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        基于蒙特卡洛法的砝碼校準(zhǔn)不確定度評定

        2013-12-10 07:18:20韓志國李鎖印馮亞南許曉青
        計測技術(shù) 2013年1期
        關(guān)鍵詞:輸入量輸出量蒙特卡洛

        韓志國,李鎖印,馮亞南,許曉青

        (中國電子科技集團(tuán)公司第十三研究所,河北 石家莊050051)

        0 引言

        測量是以確定量值為目的的一組操作。測量結(jié)果受人員、測量系統(tǒng)、測量程序、環(huán)境以及其它的因素影響而存在測量不確定度。測量不確定度是與測量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的、表征合理的、賦予被測量值分散性的參數(shù)。ISO/IEC 發(fā)布的Guide98 -3 -2008 《測量不確定度表示指南》 (GUM)給出了測量不確定度評定與表示的通用方法。2008 年,計量指南聯(lián)合委員會(JCGM)在GUM 方法的基礎(chǔ)上推出了補(bǔ)充件——采用蒙特卡洛法評定測量不確定度,將蒙特卡洛法作為對GUM 方法的重要補(bǔ)充。我國新頒布的JJF1059.2 -2012《采用蒙特卡洛法評定測量不確定度》就是依據(jù)該補(bǔ)充件進(jìn)行編制的。該規(guī)范規(guī)定了用蒙特卡洛法評定與表示測量不確定度的方法,并就GUM 中未涉及的概率分布傳播的問題提供指導(dǎo),擴(kuò)大了測量不確定度評定與表示的適用范圍,同時該規(guī)范提供了檢查GUM 法是否適用的驗證方法。

        1 蒙特卡洛法介紹

        在測量不確定度的評定中采用的蒙特卡洛法(MCM)是一種通過重復(fù)采樣實現(xiàn)分布傳播的數(shù)值方法。與GUM 法利用線性化模型傳播不確定度的解析方法不同,MCM 通過對輸入量Xi的概率密度函數(shù)(PDF)離散采樣,由測量模型傳播輸入量的分布,計算獲得輸出量Y 的PDF 的離散采樣值,進(jìn)而由輸出量的離散分布數(shù)值直接獲取輸出量的最佳估計值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度和包含區(qū)間。該輸出量的最佳估計值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度和包含區(qū)間等特性的計算質(zhì)量隨PDF 采樣數(shù)增加可得到改善。

        圖1 描述的是,由輸入量Xi(i =1,…,N)的PDF,通過模型傳播,給出輸出量Y 的PDF 的一個過程示意。圖1 列出了分別為相互獨立的正態(tài)分布、三角分布和正態(tài)分布的3 個輸入量,而輸出量的PDF 顯示為分布不對稱的情形。

        圖1 輸入量獨立時分布傳播的描述

        當(dāng)測量模型是線性的,且輸出量概率分布是正態(tài)分布時,GUM 方法可以提供準(zhǔn)確的不確定度和包含區(qū)間。但是,如果輸出量的結(jié)果是圖1 所示的不對稱的情形,那么采用GUM 方法進(jìn)行不確定度評定時可能就會得出不切實際的包含區(qū)間,此時采用蒙特卡洛法就是有效的替代方法。由于使用蒙特卡洛法進(jìn)行不確定度評定時需要對概率分布進(jìn)行隨機(jī)采樣,因此進(jìn)行不確定度評定時,應(yīng)利用合適的軟件進(jìn)行計算 (例如MATLAB)。

        2 用蒙特卡洛法評定砝碼校準(zhǔn)不確定度

        雖然GUM 法在許多情況下被認(rèn)為是非常適用的,但是確定是否滿足其所有應(yīng)用條件并不總是一件容易的事。由于MCM 的適用范圍比GUM 法更廣泛,建議用MCM 及GUM 法兩種方法同時進(jìn)行不確定度評定,并對結(jié)果進(jìn)行比較,如果比較結(jié)果較好,則GUM 法適用于此場合及今后足夠類似的情形,否則,應(yīng)考慮采用MCM 或者其它合適的替代方法。

        下面以本實驗室2012 年在砝碼能力驗證中校準(zhǔn)100g 砝碼為例,介紹一下如何使用MCM 方法進(jìn)行不確定度評定。本次校準(zhǔn)使用的標(biāo)準(zhǔn)砝碼為E2等級100g砝碼,天平為TG328A 型機(jī)械天平。

