張瑞靜， 韓加蓬

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255091)

爆胎后車輛的操縱穩(wěn)定性一直是相關(guān)學(xué)者的研究重點(diǎn)，橫擺加速度、側(cè)向加速度以及轉(zhuǎn)向橫拉桿力作為判斷車輛在行駛過程中是否處于穩(wěn)定狀態(tài)的參數(shù)指標(biāo)[1-2]，它們在車輛爆胎后的具體變化情況對爆胎后整車的運(yùn)動狀態(tài)有著重要的影響.但是，實(shí)車爆胎試驗(yàn)危險性較大且易受到試驗(yàn)條件的限制.所以可以進(jìn)行不同位置車輪不同車速下的胎壓異常工況下的車輛直線行駛試驗(yàn)，進(jìn)而預(yù)測汽車在高速直線行駛時，車輛爆胎瞬間的運(yùn)動響應(yīng)，為車輛爆胎主動安全技術(shù)和被動安全技術(shù)的研究提供參考依據(jù)，同時可以為相關(guān)交通事故的數(shù)據(jù)分析提供一定依據(jù).因此，爆胎預(yù)測模型的研究具有重要的實(shí)際價值.

1 多元線性回歸分析原理

多元線性回歸分析是在排除其他影響因素或假定其他影響因素確定的條件下，分析多個因素(自變量)是如何影響另一事物(因變量)的過程，用于揭示多個自變量和因變量之間的關(guān)系[3-4].

1.1 多元線性回歸分析模型及其矩陣表示

設(shè)y是一個可觀測的隨機(jī)變量，它受到p個非隨機(jī)因素x1,x2,…,xp和隨機(jī)因素ε的影響，若y與x1,x2,…,xp有如下線性關(guān)系：

y=β0+β1x1+…+βpxp+ε

(1)

其中：β0,β1,…,βp是p+1個未知參數(shù)，ε是不可測的隨機(jī)誤差，且通常假定ε～N(0,σ2).我們稱式(1)為多元線性回歸模型；稱y為被解釋變量(因變量)，xi(i=1,2,…,p)為解釋變量(自變量)；稱

E(y)=β0+β1x1+…+βpxp+ε為理論回歸方程.

對于一個實(shí)際問題，要建立多元回歸方程，首先要估計(jì)出未知參數(shù)β0,β1,…,βp，需進(jìn)行n次獨(dú)立觀測，得到n組樣本數(shù)據(jù)(xi1,xi2,…,xip;yi)，i=1,2,…,n，它們滿足式(2)，即

yn=β0+β1xn1+β2xn2+…+βpxnp+εn

(2)

其中：ε1,ε2,…,εn相互獨(dú)立且都服從N(0,σ2).

1.2 多元回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)

多元線性回歸方程中的未知參數(shù)β0,β1,…,βp可用最小二乘法來估計(jì)，即選擇β=(β0,β1,…,βp)T使誤差平方和

Q(β)

(3)

達(dá)到最小.由于Q(β)是關(guān)于β0,β1,…,βp的非負(fù)二次函數(shù)，因而必定存在最小值，利用微積分的極值求法可求得該模型的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

2 直線行駛試驗(yàn)數(shù)據(jù)的多元回歸方程

本試驗(yàn)中，正常胎壓為210kPa，設(shè)定胎壓下降率約為20%，最低降低72%,即試驗(yàn)輪胎氣壓變化范圍為210～60kPa.出于安全考慮，車速變化范圍設(shè)定為20～60km/h.數(shù)據(jù)的保存與輸出由DEWEsoft來完成[5-6].根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立各車輪各試驗(yàn)參數(shù)的數(shù)據(jù)文件，變量名分別為：胎壓p、車速v、橫擺角速度ω、側(cè)向加速度ay、轉(zhuǎn)向橫拉桿力f.右前輪各實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖1所示.

圖1 右前輪各實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

依次選擇菜單【分析】——【回歸分析】——【多元回歸分析】打開對話框如圖2所示.分別選擇側(cè)向加速度、橫擺角速度、轉(zhuǎn)向橫拉桿力作為因變量，車速和胎壓作為自變量進(jìn)行回歸分析，顯著性水平為默認(rèn)值α=0.05.

圖2 輸入選項(xiàng)對話框

通過回歸分析的輸出結(jié)果可初步得到所建立的回歸模型方程，從而建立直線行駛工況下不同車輪各穩(wěn)定性參數(shù)的回歸模型，如表1所示.

表1 直線行駛穩(wěn)定性參數(shù)回歸模型匯總

表1中，ω為橫擺角速度，v為車速，p為胎壓，ay為側(cè)向加速度，f為轉(zhuǎn)向橫拉桿力.

3 多元回歸模型的檢驗(yàn)

回歸方程建立后并不能立即用于分析和預(yù)測，只有所建立的回歸方程通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、顯著性檢驗(yàn)、系數(shù)檢驗(yàn)和殘差的正態(tài)性檢驗(yàn)后才能表明所建立回歸模型的合理性[7].下面以右前輪側(cè)向加速度為例，逐步進(jìn)行模型檢驗(yàn).

3.1 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

(4)

式中：n為樣本數(shù)據(jù)總和；m為自變量個數(shù)，它的數(shù)值在0～1之間，越接近1說明擬合程度越好.一般調(diào)整樣本決定系數(shù)大于0.75就可以認(rèn)為擬合的程度較好.

