蔣業(yè)陽(yáng)，陳宗煊

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510631)

1 引言與結(jié)果

本文使用值分布理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)［1－2］，并用σ(f)表示亞純函數(shù)f(z)的增長(zhǎng)級(jí)，λ(f)、λ(1/f)分別表示亞純函數(shù)f(z)零點(diǎn)以及極點(diǎn)的收斂指數(shù)，用τ(f)表示f(z)的不動(dòng)點(diǎn)收斂指數(shù)，其定義為τ (f)=

在20 世紀(jì)初期，復(fù)域差分方程理論的研究緩慢.到了20 世紀(jì)七、八十年代，由于Nevanlinna 理論的引入，發(fā)展了復(fù)域差分方程理論. 最近十來年，隨著一系列差分模擬定理的建立，復(fù)域差分和差分方程又成了研究熱點(diǎn)［3－14］.ABLOWITZ 等［3］研究了方程

和

利用經(jīng)典的Malmquist 定理，獲得了下面2個(gè)定理:

定理1［3］假設(shè)系數(shù)ai(z)，bj(z)(i =0，…，p;j=0，…，q)為多項(xiàng)式，如果差分方程(1)有一個(gè)有限級(jí)的亞純解，那么d=max(p，q)≤2.

定理2［3］假設(shè)系數(shù)ai(z)，bj(z)(i =0，…，p;j=0，…，q)為多項(xiàng)式，如果差分方程(2)有一個(gè)有限級(jí)的亞純解，那么d=max(p，q)≤2.

HEITTOKANGAS 等［12］推廣了定理1 和定理2，得到了類似的結(jié)論:

定理3［12］設(shè)c1，…，cnC，系數(shù)ai(z)，bj(z)(i=0，…，p;j=0，…，q)為有理函數(shù)，若

有一個(gè)有限級(jí)的亞純解，則d=max(p，q)≤n.

定理4［12］設(shè)c1，…，cnC，系數(shù)ai(z)，bj(z)(i=0，…，p;j=0，…，q)為有理函數(shù)，若

有一個(gè)有限級(jí)的亞純解，則d=max(p，q)≤n.

HALBURD 等［11］利用值分布理論和極點(diǎn)限制的方法，從差分方程

分離出差分Painlevé II 方程，獲得了下面的定理:

定理5［11］設(shè)有理數(shù)R(z，y)的分母關(guān)于2個(gè)變量都有至少2個(gè)相互判別的根，如果二階差分方程(3)允許有一個(gè)非有理的有限級(jí)亞純解，使得存在一個(gè)常數(shù)c≥1，滿足對(duì)于足夠大的r，有

成立，那么方程(3)是一個(gè)形如

的Painlevé II 方程，其中λ，μ 和ν 是常數(shù).

注1 如果y 在點(diǎn)z=z0處有一個(gè)極點(diǎn)，y(z0±1)= ±ε(ε= ±1)，就說在z0處的奇點(diǎn)是型I 的;如果y(z0±1)=?ε，就說是型II 的.用ˉnI(r，y)表示在圓域內(nèi)型I 極點(diǎn)的個(gè)數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù)). 類似的，用(r，y)表示在圓域內(nèi)型II 極點(diǎn)的個(gè)數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù)).

由上可知，差分Painlevé I 和II 方程是重要類型的差分方程，它們是微分和離散Painlevé I、II 方程的發(fā)展.CHEN 等［6］研究了差分Painlevé I、II 方程的亞純解的一些性質(zhì)，得到了以下定理:

定理6［6］設(shè)a，b，c 是滿足ac≠0 的常數(shù)，如果f(z)是差分Painlevé II 方程

的一個(gè)有限級(jí)超越亞純解，那么

(i)f(z)至多有一個(gè)非零有限Borel 例外值;

(iii)f(z)有無窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且滿足τ (f)=σ(f).

