孫小榮，張書畢，卞和方，劉支亮

(1.宿遷學(xué)院建筑工程系，江蘇宿遷223800;2.中國礦業(yè)大學(xué)國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江蘇徐州221116)

一、引 言

在測量中，空間點的位置常在地心坐標系和參心坐標系下表示，兩者都有大地坐標系、空間直角坐標系和高斯平面直角坐標系3種常用表達形式［1-3］。GNSS定位模型一般是在空間直角坐標系下建立的，以P點為例，解算的定位結(jié)果包括點的坐標(X，Y，Z)和方差-協(xié)方差陣DXYZ。DXYZ的形式如下［4-6］

目前最常用的點位誤差度量方法是Helmert表示法，P點的點位誤差可表示為［4-6］

在實際應(yīng)用中，GNSS定位除進行不同表達形式之間坐標值的轉(zhuǎn)換［1-3］，還需進行表達形式之間的誤差轉(zhuǎn)換［3，7-10］。文獻［7—8］給出了空間直角坐標(X，Y，Z)與大地坐標(B，L，H)之間的全微分及誤差轉(zhuǎn)換公式，式中d B、d L以角度為單位，d H以長度為單位。以角度量表示的誤差在數(shù)值上非常小，且同一經(jīng)差所相應(yīng)的平行圈弧長在不同緯度處相差較大，不利于實際應(yīng)用，且系數(shù)矩陣較為復(fù)雜［9-10］。文獻［9］借助子午圈曲率半徑和平行圈半徑將B、L的角度量誤差轉(zhuǎn)換為以長度為單位的誤差(等效長度量誤差)，但文獻［9］的推導(dǎo)過程較復(fù)雜，本文將推導(dǎo)簡化公式，并從理論證明和算例驗證該公式可代替現(xiàn)有的空間直角坐標系與高斯平面直角坐標系之間復(fù)雜的誤差轉(zhuǎn)換公式。

二、(X，Y，Z)與(B，L，H)誤差轉(zhuǎn)換

1.(B，L，H)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

(X，Y，Z)與(B，L，H)之間的關(guān)系式為［1-3，8］

式(3)的全微分形式為［3，8，11］

式中，dX、dY、dZ、dH以m為單位;dB、dL以秒為單位;

其中，M為P點法線與橢球面交點的子午圈曲率半徑，M=a(1－e2)/W3;ρ=180/π×3600。

由式(4)，根據(jù)誤差傳播定律，P點在空間直角坐標系下的方差協(xié)方差陣為

P點在空間直角坐標系下的DXYZ和點位誤差表示方法見式(1)、式(2)。

2.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(B，L，H)誤差

因 J 是可逆矩陣，由式(4)可得［3，8，11］

式中

由式(6)，根據(jù)誤差傳播定律，P點在大地坐標系下的方差協(xié)方差陣為

三、(x，y)與(B，L)誤差轉(zhuǎn)換

1.(B，L)誤差轉(zhuǎn)換為(x，y)誤差

當略去l的4次及以上項，高斯投影坐標正算公式為［1-3，8］

式(8)的全微分形式為［8］

式中，d x、d y以 m為單位;d l以秒為單位;A=

其中

由式(9)，根據(jù)誤差傳播定律，P點在高斯平面直角坐標系下的方差-協(xié)方差陣為［4-6］

P點在高斯平面直角坐標系下的點位誤差可表示為［4-6］

2.(x，y)誤差轉(zhuǎn)換為(B，L)誤差

因A是可逆矩陣，由式(9)可得［8］

式中

由式(12)，根據(jù)誤差傳播定律，P點在大地坐標系下的方差-協(xié)方差陣為

四、(X，Y，Z)與(x，y，H)誤差轉(zhuǎn)換

1.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(x，y)誤差

轉(zhuǎn)換過程分兩步進行：首先將(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(B，L，H)誤差;然后將(B，L)誤差轉(zhuǎn)換為(x，y)誤差。綜合式(6)、式(9)，得

2.(x，y，H)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

轉(zhuǎn)換過程分兩步進行：首先將(x，y)誤差轉(zhuǎn)換為(B，L)誤差;然后將(B，L，H)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差。綜合式(4)、式(12)，得

式中，C=JF;F=diag(A－11);DxyH=diag(Dxy)。其中，σH為P點的高程誤差，diag()表示對角矩陣。

五、(X，Y，Z)與(N1，E，U)誤差轉(zhuǎn)換

1.(N1，E，U)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

因P點的子午圈曲率半徑M'=M+H，所在平行圈半徑r=(N+H)cos B，令dN1=M'd B/ρ、d E=r d L/ρ，則d N1、dE分別表示P點的角度量誤差引起的沿子午圈方向(南北方向)和平行圈方向(東西方向)的長度量誤差。由于dB很小，在［B，B+d B］區(qū)間內(nèi)完全可視M'不變，這相當于以子午圈和平行圈上兩個微小的曲線長度來表示P點的南北方向和東西方向誤差。則