表2顯示的是多元線性回歸模型的擬合優(yōu)度情況，調(diào)整R方為0.951>0.75，所以可認(rèn)為側(cè)向加速度回歸方程的擬合程度極優(yōu).

表2 右前輪側(cè)向加速度多元回歸模型優(yōu)度檢驗(yàn)

3.2 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

回歸方程的顯著性檢驗(yàn)主要是用于檢驗(yàn)自變量和因變量之間的線性關(guān)系是否顯著，用線性模型來描述它們之間的關(guān)系是否恰當(dāng).一般用F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)回歸方程的顯著性，它的假設(shè)為H0∶βi=0,H1∶βi≠0.F統(tǒng)計(jì)量是

(5)

F統(tǒng)計(jì)量服從(m,n-1-m)的F分布，其中βi為回歸系數(shù)，n為樣本數(shù)據(jù)總和，m為自變量個數(shù).在顯著性水平α下，若F≥Fα(m,n-m-1)，則拒絕H0,認(rèn)為自變量和因變量之間線性關(guān)系是顯著的；否則接受H0.在SPSS中，軟件將自動計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值和對應(yīng)的概率P(Sig.)值.當(dāng)概率P(Sig.)值小于顯著性水平α?xí)r，則應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為自變量和因變量之間的線性關(guān)系顯著；反之，自變量和因變量之間線性關(guān)系不顯著.

表3為多元回歸分析的方差表，所對應(yīng)的Sig.值為0.008，遠(yuǎn)小于顯著性水平α=0.05，所以可認(rèn)為側(cè)向加速度與胎壓、車速間的線性關(guān)系是顯著的，可建立多元線性回歸模型.

表3 右前輪側(cè)向加速度多元回歸方差分析

3.3 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)主要是為了去掉對因變量影響不顯著的自變量.回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)常采用t檢驗(yàn)法.它的假設(shè)為H0∶βi=0,H1∶βi≠0.

根據(jù)t分布的定義，有

(6)

其中：βi為回歸系數(shù)，σ為無偏估計(jì)量，n為樣本數(shù)據(jù)總和，m為自變量個數(shù).這里對給定的顯著性水平α，當(dāng)|ti|≥tα/2(n-m-1)時，我們拒絕H0，認(rèn)為自變量對因變量影響是顯著的；反之，則接受H0.在SPSS軟件的輸出結(jié)果中，可直接通過P(Sig.)值與顯著性水平α的比較得出檢驗(yàn)結(jié)果.若各系數(shù)的t值所對應(yīng)的Sig.值小于顯著性水平α，則具有顯著的意義.

表4是多元回歸方程的系數(shù)以及對回歸系數(shù)的檢驗(yàn)結(jié)果.其中常數(shù)項(xiàng)、車速、胎壓的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀測值對應(yīng)的概率值P(Sig.)分別為0.004、0.000、0.000，全部小于顯著性水平α=0.05，所以各回歸系數(shù)有顯著意義，能夠很好解釋側(cè)向加速度與胎壓、車速之間的線性關(guān)系.

表4 側(cè)向加速度多元回歸系數(shù)

3.4 殘差的正態(tài)性檢驗(yàn)

當(dāng)自變量取特定的值時，對應(yīng)的殘差必定有正有負(fù)，但整體上應(yīng)服從以0為均值的正態(tài)分布.通常用殘差累計(jì)概率圖(P-P)來判斷一個變量的分布是否符合一個特定的“檢測分布”.如果兩種分布基本相同，那么在P-P圖中的點(diǎn)應(yīng)該圍繞在一條斜線的周圍，如果兩種分布完全相同，那么在圖中應(yīng)該只有一條斜線.

圖3 側(cè)向加速度多元回歸分析殘差累計(jì)概率圖

圖3為殘差的正態(tài)性檢驗(yàn)，可以看到殘差累計(jì)概率圖的散點(diǎn)都在直線附近，說明該回歸模型殘差基本符合正態(tài)分布.

所以，通過上述檢驗(yàn)可知，建立的側(cè)向加速度回歸模型是具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的，可以用于分析和預(yù)測.

將右前輪、左前輪、右后輪與左后輪的三種參數(shù)回歸模型分別進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、顯著性檢驗(yàn)、系數(shù)檢驗(yàn)和殘差的正態(tài)性檢驗(yàn).檢驗(yàn)表明，所建立的參數(shù)回歸模型是合理有效的.

4 爆胎預(yù)測分析

利用已建立的各參數(shù)多元線性回歸模型，預(yù)測汽車在高速直線行駛時，車輛爆胎瞬間的運(yùn)動響應(yīng).所設(shè)定的試驗(yàn)工況為正常行駛時車速120km/h、胎壓210kPa；爆胎工況為車速120km/h、胎壓0kPa.不同位置輪胎爆胎后車輛的行駛穩(wěn)定性參數(shù)值與車輛胎壓正常時各穩(wěn)定性參數(shù)值的比較見表5.

表5 胎壓正常與爆胎后各穩(wěn)定性參數(shù)值對比

5 結(jié)束語

基于高速爆胎工況下的汽車行駛穩(wěn)定性參數(shù)預(yù)測模型，可以預(yù)測出車輛在高速直線行駛時爆胎后各行駛穩(wěn)定性參數(shù)值的大小，既可以直觀地分析爆胎瞬間車輛的運(yùn)動響應(yīng)，又避免了道路實(shí)車實(shí)驗(yàn)在極端工況下產(chǎn)生的危險性，為汽車行駛穩(wěn)定性以及以后的爆胎控制方向提供一定的參考.

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