張海楊 田啟華，2 杜義賢，2

（1.三峽大學(xué)機(jī)械與材料學(xué)院，湖北宜昌 443002；2.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北宜昌 443002）

公理設(shè)計(jì)理論是通過對大量成功的設(shè)計(jì)案例進(jìn)行分析歸納，并從中抽象出設(shè)計(jì)過程的本質(zhì).公理設(shè)計(jì)的最終目標(biāo)如下：為設(shè)計(jì)活動(dòng)建立一個(gè)科學(xué)的模式，為設(shè)計(jì)人員提供一個(gè)基于邏輯和理性思維過程的理論基礎(chǔ)，進(jìn)而來改進(jìn)設(shè)計(jì)活動(dòng)［1］.但公理設(shè)計(jì)常用于概念設(shè)計(jì)，很少應(yīng)用到詳細(xì)設(shè)計(jì)階段中.對于某個(gè)給定的結(jié)構(gòu)，多目標(biāo)優(yōu)化則是比較有效的設(shè)計(jì)方法，多目標(biāo)優(yōu)化是一個(gè)比較具體的過程，更多地涉及到詳細(xì)設(shè)計(jì)方面.

多目標(biāo)優(yōu)化問題中各目標(biāo)間往往存在著矛盾，即要求各目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)是很困難的，所以最優(yōu)解不一定存在.而公理設(shè)計(jì)在處理大規(guī)模系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題時(shí)有著較強(qiáng)的優(yōu)勢［1］，Liu［2］、Hwang［3］、Jeff［4］和王曉勇［5］等應(yīng)用公理設(shè)計(jì)中的獨(dú)立公理，對多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行了改進(jìn).

本文基于公理設(shè)計(jì)理論中的獨(dú)立公理，在求解多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的過程中，運(yùn)用全參直度S（Semangularity）和全能直度R（Reangularity）分析技術(shù)來解決多目標(biāo)優(yōu)化問題中設(shè)計(jì)優(yōu)劣難以評價(jià)的問題.

1 基于公理設(shè)計(jì)的多目標(biāo)優(yōu)化方法

公理設(shè)計(jì)中的獨(dú)立公理指出：對于一個(gè)能夠接受的設(shè)計(jì)，功能要求（FRs）與設(shè)計(jì)參數(shù)（DPs）之間的映射存在一種特定的關(guān)系，即每個(gè)功能要求能獨(dú)立地被滿足并且不會(huì)影響其他功能要求的實(shí)現(xiàn).它們之間的映射可用以下設(shè)計(jì)方程式來表示［6］：

可簡化為：

式中，｛FR｝為功能要求集，｛DP｝為設(shè)計(jì)參數(shù)集，［A］為設(shè)計(jì)矩陣.

若要滿足獨(dú)立公理，設(shè)計(jì)矩陣就必須是對角矩陣或者三角矩陣.若［A］為對角矩陣，則每一個(gè)｛DP｝滿足一個(gè)｛FR｝，此種設(shè)計(jì)為無耦合設(shè)計(jì).若［A］為三角矩陣，則只有按一定的順序確定設(shè)計(jì)參數(shù)，才能使功能要求保持獨(dú)立性，此種設(shè)計(jì)為解耦設(shè)計(jì).除此之外的設(shè)計(jì)都是耦合設(shè)計(jì)，耦合設(shè)計(jì)是違反獨(dú)立公理的.

公理設(shè)計(jì)通過兩個(gè)量化指標(biāo)R 和S 來度量FRs之間的獨(dú)立性.R 被用來測量DPs 之間的交互作用，也就是DPs軸之間的角度關(guān)系.R 的表達(dá)式可表示如下［1］：

S 被用來測量FRs 和DPs 之間的交互作用，也就是設(shè)計(jì)矩陣歸一化之后其對角線元素的幅值.S 的表達(dá)式可表示如下［1］：

大多數(shù)工程設(shè)計(jì)問題都是多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，優(yōu)化設(shè)計(jì)的表達(dá)式為

與單目標(biāo)優(yōu)化相比，多目標(biāo)優(yōu)化在理論與計(jì)算方法上都還很不完善，也不夠系統(tǒng)［7］.所以，本文引入公理設(shè)計(jì)來完善多目標(biāo)優(yōu)化理論和方法體系.其具體步驟如下：

1）獲得設(shè)計(jì)矩陣.實(shí)際上，在優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中的目標(biāo)函數(shù)就相當(dāng)于功能需求，也就是公理設(shè)計(jì)中的｛FR｝，影響目標(biāo)函數(shù)值的參數(shù)相當(dāng)于設(shè)計(jì)參數(shù)｛DP｝（在優(yōu)化設(shè)計(jì)中稱作設(shè)計(jì)變量），但在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，｛FR｝要通過｛DP｝以數(shù)學(xué)公式的形式來表示.

式（2）可寫成如下微分形式：

則設(shè)計(jì)矩陣可變形為：

2）對設(shè)計(jì)矩陣進(jìn)行R／S 分析.目標(biāo)是找到最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，使其盡可能完美地滿足各功能需求.

