張翌娜，劉美菊

（黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475004）

0 引言

結(jié)構(gòu)功能的破壞往往是從裂縫開始的，一旦結(jié)構(gòu)產(chǎn)生裂縫，其承載能力就會大大降低，致使無法滿足其設(shè)計功能要求。 因此，工程上也將裂縫視為結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破壞的標(biāo)志。 一些學(xué)者對工程結(jié)構(gòu)的損傷診斷理論和方法進(jìn)行了廣泛而深入的探討。 如侯立群[1]針對大型橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中所涉及的幾項關(guān)鍵技術(shù)問題進(jìn)行了系統(tǒng)研究；李文雄等[2]通過對遺傳算法的特點進(jìn)行分析，提出以逐步評定并排除無損單元的思路來處理結(jié)構(gòu)損傷診斷問題，并提出了一種3 階段結(jié)構(gòu)損傷診斷方法；張翌娜[3]探討了用曲率模態(tài)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對混凝土結(jié)構(gòu)裂縫進(jìn)行損傷識別和定位的方法。

模態(tài)識別是結(jié)構(gòu)測試的重要手段之一。 根據(jù)所測物理量的不同，它分為位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)。 位移模態(tài)是通過測試位移量，得到模態(tài)參數(shù)，然后通過這些量對結(jié)構(gòu)的振動物性進(jìn)行分析。 它已經(jīng)有了一個比較成熟的體系，但在有些方面（如結(jié)構(gòu)損傷識別），其作用不是很明顯。 應(yīng)變模態(tài)是通過測試結(jié)構(gòu)在激勵作用下應(yīng)變的變化來進(jìn)行模態(tài)識別。 本文基于應(yīng)變模態(tài)理論，以一混凝土懸臂梁為研究對象，通過建立不同損傷位置和不同損傷程度的模擬工況，進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷辨識研究，旨在通過結(jié)構(gòu)損傷前后的位移模態(tài)振型與應(yīng)變模態(tài)振型的比較，揭示應(yīng)變模態(tài)在結(jié)構(gòu)損傷診斷中的可行性，為大型工程結(jié)構(gòu)的損傷診斷提供技術(shù)支持。

1 應(yīng)變模態(tài)的基本理論

1.1 梁的振動微分方程

應(yīng)變模態(tài)是位移模態(tài)的一階導(dǎo)數(shù)，對應(yīng)于每一個位移模態(tài)，必定有一個應(yīng)變模態(tài)與之相對應(yīng)，二者是同一能量平衡狀態(tài)的兩種不同的表現(xiàn)形式。 以考慮黏滯阻尼和塑性變形條件的橫向彎曲振動連續(xù)梁為例，其振動微分方程可表示如下：

式中：u(x,t)為連續(xù)梁中心軸線上任一截面x 在t 時刻的橫向振動位移；EI(x)為連續(xù)梁的抗彎剛度；m(x)為連續(xù)梁單位長度的質(zhì)量；α 為剛度比例系數(shù)。

1.2 模態(tài)分析求解方程

要得到上述振動微分方程的解，首先需要了解模態(tài)分析的實質(zhì)。 簡而言之，模態(tài)分析就是一種坐標(biāo)變換，其目的在于把原來在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中描述的響應(yīng)向量轉(zhuǎn)換到“模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)”中來描述。 該坐標(biāo)系統(tǒng)中的每一個基向量對應(yīng)于振動系統(tǒng)中的每一個特征向量，利用每個特征向量之間的相互正交特性，可使待描述的振動響應(yīng)向量的各個坐標(biāo)之間相互獨立，即在此坐標(biāo)系統(tǒng)中，上述的振動微分方程可以表示為一個相互無耦合的方程組，每一個坐標(biāo)均可以單獨求解。

因此，根據(jù)模態(tài)實質(zhì)與振動理論，如果振動連續(xù)梁的各階位移模態(tài)已知，則式（1）的解可以用各階模態(tài)相互疊加的形式表示：

式中：Qr為復(fù)數(shù)變量；Φr（x）為梁的各階位移模態(tài)；Cr（x）為與位移模態(tài)相對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)；r 為模態(tài)階數(shù)，與結(jié)構(gòu)本身的自由度有關(guān)。

1.3 梁彎曲振動的曲率函數(shù)

彈性梁在任意截面z 處的彎曲振動的曲率變化函數(shù)可用下式表示：

式中： k（x,t）為振動梁的曲率；ρ（x,t）為振動梁的曲率半徑。

由材料力學(xué)知識可知， 直梁彎曲靜力關(guān)系如下：

式中： EI（x）為截面抗彎剛度； M（x,t）為截面動彎矩。

1.4 曲率、應(yīng)變模態(tài)方程

如果已知結(jié)構(gòu)各點的位移模態(tài)，則結(jié)構(gòu)各點曲率模態(tài)的中央差分[3]表達(dá)式如下：

聯(lián)合式（4）和式（5）可得：

式中：Φ＇rm為第r 階應(yīng)變模態(tài)函數(shù)；Φrm為r 階位移振動幅值；m 為計算點個數(shù)；Δ 為相臨計算點的間距。

因此，與位移模態(tài)相對應(yīng)的應(yīng)變模態(tài)可以表示為：

式中：h 為梁上任一截面處測點距中性層的距離。

該式表明了梁的曲率模態(tài)、應(yīng)變模態(tài)和位移模態(tài)之間的相互關(guān)系。

2 懸臂梁損傷診斷仿真分析

以一混凝土懸臂梁為研究對象， 借助ANSYS有限元軟件，建立懸臂梁仿真模型。 通過建立不同損傷位置和不同損傷程度的模擬工況，進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷辨識研究。

