雷 陽，葉培新，宋占杰

(1. 天津大學理學院，天津 300072；2. 南開大學數學學院，天津 300071)

最近，Meyer-K?nig 和 Zeller 算子(簡稱 MKZ 算子)及其變型算子的逼近問題成為算子逼近的一個熱點問題[1-16]，然而進一步研究需要給出其各階矩的明確上界估計，筆者主要從基礎理論方面進行了一些研究.

1 基礎研究

1960 年，由 Meyer-K?nig 和 Zeller 受若干Bernstein 型算子的構造啟發(fā)給出一類 Meyer-K?nig和 Zeller 算子[14]，即

由于算子本身計算復雜度較高，進一步研究成果較少，Becker 和 Nessel 在1978 年才給出算子的二階中心矩估計．

命題 1.1[17]Meyer-K?nig 和 Zeller 算子的二階中心矩滿足不等式

顯然，這個估計結果很粗略，其上下界相差3 倍.

探索其中心矩的工作一直沒有間斷，Abel[18]在1995 年給出Meyer-K?nig和Zeller 算子的明確二階中心矩估計，從本質上改進了上述結果．

命題 1.2[18]Meyer-K?nig 和Zeller 算子的二階中心矩為

高階矩一般表達式的計算比較困難，Guo 和Qi[19]在2007年用歸納法給出了 Meyer-K?nig 和Zeller 算子的各階中心矩的一個上界估計．

命題 1.3[19]設r 為正整數，n 2r＞ ，且?(x)=則有

式中C 為不依賴于x 和n 的常數.

由于上述結果只是給出常數C 的存在性，在逼近估計式中有時會帶來不便．所以，本文在上述結果的基礎上，進一步明確給出C 的取值，從而給出確定的上界．

定理 1.4設r為正整數，n ＞2r，且?(x)=則有

2 引理及其證明

引理2.1[17]對于，n≥2 ，x ∈[0,1]，有

引理2.2對于b ≤a，? x ，則有

證明：當b ≤x ≤a 時，b?x≤0≤a ?x .

則

當x≤b≤a 時，0 ≤b?x≤a ?x

則

所以式(4)成立.

當b ≤a ≤x 時，同理有式(4)成立.

綜上，命題成立.

引理 2.3(Stirling 公式)對于n N+∈，有，其中

引理 2.4設r為正整數，n＞2r，且?(x)=則有

其中，C2=1.5，當r ≥ 2時，滿足遞推公式

證明：由引理2.1 知

最后一步是因為由條件有n≥ 3，所以 C2= 1.5.

下面假設已知 C2r，接下來證對 C2r+2有命題中的遞推公式，假設n＞ 2 r+2

所以有

考察

因為n≥2r+2，所以n≥ 5時有

即Mn((·?x)2r+2,x)≤

考察

對于

因為n＞2r+2，即n≥2r+3

所以

再由引理2.3，可知

即是

由假設知

這里 a～ b 意味著存在一個常數D ，使得

事實上有

于是

假設成立，引理得證.

3 主要結果及其證明

下面證明定理1.4

證明：利用引理2.4，可知

其中，C2=1.5，當r ≥ 2時，滿足遞推公式

當r≥5 時，

利用引理2.4，可知在 r=1,2,3,4時，

推論3.1設m 為偶數，m≥4，n＞m，且 ?(x)=則有

證明：利用定理1.4

再由引理2.3，可知

當m≥4 時，有

4 結 語

MKZ 算子及其變型算子的逼近問題是算子逼近的一個熱點問題，在研究各階矩過程逼近方面有一定的理論意義和應用價值.本文給出了 MKZ 型算子各階矩的明確上界估計，給出的方法可以用于其他類似算子中心距的上界估計，同時上述概率型算子的中心距的上界估計為進一步研究其逼近性質提供了重要工具.

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