姜 杉，趙志剛，孫明陸，郭建慧，于 紅

(1. 天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300072；2. 天水星火機床有限責(zé)任公司，天水 741024)

數(shù)控機床誤差主要包括幾何誤差、熱誤差、切削力誤差和控制誤差等．其中，熱誤差占總誤差的40%～70%左右[1]．而機床主軸作為數(shù)控機床的核心部件，是熱誤差的主要誤差源．因此，研究機床主軸熱變形特性對實施熱誤差補償控制，提高機床加工精度至關(guān)重要，已受到廣泛重視．

建立高精度和高魯棒性的熱誤差預(yù)測模型是熱誤差補償中的最關(guān)鍵部分．目前建模方法主要有最小二乘法、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色系統(tǒng)理論和遺傳算法等[2-6]．因此，研究機床主軸熱源、溫度場和熱變形的變化規(guī)律及動態(tài)特性是降低熱變形誤差、提高機床加工精度所必須考慮的．浙江大學(xué)陳兆年等[7]研究了機床熱態(tài)特性實驗技術(shù)并對主要類型的機床熱態(tài)特性進行了分析．數(shù)值計算是分析機床熱變形的另一有效方法[8-10]．為此，筆者通過傳熱學(xué)的理論，分析熱彈性現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，并通過一維主軸傳熱有限元分析和實驗進一步驗證熱動態(tài)特性的存在及變化規(guī)律．

1 熱彈性效應(yīng)的理論分析

考慮如圖 1 所示的一維主軸．主軸左端緊固，右端自由，長度為 L，與空氣的綜合散熱系數(shù)為Hf，空氣溫度為fθ，Q(t) 為從左端流入的周期變化熱源．一維主軸的熱傳導(dǎo)方程為

式中：θ(x,t)為一維主軸上某一點的溫度，是時間t 和位置坐標x的函數(shù)；k 為熱傳導(dǎo)率；ρ為主軸密度；c為比熱容．

圖1 一維主軸傳熱模型Fig.1 One-dimensional spindle heat tansfer model

一維主軸與周圍空氣的熱交換主要為對流傳熱.當主軸與空氣之間的溫差比較小時，熱交換也比較?。畷翰豢紤]主軸與周圍空氣的熱交換，式(1)變?yōu)?/p>

若左端輸入周期變化的熱流，左端處的溫度函數(shù)為

將式(3)作為式(2)的邊界條件，可求得式(2)的解為

定義時間t0的溫度θ(x,0t)為溫度波，由式(4)可知，溫度波的振幅隨x 增大而遞減，大小為

溫度波的波長隨t 的增大而遞增，大小為

隨著時間t 的增加，溫度波由左向右移動，波速為

2 一維主軸熱誤差有限元分析

主軸熱變形滯后于溫度的變化，熱流輸入與熱彈性變形具有不同的時間常數(shù)．現(xiàn)將主軸模型簡化為一維模型，分析其熱變形特性，如圖1 所示．

其中，模型左端軸向固定，右端自由伸長．左端面設(shè)置熱流Q(t) 輸入，其余各表面與外界進行對流傳熱，熱對流系數(shù)為Hf(t) ．模型表面均布 6 個溫度和位移觀測點，即點 1、2、3、4、5、6．其中點 1 靠近熱源處，點 6 位于模型右端．模型尺寸與材料屬性如表1 所示．

表1 一維主軸模型參數(shù)Tab.1 One-dimensional spindle model parameters

為充分了解一維主軸模型的熱變形特性，分析主軸在不同類型熱源作用下的溫度場與熱變形場變化特性，模型左端施加 3 種不同類型的熱源．其中，熱源強度及工作周期如表2 所示．

表2 3組仿真熱源強度值Tab.2 Three groups of simulation of heat strength value

2.1 簡單溫度場熱彈性分析

一維模型觀測點溫度及位移值變化如圖 2 和圖3 所示．由圖2 可知：①點1 靠近熱源處，溫升較高，對熱源的反應(yīng)最為迅速，前1000 s 模型左端有定值熱源輸入，點 1 的溫度值以凸函數(shù)形式增加，后1200 s停止加熱，溫度值以凹函數(shù)形式下降，最后趨于平緩；②點 2～點 6 的溫度值對熱源反應(yīng)速度依次減慢，其中，點6 反應(yīng)最為緩慢，溫升較小，且在停止加熱后，仍有一段時間處于上升狀態(tài)，反映了溫升對熱源變化的滯后性；③點1～點6 各相鄰點的溫度差值依次減小，表現(xiàn)出熱流傳遞的滯后性．由圖 3 可知：①點2 與點1 之間位移差值最大，故此段熱伸長量最大，與此段溫度較高一致，由左向右，各點之間熱伸長量逐漸減??；②所有軸向熱變形累加至模型右端點6 處，該點熱位移最大，可代表一維主軸整體軸向熱伸長量．

圖2 仿真1觀測點溫度曲線Fig.2 Temperature curves of observation points in simulation 1

圖3 仿真1觀測點位移曲線Fig.3 Displacement curves of observation points in simulation 1

2.2 復(fù)雜溫度場熱彈性分析

改變模型熱源類型，仿真2 和3 結(jié)果如圖4～圖7 所示．當模型左端輸入為正弦類型或方波類型熱流時，各點溫度及位移的變化相對于熱源的滯后性更為明顯．各點溫度值與整體軸向熱伸長量之間的關(guān)系更為復(fù)雜，表現(xiàn)出高度非線性和滯后性，且其相互關(guān)系根據(jù)熱源的不同而變化．點 2 的溫度值與整體軸向熱伸長量之間的類線性關(guān)系也發(fā)生變化，但整體線性度較好．從仿真 2 和仿真 3 進一步證明溫度場分布是熱彈性現(xiàn)象產(chǎn)生的原因之一，并反映了熱彈性的相關(guān)特性．