垂直方向(法線方向)誤差用d U表示，則

將式(16)～式(18)代入式(4)，得

式中

由式(19)，根據(jù)誤差傳播定律，P點在空間直角坐標系下的方差-協(xié)方差陣為

2.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(N1，E，U)誤差

因T為正交矩陣［9］，其逆矩陣等于轉(zhuǎn)置矩陣。由式(19)可得

式中

由式(21)，根據(jù)誤差傳播定律，P點在大地坐標系下的方差-協(xié)方差陣為［4-6］

P點在大地坐標系下的點位誤差可表示為［4-6］

由于P點所在的子午圈、平行圈和法線方向相互垂直，則N1、E、U方向相互垂直。由于Helmert點位誤差度量在二維和三維情形下具有旋轉(zhuǎn)不變性，與坐標系的選擇無關(guān)，即二維和三維點位方差等于任意2個和3個垂直方向的方差之和［5-6］，即理論上σN1EU=σXYZ，但各方向的方差不等。

因N1、E方向分別和x、y方向相同，若忽略P點高斯投影長度變形和大地高H(因H最大也不會超過9 km，與地球曲率半徑相比為微小值)的影響，得

六、計算與分析

截取中國礦業(yè)大學(xué)CORS站點(KDJZ)的1.5 h的GNSS實測數(shù)據(jù)，采用精密單點定位模型進行解算，得到該點在WGS-84坐標系中的概略B=34°，

取最不利的情況，l=3°，H=10 000 m。

1.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(x，y)誤差

由式(14)可得

2.(X，Y，Z)誤差轉(zhuǎn)換為(N1，E，U)誤差

由式(22)可得

根據(jù)DXYZ、Dxy和DN1EU分別計算該點在空間直角坐標系、高斯平面直角坐標系和大地坐標系下各方向誤差和點位誤差，結(jié)果見表1。

表1 3種坐標系下的誤差 m

由表1可知，點位誤差在空間直角坐標系和大地坐標系下其數(shù)值是相等的，但各方向的誤差不相等。N1、E方向誤差分別與x、y方向誤差幾乎相等，其微小差異是由P點高斯投影長度變形和大地高H引起的。N1、E、U方向誤差更能直觀地反映點位誤差在3個重要方向上的大小。

3.(x，y，H)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

取前面計算得到的Dxy和σ2H，組成DxyH為

由式(15)可得

4.(N1，E，U)誤差轉(zhuǎn)換為(X，Y，Z)誤差

因 N1、E、U方向誤差分別與 x、y、H方向誤差相等，取

由式(20)可得

根據(jù)DxyH、DN1EU和DXYZ分別計算該點在高斯平面直角坐標系、大地坐標系和空間直角坐標系下各方向誤差和點位誤差，結(jié)果見表2。

表2 3種坐標系下的誤差 m

由表2可知，兩種方法得到該點在空間直角坐標系下的點位誤差和各方向誤差都是相等的。與表1中的結(jié)果比較可知，該點在兩表中的空間直角坐標系下各方向誤差不相等，這是因為忽略了d x、d y和d H，以及d N1、d E和d U的相關(guān)性，因為要滿足旋轉(zhuǎn)不變性，其點位誤差是相等的。

七、結(jié)束語

本文從大地坐標系到空間直角坐標系的全微分公式入手，推導(dǎo)了點位誤差在兩坐標系下的轉(zhuǎn)換公式。結(jié)果表明，直接根據(jù)誤差轉(zhuǎn)換公式計算點位誤差時，其轉(zhuǎn)換矩陣復(fù)雜，且誤差的單位不統(tǒng)一，不利于實際應(yīng)用。而本文提出將誤差單位統(tǒng)一用長度表示，推導(dǎo)的誤差轉(zhuǎn)換矩陣不僅形式簡單，且為正交矩陣。此時，大地坐標系下3個參數(shù)的誤差能直接反映平面和高程上的測量精度。

本文也從理論和算例證明，推導(dǎo)的大地坐標系與空間直角坐標系之間的誤差轉(zhuǎn)換公式，可代替現(xiàn)有的空間直角坐標系與高斯平面直角坐標系之間復(fù)雜的誤差轉(zhuǎn)換公式，其形式簡單，且能滿足轉(zhuǎn)換精度要求。

本文的式(12)、式(13)也分別表示空間直角坐標系與文獻［10］新型大地坐標系之間的全微分和誤差轉(zhuǎn)換公式。

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