唐 紅，胡 容，廖榮南

(重慶郵電大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與計(jì)算研究中心，重慶400065)

0 引言

互聯(lián)網(wǎng)是一個(gè)規(guī)模巨大、難以控制的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)［1］，已發(fā)現(xiàn)其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有無(wú)尺度特性［2］，節(jié)點(diǎn)度具有冪律分布特性［3－4］，流量具有自相似性［5］，在自治系統(tǒng)(autonomous system，AS)層面互聯(lián)網(wǎng)具有富人俱樂(lè)部現(xiàn)象［6］，Internet業(yè)務(wù)量的多重分形特性［7－9］等一系列重要的復(fù)雜系統(tǒng)特性及現(xiàn)象，對(duì)互聯(lián)網(wǎng)運(yùn)行維護(hù)和管理控制帶來(lái)嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。路由器是互聯(lián)網(wǎng)中為信息流或數(shù)據(jù)分組選擇路由的設(shè)備，是網(wǎng)絡(luò)之間互連的樞紐。路由器緩存是分組交換網(wǎng)絡(luò)的重要傳輸機(jī)制，在數(shù)據(jù)包傳輸過(guò)程中，路由節(jié)點(diǎn)的緩存占用情況也展現(xiàn)出各種復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)行為，深入研究認(rèn)識(shí)這些行為可以為新機(jī)制、新協(xié)議的設(shè)計(jì)及網(wǎng)絡(luò)管理提供參考，具有重要的理論和工程意義。

袁堅(jiān)等對(duì)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的整體行為進(jìn)行了探討，發(fā)現(xiàn)各網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的緩存占用大小在時(shí)間和空間上均呈現(xiàn)冪律分布［10－11］，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的整體行為表現(xiàn)出自組織臨界現(xiàn)象［10］。劉鋒等提出了一種描述計(jì)算機(jī)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)包傳輸?shù)暮?jiǎn)單模型，并研究了沿著網(wǎng)絡(luò)固定路徑中路由節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)包占用緩存大小的統(tǒng)計(jì)特性，研究結(jié)果表明系統(tǒng)存在自由流和擁塞流兩種相態(tài)，在自由流狀態(tài)，數(shù)據(jù)包占用緩存大小服從冪律分布，在擁塞狀態(tài)，路由節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)包占用緩存大小呈現(xiàn)白噪聲特性［12］。還有研究結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)包占用緩存大小在時(shí)間序列上具有自相似特性，自相似程度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān);在功率譜圖中具有冪律分布特性，在高頻段呈現(xiàn)出白噪聲特性［13］。這些研究結(jié)果表明，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)緩存占用大小分布具有復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特性。

為了能更深入的研究緩存占用大小分布的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)行為，考慮到互聯(lián)網(wǎng)是無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)這一特性，本文建立了一個(gè)無(wú)尺度元胞自動(dòng)機(jī)模型，以互聯(lián)網(wǎng)中實(shí)際運(yùn)行的擁塞控制機(jī)制等作為元胞之間交互的規(guī)則，模擬數(shù)據(jù)包的傳輸過(guò)程，得到更為符合網(wǎng)絡(luò)實(shí)際的緩存占用大小數(shù)據(jù)，然后通過(guò)計(jì)算Lyapunov指數(shù)對(duì)節(jié)點(diǎn)緩存占用大小的混沌特性進(jìn)行分析。

1 基于無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)的元胞自動(dòng)機(jī)模型及仿真

1.1 仿真模型

元胞自動(dòng)機(jī)是定義在一個(gè)由具有離散、有限狀態(tài)的元胞組成的元胞空間上，并按照一定局部交互規(guī)則，在離散的時(shí)間維上演化的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)［14］。元胞自動(dòng)機(jī)模型最初主要用于生物、交通和地理信息系統(tǒng)等方面的動(dòng)力學(xué)研究。近年來(lái)，元胞自動(dòng)機(jī)模型也被應(yīng)用到網(wǎng)絡(luò)行為的研究，并且因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，能突現(xiàn)出宏觀上的一些復(fù)雜行為，已經(jīng)成為網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜行為的重要研究方法［15］。

