賈洪艷

(連云港職業(yè)技術(shù)學院 信息工程學院， 江蘇 連云港222006)

由一個或者一組非隨機變量來估計或預測某一個隨機變量的觀測值時，所建立的數(shù)學模型和進行的統(tǒng)計分析稱為回歸分析[1].長期以來，回歸分析在宏觀經(jīng)濟預測、醫(yī)療診斷、農(nóng)業(yè)產(chǎn)量分析等方面得到了廣泛應用.回歸分析本質(zhì)上是借助于函數(shù)模型，分析并確定函數(shù)模型中的參數(shù).一直以來，由于計算手段的限制，對模型參數(shù)的估計常常依賴單因素方差分析、最小二乘法等經(jīng)典統(tǒng)計方法，這些經(jīng)典統(tǒng)計方法都有一個共同的特點，那就是參數(shù)估計必須有明確的數(shù)學公式.近十幾年來，計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，以及吉布斯抽樣方法(Gibbs方法)的引入，為回歸分析拓寬思路和方法提供了可能.本文依據(jù)函數(shù)模型Y=(a+bX)/X+ε，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計原理，對模型進行參數(shù)估計，然后利用SAS程序?qū)?shù)進行概率抽取，從而實現(xiàn)對模型的參數(shù)估計.

1 函數(shù)模型的經(jīng)典統(tǒng)計學估計

本文針對如下函數(shù)模型討論

(1)

1.1 最小二乘估計法

由回歸模型(1)，設

(2)

或者

1.2 極大似然估計法

由于n組樣本觀測值可看作n個相互獨立的隨機變量，因此其似然函數(shù)為

利用

可計算出參數(shù)a,b的估計值，其估計結(jié)果表達式為

依據(jù)上述參數(shù)a,b的估計公式，對參數(shù)進行估計.

2 貝葉斯估計法

2.1 貝葉斯統(tǒng)計原理

設θ為包含所有未知參數(shù)的向量，p(θ|Y)是θ關(guān)于事件Y的條件概率，由統(tǒng)計學原理[2]知

p(θ,Y)=p(Y)p(θ|Y)=p(θ)p(Y|θ)

進一步有

(3)

其中:p(θ)和p(θ|Y)分別為先驗概率和后驗概率,p(Y|θ)為Y的概率密度函數(shù).由于p(Y)無法計算且不依賴參數(shù)θ，故可略去，(3)式可進一步改寫為

p(θ|Y)∝p(θ)p(Y|θ)

(4)

依據(jù)(4)式可以推導出θ中各個參數(shù)的后驗分布.由于這些后驗分布并不是明確的數(shù)學公式，因此，需要編寫SAS程序，依據(jù)SAS程序，運用Gibbs抽樣產(chǎn)生后驗樣本，通過一定的方法，分析該后驗樣本數(shù)據(jù)，進而獲得該參數(shù)的估計.

2.2 函數(shù)模型參數(shù)的后驗分布

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

3 基于SAS程序的函數(shù)模型參數(shù)的Gibbs模擬算法

2)根據(jù)式(6)～式(7)，運用SAS程序更新a;

3)根據(jù)式(8)～式(9)，運用SAS程序更新b；

5)重復步驟2)～步驟4)t輪；

6)分析樣本(a(1),b(1),σ2(1)),(a(2),b(2),σ2(2)),…，(a(t),b(t),σ2(t)),計算各參數(shù)的估計值.

4 實例分析

選用文獻[5]中例12.1演示上述算法.

例研究“岱字棉”自播種至齊苗(以80%出苗為準)的天數(shù)(X)與日平均土溫(Y，℃)的關(guān)系，得表1結(jié)果，試作回歸分析.

表1 土溫(Y,℃)和岱字棉播種至齊苗天數(shù)(X)的關(guān)系

5 結(jié)束語

長期以來，對數(shù)學模型參數(shù)進行估計，一直采用最小二乘法、極大似然法等經(jīng)典統(tǒng)計方法.這些方法的主要優(yōu)點是利用偏導函數(shù)指導搜索尋優(yōu)方向，搜索效率比較高，在適合的初始值條件下，可以較快實現(xiàn)目標函數(shù)的優(yōu)化.但是，這些方法也明顯存在著諸多缺陷，主要體現(xiàn)在：(1)對于一個需要進行參數(shù)估計的非線性方程必須提供其偏導函數(shù)，但事實上某些方程本身較為復雜，不易獲得其偏導函數(shù).(2)編制通用軟件難度較大.(3)對于不同數(shù)據(jù)進行估計時，必須根據(jù)數(shù)據(jù)的基本情況對模型提供合適的初始值，否則很容易陷入局部最優(yōu)陷阱.盡管貝葉斯方法早就被提出，但是，由于計算上的困難，其統(tǒng)計方法很少提及.得益于計算機技術(shù)的快速發(fā)展，貝葉斯方法重新被提起.貝葉斯統(tǒng)計對所要進行參數(shù)估計的非線性方程，不需要提供其偏導函數(shù)，只是對方程模型的參數(shù)進行概率抽取，因此，無論方程復雜與否，均不受影響.同時，與經(jīng)典統(tǒng)計不同的是，貝葉斯學派很重視先驗信息的收集、挖掘和加工，使它數(shù)量化，形成先驗分布，參加到統(tǒng)計推斷中來，從而極大地提高了統(tǒng)計推斷的質(zhì)量.本研究嘗試將SAS程序和貝葉斯統(tǒng)計相結(jié)合對數(shù)學模型參數(shù)進行估計，為統(tǒng)計方法提供了新的手段和途徑.

[1]何蘊理，賀亞平，陳中和，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計[M].北京：中國統(tǒng)計出版社，2008.

[3]Geman S,Geman D.Stochastic relaxation,Gibbs distribution and the Bayesian restoration of images[J].IEEE Tansactions on Pattern Analysis and Mechine Intelligence,1984,6:721～741.

[4]Gelfand A E,Smith A F M.Sampling based on approaches to calculating marginal densities[J].Journal of American Statistical Association,1990,85(2):339～355.

[5]莫惠棟.農(nóng)業(yè)試驗統(tǒng)計[M].上海：上海科學技術(shù)出版社，1984.