沈海鷗，王永民，許 華

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院陜西西安710077)

0 引言

在低信噪比環(huán)境下，傳統(tǒng)的同步算法已經(jīng)不能有效工作，又由于低密度奇偶校驗(low density parity check，LDPC)碼具有接近香農(nóng)限的優(yōu)異性能［1］，使得編碼輔助載波同步成為近年來的研究熱點［2-5］。文獻(xiàn)［6］系統(tǒng)地給出了數(shù)據(jù)輔助(data-aided，DA)、非編碼輔助(non-code-aided，NCA)、編碼輔助(code-aided，CA)3類同步方法的性能比較，CA同步的性能隨著迭代次數(shù)的增加逐漸收斂于DA同步，且明顯優(yōu)于NCA同步;文獻(xiàn)［7］利用譯碼軟信息輔助相位信息的估計，估計精度較高，但缺點是只能工作在零頻偏條件下;文獻(xiàn)［8］在此基礎(chǔ)上，考慮了殘留頻偏的影響，但是允許的頻偏很小;文獻(xiàn)［9］以最大化基于軟信息的代價函數(shù)為準(zhǔn)則，通過搜索窗輔助的單純形算法實現(xiàn)粗估計，以復(fù)雜度為代價獲得了較大的同步估計范圍;文獻(xiàn)［10］在小同步范圍的前提下，針對BPSK和QPSK信號提出了基于軟判決反饋的迭代信息減少(information reduced，IR)的CA同步，在低信噪比條件下性能優(yōu)異;N.Noles在文獻(xiàn)［11］中給出了基于期望最大(expectation-maximization，EM)算法的迭代載波同步的理論框架，而文獻(xiàn)［12］提出了一種基于EM算法的頻差聯(lián)合相差估計算法，但是其頻率估計范圍仍然較小。文獻(xiàn)［13-14］研究了導(dǎo)頻輔助的粗同步方案，可以獲得較大的同步范圍，但是其復(fù)雜度較高，且在一定程度上降低了頻帶利用率。

由于在低信噪比條件下，較大的頻偏和相偏會大幅降低輸入譯碼器的信號功率，導(dǎo)致譯碼軟信息的值不再可靠，進(jìn)而使得同步器和譯碼器均無法收斂，尤其是較大的殘留頻偏會導(dǎo)致LDPC譯碼性能嚴(yán)重惡化，而現(xiàn)有CA載波同步算法難以同時滿足頻偏估計范圍和估計精度的要求。針對這一問題，本文提出了一種改進(jìn)的CA載波同步算法，并給出了詳細(xì)的實現(xiàn)步驟和仿真分析。

1 最大似然同步參數(shù)估計

假設(shè)發(fā)送任意復(fù)值碼元序列 a={a0，a1，…，aK－1}，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(a)，使其通過加性高斯白噪聲信道，在假設(shè)理想碼元定時恢復(fù)、理想幀同步、忽略信號增益及碼間串?dāng)_的條件下，經(jīng)匹配濾波器后的接收采樣信號可表示為

(1)式中:θ，Δf分別為待估計的載波相位偏移和頻率偏移;ak是第k個發(fā)送的數(shù)據(jù)碼元;T是碼元間隔周期;K是碼元序列的長度;wk是獨立同分布、均值為零、方差為σ2w=N0/2的復(fù)高斯隨機(jī)變量。忽略與a和待估參數(shù)φ獨立不相關(guān)的乘法因子，接收碼元序列r={r0，r1，…，rK－1}的聯(lián)合條件概率密度函數(shù)可簡化為

(2)式中，上標(biāo)“*”表示共軛運算。

同步參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)為

(3)式中:sm是調(diào)制星座圖上第m個點的值(m=0，1，…，M－1，M為星座點數(shù));pm|r(k)是第k個發(fā)送碼元的后驗概率，有 pm|r(k)=Pr［ak=sm|r］。

由于在低信噪比環(huán)境下，噪聲功率很大，(3)式中的exp()和log()函數(shù)可用泰勒級數(shù)展開后的線性項(ex?1+x及l(fā)n(1+x)?x)近似，則有

(4)式中，Ak(r，φ)為調(diào)制星座點上所有可能符號對后驗概率的均值，即

因為同步參數(shù)最大似然(maximum-likelihood，ML)估計的實質(zhì)是求解當(dāng)LL(φ)達(dá)最大時的θ和Δf的值。通常情況下(4)式?jīng)]有顯式解，那么就用第2節(jié)的方法來解決ML估計問題。

2 改進(jìn)的編碼輔助載波同步算法

對于編碼輔助(CA)ML估計，考慮LDPC編碼下的BPSK系統(tǒng)中，LDPC通過對數(shù)域的置信傳播原理輸出譯碼軟輸出 L(Qk)，再利用 Ak(r，φ(n))=tanh(Ln(Qk)/2)迭代地更新同步參數(shù)。當(dāng)經(jīng)過一定次數(shù)的迭代，譯碼器收斂時，可以認(rèn)為發(fā)送碼元矢量a由未知變?yōu)橐阎?，此時有 Ak(r，φ)=ak，CA ML 估計就收斂于數(shù)據(jù)輔助(DA)ML估計。因為現(xiàn)有的CA載波同步算法普遍存在估計頻率復(fù)雜度高，且同步范圍小的問題，那么，可以考慮在CA ML算法的每一次迭代中，先利用后驗均值A(chǔ)k(r，φ(n))消除信號中的調(diào)制信息，即:

然后參考已有的DA ML頻率估計算法去估計CA ML頻率偏移。當(dāng)信噪比在0 dB以上時，采用一種較簡單的基于單延遲相關(guān)函數(shù)的頻偏估計［15］，結(jié)合(6)式可得