大量的研究已證明互聯(lián)網(wǎng)是無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)，為了更為真實(shí)地模擬互聯(lián)網(wǎng)行為，本文采用Barabási和Abert［16］提出的算法構(gòu)建了一個(gè)無(wú)尺度元胞自動(dòng)機(jī)模型，并將元胞分為核心元胞和普通元胞。

1)核心元胞:節(jié)點(diǎn)度超過(guò)10的元胞定義為核心元胞，與網(wǎng)絡(luò)中核心路由器相對(duì)應(yīng)。核心元胞只具有存儲(chǔ)和轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)據(jù)包的功能。

2)普通元胞:節(jié)點(diǎn)度少于10的元胞定義為普通元胞，與網(wǎng)絡(luò)中邊緣路由器及與之相連的終端相對(duì)應(yīng)，具有隨機(jī)產(chǎn)生數(shù)據(jù)包和存儲(chǔ)轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)據(jù)包功能。

每個(gè)元胞都具有一個(gè)緩存空間Cn，定義元胞單位時(shí)間內(nèi)能處理數(shù)據(jù)包的最大個(gè)數(shù)為元胞的處理速度Vrouter。元胞的鄰居是在無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)中與該元胞有直接邊相連的節(jié)點(diǎn)。t時(shí)刻某元胞的狀態(tài)不但受當(dāng)前時(shí)刻鄰居元胞狀態(tài)的影響，還受自己在前一時(shí)刻狀態(tài)的影響。所有元胞在局部交互規(guī)則的作用下，相互協(xié)作完成數(shù)據(jù)包的傳輸。

1.2 交互規(guī)則

網(wǎng)絡(luò)中路由器轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)據(jù)包的實(shí)際過(guò)程是:終端隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包首先到達(dá)邊緣路由器，路由器根據(jù)數(shù)據(jù)包攜帶的目的IP地址查看路由表，然后將數(shù)據(jù)包按照正確的端口轉(zhuǎn)發(fā)到下一個(gè)路由器，經(jīng)歷過(guò)若干個(gè)中間節(jié)點(diǎn)，最終達(dá)到目的端。

根據(jù)這個(gè)過(guò)程，模型中的數(shù)據(jù)包通過(guò)一系列的元胞存儲(chǔ)轉(zhuǎn)發(fā)到達(dá)目的節(jié)點(diǎn)。元胞在為數(shù)據(jù)包進(jìn)行路由選擇時(shí)采取靜態(tài)路由算法，即路由過(guò)程中即使發(fā)生了擁塞現(xiàn)象，元胞也不會(huì)再選擇其他的路徑。采用Floyd算法求出前述無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)元胞之間的最短路徑并存儲(chǔ)在每個(gè)元胞的路由表中。

模型中采用以下方式轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)據(jù)包:在每一時(shí)刻，按照先入先出的順序取出數(shù)據(jù)包并根據(jù)路由表確定該數(shù)據(jù)包要轉(zhuǎn)發(fā)到的下一個(gè)元胞，如果下一個(gè)元胞緩存已經(jīng)飽和，則數(shù)據(jù)包在這一時(shí)刻停留在原來(lái)的元胞緩存隊(duì)列中;如果沒(méi)有飽和，則對(duì)數(shù)據(jù)包進(jìn)行轉(zhuǎn)發(fā)。

參照TCP擁塞控制機(jī)制，定義了元胞交互機(jī)制如下［13］。

1)t=0時(shí)刻，初始化每個(gè)元胞已占用的緩存隊(duì)列qn，緩存隊(duì)列大小為Cn，最大時(shí)步T。

2)由于真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中每時(shí)刻終端隨機(jī)的產(chǎn)生一定數(shù)量的數(shù)據(jù)包，因此在每一時(shí)步每個(gè)普通元胞按照均勻分布方式產(chǎn)生數(shù)據(jù)包vterminal(t)，這些數(shù)據(jù)包把與該普通元胞直接相連的元胞作為源節(jié)點(diǎn)，其余元胞為目的節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)包，并排在該元胞緩存隊(duì)列的最后面。元胞每步可以處理的數(shù)據(jù)包個(gè)數(shù)由路由最大轉(zhuǎn)發(fā)速率Vrouter(n)和發(fā)送速率vn_out(t)決定，未得到處理的數(shù)據(jù)包在緩存隊(duì)列中等待。

