王麗霞，洪海燕

安徽大學江淮學院公共基礎部，安徽合肥，230031

1 引 言

Cai[1-2]得出了隨機利率和相依利率下離散時間保險模型破產概率的Lundberg上界，俞雪梨[3]和孔繁超[4]分別得出了隨機利率和相依利率下模型的破產前盈余，破產后赤字和破產持續(xù)時間的分布，何曉霞[5]討論了馬氏鏈利率下模型的破產概率，孫華斌[6]在相同模型下得到破產前盈余和破產后赤字的分布，Diasparra[7]在此模型下進一步考慮再保險，得出馬氏鏈利率下模型的破產概率的Lundberg上界。本文在利率為馬氏鏈情形下，研究離散時間比例再保險模型的破產前盈余及破產后赤字的聯合分布和破產持續(xù)時間分布等問題。

考慮如下離散時間再保險模型：

Un=Un-1(1+In)+C(bn-1)-h(bn-1,Yn),n=1,2,…

(1)

其中Un為保險公司在第n時刻的盈余，U0=u>0為初始資金，{Yk,k≥1}和{Ik,k≥1}均為獨立同分布的隨機變量序列且兩個序列相互獨立，{Yk,k≥1}表示第k期理賠支出，具有分布函數FY(y)=P(Y1≤y)，{Ik,k≥1}為第k期的利率，bn=πn(Un)僅依賴于當前的盈余，為第n期的比例因子，其中πn(n≥1)為一個馬氏控制策略，由保險公司的合同內容確定。顯然0≤bn≤1，而若b=1，即為無再保險的情形。本文令：

h(bn-1,y)=by

(2)

其中b為自留額比例，C(bn)為自留保費，C(b)=c-(1+θ)(1-b)E(Y)，θ為再保險公司的安全附加系數，c≥0是保險公司收入的保險費率，顯然0≤C(b)≤c。

假定隨機利率{In;n≥1}具有不可數狀態(tài)齊性馬氏鏈，其轉移概率矩陣為{Pij}。

Pij=P{In+1=j|In=i}

(3)

記Zk=bYk-C(b)，則{Zk,k≥1}是獨立同分布的隨機變量序列，分布函數記為FZ(y)=P(Z1≤y)，結合模型(1)及式(2)有：

(4)

定義停時T為破產時刻：

(5)

定義破產概率為：

ψ(u,i)=P(T<+∞|U0=u,I0=i)

(6)

定義破產時赤字在(0,x]上的概率為：

G(u,x,i)=P(|UT|≤x,T<∞|U0=u,I0=i),x>0

(7)

定義破產前瞬間盈余的分布為:

F(u,y,i)=P(|UT-|≤y,T<∞|U0=u,I0=i),y>0

(8)

定義：

D(u,x,y,i)=P(UT≤-x,UT-≥y,T<∞|U0=u,I0=i),x>0,y>0

(9)

為破產時赤字與破產前盈余聯合分布函數。

2 破產前盈余與破產后赤字的聯合分布

定理1在上述條件下D(u,x,y,i)滿足如下方程：

(10)

其中I(·)為示性函數。

≥y,T=n|U0=u,I0=i)

Un-3≥0,…，U1≥0|U0=u,I0=i)

當n=1時，d1(u,x,y,i)=P(U1≤-x,U0≥y,|U0=u,I0=i)

當y>u時，d1(u,x,y,i)=0

(11)

以下討論dn+1(u,x,y,i)。

在初始條件U0=u，I0=i，I1=j，Z1=z下:

(12)

所以

由(11)知，當y>u(1+j)-z時，d1(u(1+j)-z,x,y,i)=0，即且當u(1+j)-z<0時，U1<0，則dn(u(1+j)-z,x,y,i)=0(n≥2)。

上式的第二個等號是因為當z∈[u(1+j)-y,u(1+j)]時，z>u(1+j)-y，故d1(u(1+j)-z,x,y,i)=0

結合以上兩式，即得結論。

推論1破產概率ψ(u,i)滿足以下方程：

證明：在(10)式中令x=0,y=0即得。

推論2破產時赤字的分布G(u,x,i)滿足以下方程:

G(u,x,i)=ψ(u,i)-G1(u,x,i)

證明：由G(u,x,i)的定義有：

G(u,x,i)=ψ(u,i)-P(UT<-x,T<∞|U0=u,I0=i)ψ(u,i)-G1(u,x,i)

在(10)式中令y=0即得結論。

推論3破產前盈余的分布F(u,x,i)滿足以下方程：

F(u,x,i)=ψ(u,i)-F1(u,y,i)

證明：同推論2，在(10)式中令x=0即得結論。

3 破產持續(xù)時間的分布

定義破產后保險公司的盈余首次回復為正的時刻為:

定義破產后保險公司的破產持續(xù)時間為:

定理2N(k)(u,i0)滿足以下積分方程：

所以，

同理:

其中，

由歸納法知：

參考文獻：

[1]Cai Jun．Discrete time risk models under rates of interest[J]．Probability in the Engineering and Informational Sciences，2002，16(3)：309-324

[2]Cai Jun．Ruin probabilities with dependent rate of interest[J]．Journal of Applied Probability，2002，39(2)：312-323

[3]俞雪梨，肖綱景.隨機利率離散時間風險模型的破產問題[J].應用概率統(tǒng)計，2009，25(1)：38-46

[4]孔繁超，于莉．具有相依利息率的離散時間保險風險模型的破產問題 [J]．高校應用數學學報，2005，20(3)：320-326

[5]何曉霞，姚春，胡亦鈞.利率為馬氏鏈的離散時間風險模型的破產概率[J]. 應用概率統(tǒng)計，2012，28(3):270-276

[6]孫華斌，孫勇.具有Markov鏈利率的風險模型的破產研究[J].科學技術與工程，2010,10(24)：5976-5980

[7]Diasparra MA，Romera R．Bounds for the ruin probability of a discrete-time risk process[J]．Journal of Applied Probability，2009，46(1)：99-112

[8]何曉霞.一類離散時間比例再保險模型的破產問題[J]. 數學雜志,2012,32(1)：181-185