我們提出一個(gè)問題:如果定理6 中的二階差分方程推廣到高階差分方程的情況又是怎樣?本文回答了這個(gè)問題，并得到了下面的結(jié)果:

定理7 設(shè)A，B，C 是滿足AC≠0 的常數(shù)，cj(j=如果f(z)是差分方程

的一個(gè)有限級(jí)超越亞純解，那么

(i)f(z)至多有一個(gè)非零有限Borel 例外值;

(iii)f(z)有無窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且滿足τ (f)=σ(f).

定理8 設(shè)A，B，C 是滿足AC≠0 的常數(shù)，cj(j=如果f(z)是差分方程

的一個(gè)有限級(jí)超越亞純解，那么

(i)f(z)至多有一個(gè)非零有限Borel 例外值;

(iii)f(z)有無窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且滿足τ (f)=σ(f).

定理9 設(shè)α，β，γ 是滿足αγ≠0 的常數(shù)，如果f(z)是差分方程

的一個(gè)有限級(jí)超越亞純解，那么

(i)f(z)至多有一個(gè)非零有限Borel 例外值;

(iii)f(z)有無窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且滿足τ (f)=σ(f).

2 證明所需的引理

為證定理，需要以下引理，其中引理1 和引理3是Clunie 型定理的差分模擬.

引理1［8，13］假設(shè)f(z)是P(z，f)=0 的一個(gè)非常數(shù)有限級(jí)亞純解，其中P(z，f)是關(guān)于f(z)的一個(gè)差分多項(xiàng)式，如果對(duì)于一個(gè)滿足的亞純函數(shù)a(z)，有P(z，a)?0，那么在可能除去一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合外成立S(r，f).

引理2［9］設(shè)A，B，C 是滿足AC≠0 的常數(shù)，cj如果f(z)是差分方程(4)的一個(gè)有限級(jí)超越亞純解，那么

(i)f(z)有無窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且滿足τ (f)=σ(f);

(ii)λ(f)=σ(f).

證明 設(shè)f(z)是差分方程(4)的一個(gè)超越亞純解，且σ(f)＜∞.

(i)令g(z)=f(z)－z，把f(z)=g(z)+z 代入方程(4)，可得

由上式得

由上式可得

由引理1 和上式得，在可能除去一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合外有

從而在可能除去一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合外有

從而有

(ii)由式(4)有

由上式和引理的假設(shè)條件有P2(z，g)=－C?0. 由引理1 得m(r，1/f)=S(r，f)在可能除去一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合外成立. 因此

也在可能除去一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合外成立. 從而由上式有λ(f)=σ(f).

引理3［13］設(shè)f(z)是形如H(z，f)P(z，f)=Q(z，f)的差分方程的一個(gè)有限級(jí)超越亞純解，其中H(z，f)是f(z)和其位移算子的次數(shù)為n 的差分多項(xiàng)式，P(z，f)，Q(z，f)也是差分多項(xiàng)式，且Q(z，f)的次數(shù)≤n. 那么對(duì)于任意的ε ＞0，有m(r，P(z，f))=O(rσ－1+ε)+S(r，f)在可能除去一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合外成立.

文獻(xiàn)［9］指出下面的引理4 成立，或由文獻(xiàn)［10］的引理2.1 的證法，易證引理4.

引理4 設(shè)f(z)是非常數(shù)有限級(jí)亞純函數(shù)，c≠0 是任意復(fù)常數(shù)，那么有

注2 文獻(xiàn)［7］證明了一個(gè)類似的結(jié)果.設(shè)f(z)是滿足λ(1/f)=λ ＜∞的一個(gè)亞純函數(shù)，給定η≠0，那么對(duì)于任意的ε ＞0，有

引理5 設(shè)A，B，C 是滿足AC≠0 的常數(shù)，cj(j =1，…，n)C－{0}，n≥2.如果f(z)是差分方程(4)的一個(gè)有限級(jí)超越亞純解，那么f(z)有無窮多個(gè)極點(diǎn)，且滿足λ(1/f)=σ(f).