3)按每一時(shí)步，進(jìn)行以下步驟。

第1步，每個(gè)普通元胞按照均勻分布方式隨機(jī)產(chǎn)生n個(gè)數(shù)據(jù)包，其中1nM，M=50。

第2步，計(jì)算緩存隊(duì)列大小。

(1)式中:vn_in(t)為t時(shí)刻元胞n接收的數(shù)據(jù)包數(shù)量，等于所有鄰居元胞在t時(shí)刻發(fā)送到該元胞的數(shù)據(jù)包總和;vn_out(t)為該元胞在t時(shí)刻發(fā)送出去的數(shù)據(jù)包總數(shù)。

第3步，判斷每個(gè)數(shù)據(jù)包是否到達(dá)目的端，如果沒(méi)有達(dá)到則該數(shù)據(jù)包生存時(shí)間加1。

第4步，計(jì)算每個(gè)元胞的最大發(fā)送速率vn_max(t+1)，規(guī)則如下。

第5步，計(jì)算每個(gè)元胞的期望發(fā)送速率vn_expect(t+1)。

根據(jù)實(shí)際的擁塞控制機(jī)制，為發(fā)送速率設(shè)置一個(gè)門(mén)限值，該門(mén)限值設(shè)置為該時(shí)刻此元胞最大發(fā)送速率的一半vn_max(t)/2，如果vn_out(t)vn_max(t)/2，期望發(fā)送速率成指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，類(lèi)似于TCP擁塞控制算法中的“慢速啟動(dòng)”過(guò)程;當(dāng)vn_max(t)/2≤vn_out(t)vn_max(t)時(shí)，說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)快要達(dá)到飽和狀態(tài)，應(yīng)該以一個(gè)較小的增長(zhǎng)速率a進(jìn)行數(shù)據(jù)的發(fā)送，模型進(jìn)入“擁塞避免”階段，防止網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生大量的丟包。當(dāng)vn_out(t)≥vn_max(t)時(shí)，采用“快速恢復(fù)”策略，網(wǎng)絡(luò)緩存隊(duì)列已經(jīng)發(fā)生擁塞，則馬上調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的發(fā)送速率，設(shè)置一個(gè)減少系數(shù)b，用于控制發(fā)包速度，減少擁塞程度，規(guī)則如下

第6步，計(jì)算每個(gè)元胞的實(shí)際發(fā)送速率vn_out(t+1)

第7步，統(tǒng)計(jì)每一時(shí)步的丟包數(shù)，當(dāng)生命周期到達(dá)時(shí)數(shù)據(jù)包都還沒(méi)有轉(zhuǎn)發(fā)到目的終端，則認(rèn)為已經(jīng)丟包，并把這個(gè)數(shù)據(jù)包從元胞的緩存隊(duì)列中清除。

第8步，如果t小于時(shí)刻T，則返回第一步繼續(xù)執(zhí)行，否則退出。

1.3 仿真結(jié)果

采用無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)模型，生成了一個(gè)有291條邊和100個(gè)元胞構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，其中?1個(gè)核心元胞和89個(gè)普通元胞。利用上述局部交互機(jī)制，應(yīng)用元胞自動(dòng)機(jī)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)包傳輸過(guò)程的仿真，緩存隊(duì)列大小Cn=5 000，元胞處理速度vrouter(n)=500，為防止模型中在初始時(shí)刻內(nèi)發(fā)生擁塞，設(shè)置數(shù)據(jù)包數(shù)量M=50，初始發(fā)送速率vn_out(t=0)=1，參數(shù)a=1，b=1/2，經(jīng)過(guò)T=10 000步得到每一時(shí)刻元胞的緩存占用大小分布情況，總體上核心元胞的緩存占用比普通元胞的緩存占用多，但它們的分布都是隨時(shí)間波動(dòng)的，而在不同時(shí)刻，100個(gè)元胞的緩存占用大小的分布卻是相似的。因文章篇幅有限，在所有元胞中隨機(jī)選取了一個(gè)核心元胞和一個(gè)普通元胞的緩存占用大小隨時(shí)間的分布情況如圖1所示。

