李春萍

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

完全樣本下威布爾分布參數(shù)的加權(quán)最小二乘估計(jì)

李春萍

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

借助圖法估計(jì)的思想和次序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)，給出了完全樣本下威布爾分布參數(shù)的改進(jìn)最小二乘估計(jì)與加權(quán)最小二乘估計(jì)。

威布爾分布；改進(jìn)最小二乘估計(jì)；加權(quán)最小二乘估計(jì)

威布爾分布在可靠性工程中被廣泛應(yīng)用，尤其適用于機(jī)電類產(chǎn)品的磨損累計(jì)失效的分布形式[1]。二參數(shù)威布爾分布由于其不同的形狀參數(shù)能反映各種不同的失效機(jī)理，因此在可靠性分析中常用的壽命分布之一，其參數(shù)估計(jì)中常用的估計(jì)方法有圖法估計(jì)、最小二乘估計(jì)、極大似然估計(jì)等[1-2]。其中圖法估計(jì)是將估計(jì)出的可靠度函數(shù)取對(duì)數(shù)，從而將威布爾分布的曲線方程轉(zhuǎn)化為直線方程，此時(shí)可通過擬合直線得到參數(shù)的估計(jì)，但這種方法降低了參數(shù)的估計(jì)精度；采用極大似然估計(jì)法時(shí)，需要使用牛頓迭代法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，而且，當(dāng)樣本為小樣本時(shí)，極大似然估計(jì)法可能不穩(wěn)定[1]。本文借助圖法估計(jì)的思想和次序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)，提出了完全樣本下兩參數(shù)威布爾分布參數(shù)的另外兩種估計(jì)：改進(jìn)最小二乘估計(jì)和加權(quán)最小二乘估計(jì)。

1 威布爾分布，極大似然估計(jì)與最小二乘估計(jì)

1.1兩參數(shù)威布爾分布

假設(shè)隨機(jī)變量X服從兩參數(shù)的威布爾分布，其密度函數(shù)為

其相應(yīng)的分布函數(shù)為

(1)

其中a>0,b>0分別為其尺度參數(shù)與形狀參數(shù)。

由文獻(xiàn)[1,3]可知：當(dāng)b<1 時(shí)，故障率λ(t;a,b)呈遞減分布，模型適于描述早期失效的特征；當(dāng)b=1 時(shí)，故障率λ(t;a,b)為常數(shù)，模型適于描述隨機(jī)失效的特征；當(dāng)b>1時(shí)，故障率λ(t;a,b)呈遞增分布，模型適于描述老化或磨損失效的特征。

1.2極大似然估計(jì)

假設(shè)T1,T2,…Tn為來自兩參數(shù)威布爾分布的大小為n的樣本，T(1)

對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，并求偏導(dǎo)，可得參數(shù)估計(jì)如下

1.3最小二乘估計(jì)

由(1)式，得到基于威布爾分布參數(shù)的直線方程

ln{-ln[1-F(t;a,b)]}=-blna+blnt

從而對(duì)于次序觀測(cè)值t(1)≤t(2)≤…≤t(n)，有

ln{-ln[1-F(t(i);a,b)]}=-blna+blnt(i),

i=1,2,…，n

則得到目標(biāo)函數(shù)為

對(duì)上式分別求a,b偏導(dǎo)，并令其為0，解方程組則有

2 改進(jìn)的最小二乘估計(jì)與加權(quán)最小二乘估計(jì)

2.1改進(jìn)的最小二乘法

下面給出未知參數(shù)a,b的改進(jìn)最小二乘估計(jì)。由(1)易知

對(duì)于次序觀測(cè)值t(1)≤t(2)≤…≤t(n),有

眾所周知，假設(shè)X為隨機(jī)變量其分布函數(shù)為F(X) ，則隨機(jī)變量Y=F(X)服從(0,1)上的均勻分布，而隨機(jī)變量Z=-ln[1-F(X)]服從參數(shù)為1的指數(shù)分布。由上式可知,Z=-ln[1-F(t;a,b)]服從參數(shù)為1的指數(shù)分布。

設(shè)z(1)≤z(2)≤…≤z(n)為次序統(tǒng)計(jì)量，于是由文獻(xiàn)[1]可知，次序統(tǒng)計(jì)量Z(i)的數(shù)學(xué)期望

可選擇E[Z(i)]為Z(i)的點(diǎn)估計(jì),即令

則構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為

對(duì)上式分別求a,b偏導(dǎo)，并令其為0，解方程組得

2.2加權(quán)最小二乘估計(jì)

下面采用加權(quán)最小二乘法來估計(jì)完全樣本下兩參數(shù)威布爾分布的參數(shù)a,b。 在利用加權(quán)最小二乘法估計(jì)分布參數(shù)估計(jì)時(shí)，首先解決的就是權(quán)重wi設(shè)計(jì)的問題，文獻(xiàn)[1,3]給出了三種wi的取法:

(3)按總試驗(yàn)時(shí)間長(zhǎng)短設(shè)計(jì)的權(quán)：

其中ni表示第i次試驗(yàn)的樣本數(shù)，ti表示第i次試驗(yàn)的時(shí)間，n為試驗(yàn)的總次數(shù)。下面本文提出wi的另一種設(shè)計(jì)方法。

由上面的討論可知，次序統(tǒng)計(jì)量Z(i)的數(shù)學(xué)期望與方差分別為:

其中選擇E[Z(i)]為Z(i)的估計(jì)。

構(gòu)造加權(quán)最小二乘估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為:

對(duì)上式分別求a,b的偏導(dǎo)，并令其為0，可得參數(shù)a,b的加權(quán)最小二乘估計(jì)分別為:

[1] Lawless J F.壽命數(shù)據(jù)中的統(tǒng)計(jì)模型與方法[M].北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1998:16-17.

[2] 羅純.再論Gumbel分布參數(shù)估計(jì)及在水位資料分析中應(yīng)用[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005,27(3):278-282.

[3] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社， 2005:134-139.

(責(zé)任編輯：張凱兵)

WeightedLeastSquaresEstimatorforParametersofWeibullDistributionBasedonCompleteSamples

Li Chunping

(SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)

The paper utilizes the notion of graph estimator and property of order statistic to develop an improved least squares estimators and a weighted least squares estimators for the Weibull distribution parameters under complete samples.

Weibull distribution;improved least squares estimator; weighted least squares estimator

O211.2

A

2095-4824(2013)06-0083-03

2013-09-22

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(Q20122603)

李春萍(1980- )，女，青海西寧人，湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士。