(7)式中，相關(guān)步長d取K/3或 K/2。

但由于(7)式中只用到了固定延遲d的自相關(guān)值，當(dāng)信噪比更低時，此算法的性能有所下降，那么可以考慮用如下多延遲的自相關(guān)值來估計頻偏，以較少的復(fù)雜度為代價有效抵抗了大噪聲對同步的影響。

(8)式中，D=K/2為平均相關(guān)步長。

Costas環(huán)迭代相位估計的基本思想是使對數(shù)似然函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零［16］，對(4)式求導(dǎo)可得

當(dāng)上述頻偏估計器能夠正常工作，考慮信號向量經(jīng)過一定次數(shù)的頻偏補(bǔ)償后，頻率偏移Δf已經(jīng)足夠小，φk主要由θ決定，為了使(9)式為零，每碼元間隔更新一次相位估計的值，考慮基于前向反饋的Costas環(huán)路結(jié)構(gòu)，可以用(10)式進(jìn)行迭代。

(10)式中:λ是環(huán)路濾波增益;ek是相位誤差檢測器(phase error detector，PED)的輸出，其值由對數(shù)似然函數(shù)的導(dǎo)數(shù)LL'(θ)決定。

圖1為改進(jìn)的編碼輔助載波同步系統(tǒng)框圖，主要由同步器和LDPC譯碼器組成，其實質(zhì)是每次迭代時，同步器充分利用LDPC譯碼器判決反饋的后驗均值A(chǔ)k(r，φ(n))來實現(xiàn)同步參數(shù)的估計和補(bǔ)償。即先利用Ak(r，φ(n))消除接收信號中的調(diào)制信息，再通過頻偏估計器對接收信號向量進(jìn)行頻偏補(bǔ)償，然后，利用Costas環(huán)逐個估計出每個符號的相偏信息，對信號向量相偏補(bǔ)償之后再進(jìn)行下一次迭代。

圖1 改進(jìn)的編碼輔助載波同步系統(tǒng)框圖Fig.1 System block diagram of modified code-aided carrier synchronization

基于相關(guān)函數(shù)的頻偏估計器擴(kuò)大了頻偏估計范圍，雖然起初估計精度有限，然而，隨著迭代次數(shù)的增加導(dǎo)致譯碼軟輸出的值更加準(zhǔn)確，最終使得輸入相位估計器的殘留頻偏處于一階Costas環(huán)能夠抑制的范圍內(nèi)，同步器和譯碼器均趨于收斂，所以該方法能夠有效工作在較大頻偏條件下。具體實現(xiàn)步驟如下:

2)利用LDPC譯碼軟信息Ln(Qk)求出Ak(r，φ(n));

8)重復(fù)步驟2)—7)直到LDPC譯碼器收斂或已達(dá)最大迭代次數(shù)N。

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗證第2節(jié)中改進(jìn)算法在提高頻偏估計范圍和精度方面的有效性，基于圖1給出的系統(tǒng)模型，通過與文獻(xiàn)［12］給出的頻偏和相偏聯(lián)合估計的EM算法對比分析可得到以下結(jié)論，仿真采用碼率為1/2，碼長為1 800 bit的LDPC碼，BPSK調(diào)制，θ設(shè)為30°。

圖2給出了不同頻偏條件下的誤碼率(bit error rate，BER)性能，可以看出，本文算法比EM算法能夠容忍的頻偏范圍大很多，具體為(－5×10－4，5×10－4)，這個值與用于估計的數(shù)據(jù)長度有關(guān)，可通過減少數(shù)據(jù)長度進(jìn)一步增大估計范圍，但是相應(yīng)的估計精度也會下降。且在譯碼器能夠收斂的范圍內(nèi)，信噪比的值越大，誤碼率越低。圖3是頻偏估計的均方誤差(mean square error，MSE)曲線，可以看出，即使較大的頻偏在低信噪比時有相對較大的均方誤差，但是隨著信噪比的增加，頻偏估計的MSE曲線逐步逼近修正的克拉美羅界。

圖2 頻偏對于誤碼率(BER)的影響Fig.2 BER performance with different frequency offset

圖3 頻偏估計的均方誤差(MSE)曲線Fig.3 MSE of frequency offset estimation

圖4是BER曲線，可以看出，不同的頻率偏移對系統(tǒng)BER性能的影響是不同的，當(dāng)頻偏較小時，系統(tǒng)的BER性能接近理想同步的情況，隨著頻偏的增大，性能損失越明顯，但是最大性能損失也不超過0.2 dB。圖5是本文算法與EM算法的BER性能比較，當(dāng)ΔT=2×10－4時，本文提出的算法稍好于EM算法，性能相差只不過0.02 dB，但是當(dāng)Δ ^fT=3×10－4時，EM算法的譯碼性能急劇惡化，該算法已經(jīng)不能收斂，而本文算法仍能有效工作。

4 結(jié)束語

低信噪比條件下，為了在保證編碼輔助載波同步參數(shù)估計精度的同時，盡可能地擴(kuò)大頻偏估計范圍，本文給出了一種改進(jìn)算法。該算法利用譯碼軟信息分別進(jìn)行去調(diào)制和更新誤差信號，進(jìn)而估計頻偏和相偏，并實時補(bǔ)償更新信號向量，使得譯碼器和同步器均能趨于收斂。仿真結(jié)果表明，該算法能夠大幅提高頻偏估計范圍，并獲得距理想同步0.2 dB以內(nèi)的誤碼性能。

圖4 迭代載波同步的誤碼率(BER)曲線Fig.4 BER of iterative carrier synchronization

圖5 2種算法的誤碼率(BER)性能比較Fig.5 Comparison of BER performance

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