從圖1中可以看出單個(gè)元胞緩存占用大小隨時(shí)間波動(dòng)比較大，核心元胞的緩存占用大小數(shù)值分布在100—430，普通元胞的緩存占用大小數(shù)值分布在20—150范圍內(nèi)，核心元胞緩存占用大小比普通元胞的更大，產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因是核心元胞具有更多的鄰居，每時(shí)刻流經(jīng)核心元胞的數(shù)據(jù)包數(shù)量比普通元胞多。

為了觀察不同時(shí)刻該模型中所有元胞的緩存占用大小的分布情況，取出第1 000，5 000和10 000時(shí)刻的數(shù)據(jù)，如圖2所示，分別代表了整個(gè)過(guò)程的初始階段，中間階段和結(jié)束時(shí)刻，其中X軸為不同的元胞編號(hào)，元胞按照無(wú)尺度模型中加入的先后順序編號(hào)。

圖1 節(jié)點(diǎn)緩存占用大小Fig.1 Size of node＇s cache occupied

圖2 不同時(shí)刻緩存占用大小分布圖Fig.2 Cache occupied size distribution in different time

從圖2中可以看出，在不同時(shí)刻，系統(tǒng)中元胞的緩存占用大小分布是相似的，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。為了驗(yàn)證這個(gè)直觀結(jié)論，采用Lyapunov指數(shù)來(lái)對(duì)緩存占用大小的特性進(jìn)行定量分析。

2 緩存占用大小的Lyapunov指數(shù)分析

Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo)，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。Lyapunov指數(shù)沿某一方向取值的正負(fù)和大小，表示長(zhǎng)時(shí)間系統(tǒng)在吸引子中相鄰軌道沿該方向平均發(fā)散或收斂的快速程度，任何(平庸的和穩(wěn)定的)吸引子必定有一個(gè)Lyapunov指數(shù)是負(fù)的;對(duì)于混沌，必有一個(gè)Lyapunov指數(shù)是正的，因此，只要由計(jì)算得知，吸引子至少有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，便可以肯定它是混沌的。即對(duì)離散動(dòng)力系統(tǒng)，或者說(shuō)是非線性時(shí)間序列，往往不需要計(jì)算出所有的Lyapunov指數(shù)，通常只需計(jì)算出其最大的 Lyapunov指數(shù)即可［17］。1993年，Rosenstein M T等［18］提出了一種基于小數(shù)據(jù)集計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的方法。在此基礎(chǔ)上，很多學(xué)者利用最大Lyapunov指數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的混沌性。由于基于無(wú)尺度元胞自動(dòng)機(jī)模型中每一時(shí)刻每個(gè)元胞都不斷的有新的數(shù)據(jù)包到達(dá)和離開(kāi)，是一個(gè)由大量元胞相互作用的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，因此我們采用Lyapunov指數(shù)來(lái)對(duì)占用的緩存大小的混沌特性進(jìn)行分析。

采用Michael T.Rosenstein等提出的小數(shù)據(jù)量法［18］計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，具體步驟如下。

1)利用 Kim.H.S 等［22］1999 年提出的 C－C 算法計(jì)算時(shí)間延遲τ、嵌入維m。

2)求出功率譜及頻率:Power=Y(1:N/2)2，f=(1:N/2)/(N);周期:period=1/f。

3)依計(jì)算時(shí)間延遲τ、嵌入維m重構(gòu)相空間{Yj，j=1，2，…，M}。

4)找相空間中每個(gè)點(diǎn)Yj的最近鄰點(diǎn)Y^j，并限制短暫分離，即

5)對(duì)相空間中每個(gè)點(diǎn)Yj計(jì)算出該鄰點(diǎn)對(duì)的第i個(gè)離散時(shí)間步后的距離dj(i)

6)對(duì)每個(gè)i，求出所有j的dj(i)平均y(i)，即

7)用最小二乘法作回歸直線，該直線的斜率就是最大Lyapunov指數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

3.1 單個(gè)元胞的緩存占用大小混沌特性分析

為了避免初值和過(guò)渡態(tài)的影響，取出圖1所示的元胞緩存占用大小最后1 000個(gè)數(shù)據(jù)作為分析的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，采用上節(jié)所述方法計(jì)算單個(gè)元胞緩存占用大小的最大Lyapunov指數(shù)，結(jié)果如下:計(jì)算普通元胞平均周期得到p=8.62(如圖3所示)和最佳延遲 tau=3，時(shí)間窗tw=27，嵌入維m=10(如圖4所示);計(jì)算核心元胞平均周期得到p=11.49和最佳延遲 tau=3，時(shí)間窗tw=16，嵌入維m=6.33。