2.1 懸臂梁損傷工況

懸臂梁結(jié)構(gòu)尺寸及力學(xué)參數(shù)如表1 所示，其模型如圖1 所示。

表1 懸臂梁結(jié)構(gòu)尺寸及力學(xué)參數(shù)Table 1 Cantilever beam structure size and mechanical parameters

圖1 懸臂梁模型結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Cantilever beam model structure

假定該懸臂梁損傷的缺口寬度為5 mm，5 處損傷位置與固定端距離分別為：100 mm、200 mm、300 mm、400 mm、100&400 mm， 各處損傷深度分別為：10 mm、20 mm、30mm，共計14 個工況（如表2 所示）。

表2 懸臂梁損傷工況Table 2 Cantilever beam damage condition

2.2 懸臂梁損傷對固有模態(tài)頻率的影響

通過有限元計算，懸臂梁結(jié)構(gòu)無損傷時的前五階固有頻率如表3 所示。

表3 無損傷梁前五階固有頻率Table 3 Natural frequency of zero damaged beam of first five steps

將無損傷懸臂梁和各種工況下的有損傷懸臂梁的頻率變化率做對比分析，并對不同損傷位置處的損傷程度加密處理（其中，損傷程度用材料彈性模量的降低來模擬）。 當(dāng)懸臂梁結(jié)構(gòu)在距固定端200mm 和300mm 處存在損傷時， 頻率相對變化率[3～4]如圖2 和圖3 所示。對比研究結(jié)構(gòu)在同一位置不同損傷程度，可以得出以下結(jié)論：（1）隨著損傷程度的加劇，各階結(jié)構(gòu)固有頻率都呈下降趨勢；（2）隨著損傷程度的加劇，結(jié)構(gòu)頻率相對變化率都呈非線性增加趨勢；（3） 各階頻率相對變化率對損傷的敏感性都不相同[5～7]。

圖2 200mm處頻率變化與損傷深度的關(guān)系Fig.2 Relations of frequency changes and the damaged depth of 200mm

圖3 300mm處頻率變化率與損傷深度的關(guān)系Fig.3 Relations of frequency changes and the damaged depth of 300mm

2.3 懸臂梁的應(yīng)變模態(tài)分析

利用ANSYS 有限元分析軟件， 按表2 所示損傷工況，對不同位置、不同損傷程度的懸臂梁進(jìn)行應(yīng)變模態(tài)分析。 該懸臂梁損傷位置在100mm、200mm、300mm、400mm、100mm&400mm， 損傷程度分別為10mm、20mm、30mm、10mm&30mm、20mm&10mm 時的第一階應(yīng)變模態(tài)振型如圖4～圖8 所示。 其中，橫坐標(biāo)為懸臂梁有限元模型單元節(jié)點序號，0mm 代表懸臂梁固定端，800mm 代表懸臂梁末端； 縱坐標(biāo)為關(guān)于質(zhì)量矩陣歸一化后的應(yīng)變模態(tài)振型。

圖4 100mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.4 Strain vibration mode of damaged sites of 100mm

圖5 200mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.5 Strain vibration mode of damaged sites of 200mm

從不同損傷工況下的應(yīng)變振型圖中可以看出，對于懸臂梁構(gòu)件，無論結(jié)構(gòu)存在的是單處損傷還是多處損傷，結(jié)構(gòu)在損傷位置處的應(yīng)變振型均有突變發(fā)生。 隨著損傷程度的加大，損傷位置附近處節(jié)點的應(yīng)變振型也產(chǎn)生了一定波動，亦即大損傷對損傷附近的區(qū)域也會產(chǎn)生一定的影響。

圖6 300mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.6 Strain vibration mode of damaged sites of 300mm

圖7 400mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.7 Strain vibration mode of damaged sites of 400mm

圖8 100mm&400mm位置損傷處應(yīng)變振型Fig.8 Strain vibration mode of damaged sites of 100mm and 400mm

仿真實例中，不同損傷工況的結(jié)構(gòu)位移振型如圖9 所示。 顯而易見，在各種損傷工況下，損傷節(jié)點處的位移振型與沒有損傷處的位移振型幾乎重疊在一起，沒有明顯的突變發(fā)生。 這說明，借助位移振型不能診斷結(jié)構(gòu)是否損傷。 所以，有限元仿真算例表明，應(yīng)變模態(tài)對結(jié)構(gòu)損傷的敏感程度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于位移模態(tài)，應(yīng)變模態(tài)振型可以作為結(jié)構(gòu)損傷的敏感量指標(biāo)。

圖9 不同損傷工況下的位移模態(tài)Fig.9 Displacement mode of different damage conditions

3 結(jié)語

綜上所述，本文闡述了模態(tài)分析的實質(zhì)及應(yīng)變模態(tài)分析理論，通過振動微分方程與差分方法闡明了位移模態(tài)、應(yīng)變模態(tài)與曲率模態(tài)三者之間的聯(lián)系。證明了以結(jié)構(gòu)固有頻率作為損傷敏感性指標(biāo)難以確定結(jié)構(gòu)在早期是否發(fā)生損傷和損傷程度，而應(yīng)變模態(tài)振型比位移模態(tài)振型更加敏感，可以作為結(jié)構(gòu)損傷診斷的敏感性指標(biāo)。

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