圖4 仿真2觀測點溫度曲線Fig.4 Temperature curves of observation points in simulation 2

圖5 仿真2觀測點位移曲線Fig.5 Displacement curves of observation points in simulation 2

圖6 仿真3觀測點溫度曲線Fig.6 Temperature curves of observation points in simulation 3

圖7 仿真3觀測點位移曲線Fig.7 Displacement curves of observation points in simulation 3

2.3 復(fù)合溫度場分析

改變模型所處環(huán)境，進行仿真 4，以研究復(fù)合溫度場對熱彈性特性的影響．模型尺寸與對流系數(shù)保持不變，由一端加熱改為兩端加熱，其加熱強度為Q(t)=10 W，前1000 s 進行加熱，后1200 s 進行冷卻，物理模型如圖8 所示．

由圖9及圖10可知，由于物理模型的對稱性，點1與點6、點2與點5、點3與點4的溫度值基本相同．靠近熱源的點1及點6的溫度變化超前于整體熱變形，遠離熱源的點3及點4 溫度變化滯后于整體熱變形，而點2 及點5 溫度變化與整體熱變形基本保持線性關(guān)系．

圖8 主軸一維模型兩端加熱Fig.8 Heating of two ends of the one-dimensional spindle model

圖9 仿真4觀測點溫度曲線Fig.9 Temperature curves of observation points in simulation 4

圖10 仿真4觀測點位移曲線Fig.10 Displacement curves of observation points in simulation 4

3 熱誤差實驗驗證

測試系統(tǒng)以獲得機床主軸關(guān)鍵點的溫度和主軸熱變形值為實驗?zāi)康模疁囟葌鞲衅骱臀灰苽鞲衅靼惭b在機床上，DAQ 板卡中包含調(diào)理電路、保護電路和模數(shù)轉(zhuǎn)換器等．計算機安裝有 DAQ 板卡驅(qū)動和數(shù)據(jù)采集程序．根據(jù)已選擇的各硬件部分，配置相應(yīng)的數(shù)據(jù)線與電源線，搭建起測試實驗的硬件平臺，采用國家標準(GB/T17421.3—2009)規(guī)定中的五點法測量機床主軸熱誤差，如圖11 所示．

圖11 機床主軸熱特性數(shù)據(jù)采集實驗Fig.11 Data acquisition experiment of thermal characteristics of spindle

搭建完測試實驗硬件平臺與軟件平臺后，設(shè)置采樣率為1.00 采 樣數(shù) /s ，主軸最大轉(zhuǎn)速為2 000 r/min ，測試主軸的轉(zhuǎn)速由不同的主軸轉(zhuǎn)速構(gòu)成，每種主軸轉(zhuǎn)速做2～15 min 運行，期間做15 min 停歇來代表典型的加工條件．速度圖譜如圖12 所示．

圖12 熱變形實驗主軸速度圖譜Fig.12 Map of spindle speed in thermal deformation experiment

因機床實際運行過程中，徑向誤差受主軸同軸度影響較大，難以測試出由熱變形引起的誤差，故本測試實驗以測試機床主軸軸向熱變形為目的．軸向誤差主要由熱誤差組成，在空轉(zhuǎn)的情況下最為顯著．選取如圖1 所示有限元分析的點1 和點3 的對應(yīng)位置分別進行測試，實驗前150,min 結(jié)果如圖13 所示：初始狀態(tài)主軸溫升較快，軸向熱變形增加，導(dǎo)致軸向誤差也逐漸增加；近熱源觀測點1 溫度波和熱變形幅值都大于遠觀測點3 為幅值，與前面的理論分析結(jié)果一致；隨著時間的增加，溫度與軸向熱變形趨于穩(wěn)態(tài)，但實際測試顯示，溫升-熱變形不是絕對的穩(wěn)態(tài)，熱變形的變化總是超前或滯后于溫升的變化，與有限元分析驗證結(jié)果吻合；測試時間增加到 150,min，實驗結(jié)果依然與有限元分析吻合，說明在熱平衡狀態(tài)下，熱彈性現(xiàn)象存在，如何有效減少數(shù)控機床主軸熱彈性現(xiàn)象，對于提高機床主軸精度有著重要意義．

圖13 溫升-熱變形關(guān)系Fig.13 Relationship between temperature rising and thermal deformation

4 結(jié) 論

(1) 忽略主軸徑向方向的熱影響，分析一維傳熱問題，對多維傳熱和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的熱動態(tài)特性分析有指導(dǎo)意義．

(2) 有限元方法是獲得機床主軸熱變形數(shù)值解的有效方法，可以模擬主軸的多種工作情況，方便快捷地獲得多節(jié)點的物理變量值．

(3) 改變熱源類型和數(shù)量，一維模型的溫度值與熱位移以及它們之間的對應(yīng)關(guān)系也發(fā)生相應(yīng)變化．這反映了主軸熱特性的復(fù)雜性，對熱誤差建模提出了較高的要求．

(4) 熱彈性現(xiàn)象產(chǎn)生的原因之一為溫度波，其特征為高度非線性、滯后性和疊加性；機床主軸在熱平衡狀態(tài)下，熱彈性現(xiàn)象依然存在，正確解決熱彈性問題是提高機床精度的有效方式之一．

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