曲線擬合求得普通元胞最大Lyapunov指數(shù)為0.007 1，如圖5所示，核心元胞最大Lyapunov指數(shù)為0.003，如圖6所示。

通過(guò)上面所示的流程及前面計(jì)算出來(lái)的最佳時(shí)延τ、最優(yōu)嵌入維m及平均周期p，計(jì)算出單個(gè)普通元胞和核心元胞在本次實(shí)驗(yàn)中的最大Lyapunov指數(shù)分別為0.007 1和0.003，由上面介紹知道，最大Lyapunov指數(shù)為正數(shù)，便可以肯定它是奇怪的，從而知道單個(gè)普通元胞或核心元胞在不同時(shí)刻占用緩存大小變化是混沌的。

圖3 計(jì)算平均周期圖Fig.3 Calculating the average cycle

圖4 最佳延遲，時(shí)間窗，嵌入維圖Fig.4 Optimal delay，time window，embedding dimension

3.2 系統(tǒng)的緩存占用大小混沌特性分析

為了分析在不同時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)的緩存占用大小的混沌特性，采用圖2所示的第1 000時(shí)刻、第5 000時(shí)刻和第10 000時(shí)刻所有元胞的緩存占用大小作為分析的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。通過(guò)計(jì)算，在第1 000時(shí)刻曲線擬合求得最大Lyapunov指數(shù)為－0.822 84，如圖7所示;在第5 000時(shí)刻曲線擬合求得最大Lyapunov指為－0.683 9，如圖8所示;在第10 000時(shí)刻曲線擬合求得最大Lyapunov指為－1.183 1，如圖9所示。

圖6 核心元胞最大Lyapunov指數(shù)分布Fig.6 Most Lyapunov exponent distribution of kernel cell

圖7 第1 000時(shí)刻最大Lyapunov指數(shù)分布Fig.7 Most Lyapunov exponent distribution of the one thousand moment

圖8 第5 000時(shí)刻最大Lyapunov指數(shù)分布Fig.8 Most Lyapunov exponent distribution of the five thousand moment

通過(guò)分析在某時(shí)刻元胞之間的占用緩存大小的最大Lyapunov指數(shù)，發(fā)現(xiàn)在第1 000，5 000和10 000時(shí)刻所有元胞占用緩存大小最大Lyapunov指數(shù)均小于零，故可認(rèn)為所有元胞構(gòu)成的系統(tǒng)在不同時(shí)刻占用的緩存大小分布都比較均勻，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。這可以說(shuō)明雖然單個(gè)元胞的緩存占用大小變化都是混沌的，但系統(tǒng)的緩存占用大小在元胞間相互作用下則處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖9 第10 000時(shí)刻最大Lyapunov指數(shù)分布Fig.9 Most Lyapunov exponent distribution of the ten thousand moment

上面的計(jì)算和分析表明，網(wǎng)絡(luò)中單個(gè)節(jié)點(diǎn)的緩存占用大小表現(xiàn)出不穩(wěn)定的混沌特性，而所有節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)的緩存占用大小整體上則是穩(wěn)定的。

4 結(jié)論

本文提出了一種無(wú)尺度元胞自動(dòng)機(jī)模型，并引入擁塞控制等網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行機(jī)制來(lái)更真實(shí)地模擬網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)包的傳輸;采用最大Lyapunov指數(shù)來(lái)定量分析單個(gè)節(jié)點(diǎn)及整體的緩存占用大小的混沌特性，發(fā)現(xiàn)單個(gè)節(jié)點(diǎn)的緩存占用大小是混沌的，而所有節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)的緩存占用大小是穩(wěn)定的，這說(shuō)明該系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，雖然其中的個(gè)體狀態(tài)是不穩(wěn)定的，但整體卻突現(xiàn)出了穩(wěn)定性。下一步工作可進(jìn)一步通過(guò)最佳延遲，最佳嵌入維和最大Lyapunov指數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)下一時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的緩存占用情況，從而減少擁塞發(fā)生的概率，提高數(shù)據(jù)包傳輸效率。

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