證明 設(shè)f(z)是差分方程(4)的一個(gè)滿足σ(f)＜∞的超越亞純解，方程(4)可變形為，

其中

由式(7)和引理3，對(duì)任給的ε ＞0，存在一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合E?(1，∞)，使得［0，1］∪E 時(shí)，有

其中σ=σ(f).由方程(4)有

應(yīng)用Valiron－ Mohon'kon 引理［2］到上式可得T(r，P)=nT(r，f)+S(r，f).故由式(8)得

和

由引理4，有

因此，綜合式(9)～(11)得到

用證明引理2 和引理4 類似的方法，可以證明下面2個(gè)引理:

引理6 設(shè)A，B，C 是滿足AC≠0 的常數(shù)，cj(j =1，…，n)C－{0}，n≥2.如果f(z)是差分方程(5)的一個(gè)有限級(jí)超越亞純解，那么:

(i)f(z)有無窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且滿足τ (f)=σ(f);

(ii)λ(f)=σ(f).

引理7 設(shè)A，B，C 是滿足AC≠0 的常數(shù)，cj(j =1，…，n)C－{0}，n≥2.如果f(z)是差分方程(5)的一個(gè)有限級(jí)超越亞純解，那么f(z)有無窮多個(gè)極點(diǎn)，且滿足λ(1/f)=σ(f).

引理8［2］設(shè)fj(z)(j =1，…，n;n≥2)均為亞純函數(shù)，gj(z)(j=1，…，n)都是整函數(shù)，且滿足

(ii)當(dāng)1≤j ＜k≤n 時(shí)，gj(z)－gk(z)均不是常數(shù);

(iii)當(dāng)1 ≤j ≤n，1 ≤h ＜k ≤n 時(shí)，T(r，fj)=o{T(r，egh－gj)}(r→∞，rE)，其中E?(1，∞)是一個(gè)具有有限測(cè)度或具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合，那么fj(z)≡0 (j=1，…，n).

3 定理的證明

定理7 的證明 由引理2 和引理5 知，結(jié)論(ii)和(iii)成立.

假設(shè)f(z)是差分方程(4)的一個(gè)超越亞純解，且0 ＜σ(f)＜∞. 由(ii)知，0，∞不是f(z)的Borel例外值.假設(shè)α 和β(≠0，α)是f(z)的2個(gè)Borel 例外值. 令

那么σ(g)=σ(f)，λ(g)=λ(f－α)＜σ(g).因此，g(z)可以重寫為

其中d (≠0)是一個(gè)常數(shù)，m (≥1)是一個(gè)整數(shù)，h(z)是一個(gè)滿足σ(h)≤σ(g)=m 的亞純函數(shù).由式(12)和式(13)，有

和

其中hj(z)=. 把式(14)、(15)代入式(4)，可以得到

其中

由引理8 和式(16)，得F2n≡F2n－1≡…≡F1≡F0≡0.因由式(17)和F2n≡0，所以(Az+B)βn－1+C－βn(1－βn)≡0.由定理的假設(shè)條件AC≠0 和例外值β≠0 的假設(shè)，可知是一個(gè)矛盾.從而f(z)至多有一個(gè)Borel 例外值.再應(yīng)用引理2 和引理5，定理7 的結(jié)論(i)成立.

定理8 的證明 由引理6 和引理7 知，結(jié)論(ii)和(iii)成立.

下面證明結(jié)論(i).

設(shè)f(z)是差分方程(5)的一個(gè)超越亞純解，且0 ＜σ(f)＜∞.由結(jié)論(ii)知，0，∞不是f(z)的Borel例外值.假設(shè)α 和β(≠0，α)是f(z)的2個(gè)Borel 例外值.用與定理7 證明相類似的方法，有式(12)～(15).把式(14)、(15)代入式(5)，得

其中

因此，由引理6 和式(18)，有

由定理的假設(shè)條件AC≠0 和例外值β≠0 知，上式矛盾.從而f(z)至多有一個(gè)Borel 例外值.再由引理6 和引理7，定理8 的結(jié)論(i)成立.