由R、S 的定義可知（如圖1所示）：當(dāng)R＝S＝1時(shí)，設(shè)計(jì)是無耦合設(shè)計(jì)；當(dāng)R＝S 但不等于1時(shí)，設(shè)計(jì)被近似地看作是解耦設(shè)計(jì)；在僅有兩個(gè)FRs和DPs時(shí)，若R＝S，則該設(shè)計(jì)是解耦設(shè)計(jì)；其它情況下的設(shè)計(jì)均為耦合設(shè)計(jì).因此，通過R／S 分析可以得到：當(dāng)設(shè)計(jì)變量取某一組值時(shí)，各目標(biāo)函數(shù)耦合的程度.

圖1 獨(dú)立空間

3）建立關(guān)于R 與S 的目標(biāo)函數(shù).為了使多目標(biāo)優(yōu)化問題簡化為可以在二維區(qū)域內(nèi)圖形化的問題，并使計(jì)算變得相對容易，根據(jù)圖1將其形式確定如下：

4）利用Matlab強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算功能和繪圖功能，繪制出各目標(biāo)函數(shù)的圖形，結(jié)合上面步驟得出的結(jié)果進(jìn)行分析.

2 應(yīng)用分析

2.1 問題求解

以下是一個(gè)簡單的多目標(biāo)優(yōu)化問題，以此來舉例說明本文提出的方法.

1）獲得設(shè)計(jì)矩陣.

由式（7）可得設(shè)計(jì)矩陣

2）對設(shè)計(jì)矩陣進(jìn)行R／S 分析.

根據(jù)定義域的大小，將設(shè)計(jì)域均分為4個(gè)區(qū)域，針對各區(qū)域的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行R／S 分析計(jì)算.分析結(jié)果見表1.

表1 R／S分析結(jié)果

3）建立關(guān)于R 與S 的目標(biāo)函數(shù).

由式（8）可得

4）利用Matlab軟件繪制出各目標(biāo)函數(shù)的圖形，結(jié)合前幾步得到的結(jié)果進(jìn)行分析.

由以上分析可得，在功能上無耦合的區(qū)域中，目標(biāo)函數(shù)的最小值在x＝5，y＝5處取得.

2.2 應(yīng)用分析

使用Matlab軟件可繪制出以上兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)在邊界條件內(nèi)的三維圖形，如圖2所示，可以清晰地看出目標(biāo)函數(shù)值的變化趨勢.

圖2 二目標(biāo)函數(shù)的三維曲面表示

其Matlab代碼如下：

進(jìn)而使用Matlab軟件繪制出以上兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的二維等高線圖，如圖3所示.

圖3 二目標(biāo)優(yōu)化問題的二維等高線圖

其Matlab代碼如下：

下面對圖3進(jìn)行分析.

對于右上區(qū)域（點(diǎn)（5，5）和點(diǎn)（10，10）之間的區(qū)域），f1與f2近似相互垂直且與y、x 坐標(biāo)軸各自分別近似平行，系統(tǒng)是近似解耦的.

對于右下區(qū)域，只有f1與y 是近似平行的，系統(tǒng)是近似可解耦的.

對于左上、左下區(qū)域f1，f2與與y、x 軸都不平行，系統(tǒng)功能上是耦合的.

x，y 與f1，f2之間的關(guān)系也可以通過設(shè)計(jì)矩陣來描述.通過R／S 分析來判斷設(shè)計(jì)矩陣與理想的無耦合矩陣之間的差距.

根據(jù)這些分析結(jié)果，目標(biāo)函數(shù)的最小值（功能上無耦合）在點(diǎn)（5，5）處取得.因此，該多目標(biāo)優(yōu)化問題最優(yōu)解可以從無耦合的區(qū)域中確定.

3 結(jié) 語

本文用公理設(shè)計(jì)理論方法評估多目標(biāo)優(yōu)化問題，運(yùn)用R／S 分析，降低了系統(tǒng)的功能耦合度，達(dá)到了更好的設(shè)計(jì)效果.在今后的研究中可以擴(kuò)展R 與S 現(xiàn)有的定義，使其包含當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)的數(shù)目多于目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目的多目標(biāo)優(yōu)化問題.

［1］ S N P.Axiomatic Design：Advances and Applications［M］.New York：Oxford University Press，2001.

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［3］ Hwang K H，Lee K W，Park G J，et al.Robust Design of the Vibratory Gyroscope with Unbalanced Inner Torsion Gimbal Using Axiomatic Design［M］.Boston：Massachusetts Institution of Technology，2002.

［4］ Jeff Thielman，Ge Ping.Applying Axiomatic Design Theory to the Evaluation and Optimization of Large Scale Engineering Systems［J］.Journal of Engineering Design，2006，17（1）：1－16.

［5］ 王曉勇，唐敦兵，樓佩煌.基于設(shè)計(jì)公理的多屬性決策方法［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，43（3）：392－397.

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［7］ 黃洪鐘，姚新勝，周仲榮.基于滿意度原理的裝載機(jī)工作裝置的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2003，39（5）：97－103.