        2.1 建立測量模型

        本次測量使用的是雙次替代法,用密度為ρr的標(biāo)準(zhǔn)砝碼R 對密度為ρt的砝碼進(jìn)行校準(zhǔn),兩個砝碼標(biāo)稱值相同,需要在密度為ρa(bǔ)的空氣中進(jìn)行平衡配重。通常ρt和ρr不同,因此需考慮浮力的影響,應(yīng)用阿基米德定律,得到模型如下

        式中:ms是密度為ρr靈敏度小砝碼質(zhì)量,用來測量機(jī)械天平的分度值。ΔI 為被測砝碼與標(biāo)準(zhǔn)砝碼標(biāo)尺讀數(shù)偏差;ΔIs為放上靈敏度小砝碼后,標(biāo)尺偏離的讀數(shù)。以折算質(zhì)量mct,mcr,mcs為變量,模型(1)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

        將公式(2)整理得

        設(shè)Δmc= mct- mnom為mct與標(biāo)稱質(zhì)量mnom=100 g的偏差。因此本例中使用的模型為

        2.2 確定輸入量的概率密度分布函數(shù)(PDF)

        可根據(jù)一系列測量值的分析,或根據(jù)某些歷史數(shù)據(jù)、校準(zhǔn)數(shù)據(jù)和專家判斷之類的信息所得到的科學(xué)判斷,為各輸入量設(shè)定PDF。各輸入量服從的分布、最佳估計值以及標(biāo)準(zhǔn)不確定度均列入表1。其中ρa(bǔ)0=1.2 kg/m3,是約定空氣密度,不包含不確定度。

        表1 關(guān)于質(zhì)量校準(zhǔn)模型的輸入量及其概率密度函數(shù)

        表1 中,標(biāo)準(zhǔn)砝碼的相關(guān)信息是通過檢定證書和JJG99 -2006 《砝碼檢定規(guī)程》得到。ΔI 與ΔIs的相關(guān)信息是通過使用雙次替代法重復(fù)測量10 次得到。砝碼的密度信息是通過JJG99 -2006 《砝碼檢定規(guī)程》中給出的典型材料密度表中查表得到??諝饷芏圈補(bǔ)的信息是由JJG99 -2006 《砝碼檢定規(guī)程》中得到。

        2.3 蒙特卡洛試驗次數(shù)

        在規(guī)定的數(shù)值容差下MCM 所提供的結(jié)果所需的試驗次數(shù)跟輸出量的PDF “形狀”及包含概率有關(guān),應(yīng)合理選擇蒙特卡洛試驗次數(shù)及樣本量的大小M,一般情況下取M=106,這樣通常會為輸出量提供95%包含區(qū)間,該包含區(qū)間長度被修約為1 或2 位有效十進(jìn)制數(shù)字。

        2.4 程序

        本程序是使用MATLAB 進(jìn)行編制的,具體如下:

        clc;clear; %清除MATLAB 中的變量。

        M=1000000; %設(shè)定蒙特卡洛試驗次數(shù)。

        m0 =100; %砝碼標(biāo)稱質(zhì)量(單位:g)。

        dr=0.04; %標(biāo)準(zhǔn)砝碼折算質(zhì)量修正值(單位:mg)。

        ur=0.033; %標(biāo)準(zhǔn)砝碼不確定度(單位:mg)。

        mr=normrnd ((m0* 10^3 +dr),ur,1,M); %標(biāo)準(zhǔn)砝碼采樣值(單位:mg)。

        ms=normrnd (10,0.002,1,M); %靈敏度小砝碼采樣值(單位:mg)。

        dI= normrnd (4.2,0.2,1,M); % 讀數(shù)重復(fù)性 (單位:格)。

        dIs = normrnd (99.6,0.3,1,M); % 靈敏度讀數(shù)重復(fù)性(單位:格)。

        rou0 =normrnd (8,0.07,1,M); %標(biāo)準(zhǔn)砝碼材料密度(g/cm3)。

        rou1 =normrnd (8,0.07,1,M); %被檢砝碼材料密度(g/cm3)。

        ra=0.24* rand (1,M) +1.08; %空氣密度(mg/cm3)。

        r0 =1.2; %標(biāo)準(zhǔn)空氣密度(mg/cm3)。

        dm= (mr+dI.* ms. /dIs). * (rou0* 10^3 -ra). * (rou1*10^3 -r0). / ((rou1* 10^3 -ra).* (rou0* 10^3 -r0)) -m0

