王焱平

(上海電力學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，上海201319)

1 關(guān)于幅角與多值函數(shù)

我們知道，復(fù)變函數(shù)中的多值函數(shù)大多是由幅角函數(shù)

w=Argz=argz+2kπ(k∈Z，這里Z代表整數(shù)集)

引起.幅角函數(shù)具有性質(zhì)：

Argz1z2=Argz1+Argz2.

這里，等號(hào)代表兩個(gè)數(shù)集相等，加法代表兩個(gè)數(shù)集的加法：A+B=x+yx∈A,y∈B.

例如：A=B=1,2,C=2,3,4，則C=A+B=A+A，2A=2,4，可見(jiàn)A+A≠2A.同理，

Argz2=Argz+Argz≠2Argz.

另外注意，對(duì)主幅角argz函數(shù)，性質(zhì)：

argz1z2=argz1+argz2

由此可知，復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz=lnz+iArgz雖具性質(zhì)：

Lnz1z2=Lnz1+Lnz2，

但

Lnz2=Lnz+Lnz≠2Lnz

又對(duì)它的任一個(gè)單值分支，w=lnz=lnz+iargz+2kπ(k為某個(gè)整數(shù))，性質(zhì)：

lnz1z2=lnz1+lnz2

也不再成立.

我們知道，反三角函數(shù)可用對(duì)數(shù)函數(shù)表示，例如，容易知道，

于是

2 關(guān)于柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式及留數(shù)定理

柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式可以作為留數(shù)定理的推論.對(duì)工科學(xué)生來(lái)講，重要的是盡快掌握數(shù)學(xué)的基本概念理論及應(yīng)用方法，應(yīng)該不要像數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生一樣太在意定理或公式證明的過(guò)程及從邏輯上計(jì)較應(yīng)該誰(shuí)在先誰(shuí)在后.基于這樣一個(gè)想法，這里把柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式放在留數(shù)定理后面介紹，作為留數(shù)定理的推論，可使整個(gè)結(jié)論統(tǒng)一起來(lái)，避免重復(fù)，又便于減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)及抓住學(xué)習(xí)的重點(diǎn).

留數(shù)定理：設(shè)復(fù)變函數(shù)fz在簡(jiǎn)單閉曲線C上連續(xù)，在簡(jiǎn)單閉曲線C內(nèi)部有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,…,zn，則

證明可利用復(fù)合閉路定理和留數(shù)的定義(略).由孤立奇點(diǎn)的分類及孤立奇點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算法則知柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式可作為該定理的推論.如下所述.

推論1：設(shè)復(fù)變函數(shù)fz在區(qū)域D解析，簡(jiǎn)單閉曲線C及其內(nèi)部均在D中，則對(duì)C內(nèi)部的任一點(diǎn)z0，有

即

證畢.

推論2：設(shè)復(fù)變函數(shù)fz在簡(jiǎn)單閉曲線C及其內(nèi)部區(qū)域D解析，則fz在區(qū)域D內(nèi)有任意階解析的導(dǎo)函數(shù)，且有高階導(dǎo)數(shù)公式：

證畢.

3 關(guān)于廣義δ-函數(shù)

許多同學(xué)單從以下表達(dá)式來(lái)理解廣義δ-函數(shù)：

定義：設(shè)R為實(shí)數(shù)集，S=fxfx:R→R是一個(gè)函數(shù)，有任意階導(dǎo)函數(shù)是一些函數(shù)構(gòu)成的集合，定義一個(gè)集合映射

δx:S→R，使得?fx∈S，δx:fx?f0，

即δxfx=f0.稱δx為廣義δ-函數(shù)(簡(jiǎn)稱為δ-函數(shù)).

先給出一個(gè)引理，證明很簡(jiǎn)單，這里略去.

利用函數(shù)族δεx，還可定義δx-x0為

則由定積分的變量替換公式我們有

故δt-t0在信號(hào)與系統(tǒng)中用于表示對(duì)信號(hào)在時(shí)刻t=t0采樣.

利用函數(shù)族δεx，還可定義δax為

于是，由定積分的變量替換公式我們有

故信號(hào)與系統(tǒng)中，δax用于表示對(duì)采樣信號(hào)的增強(qiáng)或減弱.

特別，取a=-1 則有δ-x=δx，故也稱廣義δ-函數(shù)為偶函數(shù).

類似可定義δ-函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)δ′x：δ′xfx=-f′0，?fx∈S,

綜上所述，由于我們將δ-函數(shù)的作用寫(xiě)成積分形式，所以一定要告知學(xué)生，出現(xiàn)δ-函數(shù)只有通過(guò)積分才有意義.δx本身只是一個(gè)符號(hào)(正象正弦函數(shù)sinx中的sin是一個(gè)符號(hào)一樣)，它只有作用在自變量fx∈S上才能表現(xiàn)出來(lái)，即

參考文獻(xiàn)：

[1]Ahlfors L V.Complex Analysis (Third Edition)[M].McGraw-Hill Companies，1979.

[2]鐘玉泉．復(fù)變函數(shù)[M]．北京：人民教育出版社，1980.

[3]方企勤．復(fù)變函數(shù)教程[M]．北京：北京大學(xué)出版社，1996.

[4]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室．復(fù)變函數(shù)(第四版)[M]．北京：高等教育出版社，1996.

[5]劉子瑞，梅家斌．復(fù)變函數(shù)與積分變換[M]．北京：科學(xué)出版社，2007.

[6]陳恕行．現(xiàn)代偏微分方程導(dǎo)論[M]．北京：科學(xué)出版社，2005.