果較好。

4 結(jié)束語

通過建立并采用適配方法數(shù)值求解脈沖修正彈參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計模型，可得到以下結(jié)論：①選取若干與脈沖、飛行彈道等相關(guān)參數(shù)作為設(shè)計變量，并在一定約束和目標(biāo)函數(shù)條件下進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，是一種合理、有效且理論性較強(qiáng)的設(shè)計方法；②提出的基于自適應(yīng)罰函數(shù)的改進(jìn)粒子群算法適于求解脈沖修正彈參數(shù)優(yōu)化設(shè)計這類有約束混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題，計算結(jié)果表明，該算法收斂快速且精度可靠。研究結(jié)果為該類彈箭的參數(shù)設(shè)計提供了新的思路和方法。

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