        * 10^3;%雙次交換衡量法數(shù)學(xué)模型。

        s=std (dm); %輸出量標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

        avg=mean (dm); %輸出量估計值。

        y=sort (dm); %將試驗結(jié)果從小到大進(jìn)行排列。

        y_ low=prctile (y,2.5); %包含概率為95%時,包含區(qū)間的下限值。

        y_ high=prctile (y,97.5); %包含概率為95%時,包含區(qū)間的上限值。

        2.5 報告結(jié)果

        MATLAB 程序運(yùn)行得到如下結(jié)果:

        被校砝碼折算質(zhì)量偏差為0.46 mg;標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.04 mg;包含概率為95%;包含區(qū)間為[0.38 mg,0.54 mg]。圖2 給出了上述程序得到的輸出量的近似概率分布。圖中,柱狀圖是輸出量的近似概率分布,實線是正態(tài)分布曲線,可見輸出量近似服從正態(tài)分布。

        圖2 輸出量近似概率分布

        3 蒙特卡洛法與其它不確定度評定方法的比較

        3.1 GUM 法評定砝碼校準(zhǔn)不確定度

        由于使用偏導(dǎo)的解析計算對公式(4)求偏導(dǎo)過于復(fù)雜,因此將公式(4)作近似處理,得

        對上述模型求偏導(dǎo),得到各輸入量靈敏系數(shù)如下:

        則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

        將表1 中輸入量的相關(guān)信息帶入上式,計算得uc=0.04mg,取包含概率為95%,得到如下結(jié)果:

        被校砝碼折算質(zhì)量偏差為0.46 mg;標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.04 mg;包含概率為95%;包含區(qū)間為[0.38 mg,0.54 mg]。

        3.2 JJG99 -2006 《砝碼檢定規(guī)程》中的方法評定砝碼校準(zhǔn)不確定度

        規(guī)程中認(rèn)為砝碼的校準(zhǔn)不確定度由以下幾個方面引入:衡量過程,標(biāo)準(zhǔn)砝碼,空氣浮力修正,天平。各不確定度分量列入表2。

        表2 測量不確定度分量一覽表

        取包含概率為95%,得到如下結(jié)果:

        被校砝碼折算質(zhì)量偏差為0.46 mg;標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.05 mg;包含概率為95%;包含區(qū)間為[0.36 mg,0.56 mg]。

        三種方法得到的結(jié)果見表3。

        表3 砝碼校準(zhǔn)計算結(jié)果

        由三種方法得到的比較結(jié)果可知,MCM 與GUM得到的結(jié)果一致,而規(guī)程給出的不確定度略顯保守。這主要是由于某些不確定度分量被重復(fù)計入和計量人員對不確定度分量的不同理解程度而造成的。按照J(rèn)JF1059.2 -2012 《用蒙特卡洛法評定測量不確定度》中使用MCM 驗證GUM 的要求,GUM 法通過了驗證,在以后進(jìn)行砝碼校準(zhǔn)不確定度評定時,可以使用GUM法進(jìn)行評定。

        4 結(jié)論

        MCM 尤其適用于以下兩種情況:不宜對測量模型進(jìn)行線性化等近似的場合,在這種情況下,按GUM 確定輸出量的估計值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度可能會變得不可靠;輸出量的概率密度函數(shù)較大程度地偏離正態(tài)分布或t 分布,例如分布明顯不對稱的場合,在這種情況下,可能會導(dǎo)致對包含區(qū)間或擴(kuò)展不確定度的估計不切實際。另外,如果GUM 法通過了MCM 的驗證,即GUM 法若明顯適用,則GUM 法依然是不確定度評定的主要方法。在實際工作中可以根據(jù)實際情況選用合適的方法進(jìn)行測量不確定度的評定。

        [1]國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局.JJF1059.2 -2012 用蒙特卡洛法評定測量不確定度[S]. 北京:中國計量出版社,2012.

        [2]Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the“Guide to the expression of uncertainty in measurement”— Propagation of distributions using aMonte Carlo method [S]. ISO/IEC,2008.

        [3]國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局.JJG99 -2006 砝碼檢定規(guī)程[S]. 北京:中國計量出版社,2006.

        [4]陳懷艷,曹蕓,韓潔. 基于蒙特卡羅法的測量不確定度評定[J]. 電子測量與儀器學(xué)報,2007,25.

        [5]倪育才. 實用測量不確定度評定[M]. 北京:中國計量出版社,2010.

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