定理9 的證明 假設(shè)f(z)是方程(6)的一個(gè)有理解，且有極點(diǎn)z1，…，zk.從而可以假設(shè)

分別是f(z)在zj的主要部分，其中ajλj，…，aj1均是常數(shù)，ajλj≠0.因此，f(z)可以表示為

其中b0，…，bs均是常數(shù).

首先斷言b0=… =bs=0. 假設(shè)bs≠0 (s≥1).對(duì)足夠大的z，由式(20)有

差分方程(6)可以變形為

把式(21)代入式(22)得

因?yàn)閎s≠0 和s≥1，對(duì)足夠大的z，上式是個(gè)矛盾.

現(xiàn)在假定b1=…=bs=0，b0≠0.對(duì)足夠大的z，有

由方程(6)有

把式(23)代入式(24)得

因?yàn)棣痢? 和b0≠0，對(duì)足夠大的z 上式也是矛盾的.從而bs=… =b0=0. 由式(20)和b0=… =bs=0，f(z)可以寫為

其中P(z)=pzm+pm－1zm－1+… +p0，Q(z)=qzn+qn－1zn－1+ … + q0，且deg Q = n ＞deg P = m，p≠0，pm－1，…，p0和q ≠0，qn－1，…，q0均為常數(shù). 把式(25)代入式(6)得

因?yàn)棣力谩?，比較上述方程左右兩邊的次數(shù)，得出矛盾.從而方程(6)的所有亞純解都是超越的.

再由定理7，結(jié)論(i)、(ii)和(iii)成立.

［1］HAYMAN W K. Meromorphic functions［M］. Oxford:Clarendon Press，1964.

［2］LAINE I. Nevanlinna theory and complex differential equations［M］.Berlin:Water de Gruyter，1993.

［3］ABLOWITZ M，HALBUD R G，HERBST B.On the extension of Painleve property to difference equations［J］.Nonlinearity，2000，13:889－905.

［4］BERGEWEILER W，LANGLEY J K. Zeros of differences of meromorphic functions［J］. Math Proc Cambridge Philos Soc，2007，142:133－147.

［5］CHEN Z X，SHON K H. On zeros and fixed points of differences of meromorphic functions［J］. J Math Anal Appl，2008，344:373－383.

［6］CHEN Z X，SHON K H. Value distribution of meromorphic solutions of certain difference Painlevé equations［J］.J Math Anal Appl，2010，364:556－566.

［7］CHIANG Y M，F(xiàn)ENG S J.On the Nevanlinna characteristic of f(z + η)and difference equations in the complex plane［J］.Ramanujan J，2008，16:10－129.

［8］HALBURD R G，KORHONEN R. Difference analogue of the lemma on the logarithmic derivative with applications to difference equations［J］.J Math Anal Appl，2006，314:477－487.

［9］HALBURD R G，KORHONEN R.Meromorphic solution of difference equation，integrability and the discrete Painlevé equations［J］.J Phys A，2007，40:1－38.

［10］HALBURD R G，KORHONEN R. Finite－ order meromorphic solutions and the discrete Painlevé equations［J］.Proc Lond Math Soc，2007，94:443－474.

［11］HALBURD R G，KORHONEN R. Existence of finite－order meromorphic solutions as a detector of integrabilityin difference equations［J］.Phys D，2006，218:191－203.

［12］HEITTOKANGAS J，LAINE I，RIEPPO J，et al.Complex difference equations of Malmquist type［J］. Comput Methods Funct Theory，2001，1:27－39.

［13］黃志波，李倩. 一類差分Painlevé I 方程的值分布［J］. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011(3):15－18.

［14］LAINE I，YANG C C.Clunie theorems for difference and q－difference polymials［J］.J Lond Math Soc，2007，76:556－566.