孫曉玲， 王 寧

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥230601）

1 引言

在模糊綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題中，被評(píng)價(jià)對(duì)象經(jīng)常會(huì)帶有一些模糊性和不確定性，另外，影響被評(píng)價(jià)對(duì)象的評(píng)價(jià)結(jié)果的因素很多，各因素的影響程度也不盡相同，因此，評(píng)價(jià)結(jié)果很難用一個(gè)數(shù)學(xué)解析式來(lái)表示。這就給綜合評(píng)價(jià)帶來(lái)了較大的困難。傳統(tǒng)的評(píng)價(jià)方法多是采用直接建立評(píng)價(jià)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，如層次分析法、聚類分析、灰色系統(tǒng)、模糊綜合評(píng)價(jià)法等，但這些方法在評(píng)估過(guò)程中難以排除各種隨機(jī)性和主觀性，易造成評(píng)價(jià)結(jié)果失真和偏差。為了適應(yīng)大系統(tǒng)往往由多個(gè)決策者共同決策的情況，吸取眾多決策者的意見(jiàn)，近年來(lái)，有研究者給出一些用區(qū)間數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)的方法。文獻(xiàn)［1－2］根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的原理，給出了一種區(qū)間數(shù)的排序方法，引入了可信度的概念，并就區(qū)間數(shù)模糊綜合評(píng)價(jià)進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模。文獻(xiàn)［3］引入一種反映決策者心態(tài)的指標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上建立了基于區(qū)間值模糊集的綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)［4］提出一種以增強(qiáng)模型穩(wěn)定性為目的的區(qū)間數(shù)綜合評(píng)價(jià)模型的改進(jìn)與應(yīng)用方法。文獻(xiàn)［5］通過(guò)建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，客觀地確定了區(qū)間值評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，定義了區(qū)間數(shù)排序的評(píng)價(jià)值。

現(xiàn)有的區(qū)間值評(píng)價(jià)方法的研究成果一般是針對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象的評(píng)價(jià)體系僅有一級(jí)指標(biāo)的情況，而現(xiàn)實(shí)情況卻經(jīng)常很復(fù)雜，我們經(jīng)常要面對(duì)評(píng)價(jià)體系中有二級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)甚至三級(jí)乃至更多層次的評(píng)價(jià)指標(biāo)的情況。另外，由于各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)于評(píng)價(jià)結(jié)果的影響程度有所不同，僅僅取區(qū)間值的加權(quán)平均作為某評(píng)價(jià)對(duì)象在某評(píng)價(jià)指標(biāo)上的得分無(wú)疑會(huì)丟失許多有用的信息。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文給出了一種在有多級(jí)指標(biāo)的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中的區(qū)間值模糊評(píng)價(jià)方法，并將該方法應(yīng)用在大學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)模型中。

2 區(qū)間值的運(yùn)算與排序

2.1 區(qū)間值的運(yùn)算

本節(jié)中，I表示單位閉區(qū)間，即I＝［0，1］，且記［I］＝｛a＝［a－，a＋］｜a－≤a＋，a－，a＋∈I｝。

定義1 設(shè)a＝［a－，a＋］，b＝［b－，b＋］，a，b∈［I］，那么［a－，a＋］＋［b－，b＋］＝［a－＋b－，a＋＋b＋］；［a－，a＋］－［b－，b＋］＝［max（a－－b＋，0），max（a＋－b－，0）］；［a－，a＋］× ［b－，b＋］＝ ［a－×b－，a＋×b＋］，λ·［a－，a＋］＝［λa－，λa＋］，λ∈［0，1］；［a－，a＋］÷ ［b－，b＋］＝ ［a－，a＋］ ×

2.2 區(qū)間值的排序

定義2 對(duì)［a－，a＋］，［b－，b＋］∈［I］，則

（1）若a－＝b－，a＋＝b＋，則［a－，a＋］＝［b－，b＋］；

（2）若a－≤b－，a＋≤b＋，則［a－，a＋］≤［b－，b＋］；

（3）若b－≥a＋，則稱［a－，a＋］小于［b－，b＋］，記為［a－，a＋］＜［b－，b＋］或［b－，b＋］＞［a－，a＋］；

（4）若b－≤a＋，且（b－＋b＋）／2＞（a－＋a＋）／2，則稱［b－，b＋］擬大于［a－，a＋］，記作［b－，b＋］?［a－，a＋］；

（5）若a－≠b－且（b－＋b＋）／2＝（a－＋a＋）／2則稱［b－，b＋］擬等于［a－，a＋］，記作［b－，b＋］≈［a－，a＋］。

定義3 設(shè)［a－1，a＋1］，［a－2，a＋2］，…，［a－n，a＋n］∈［R，則稱是相互關(guān)聯(lián)的區(qū)間值。對(duì)于相互關(guān)聯(lián)的區(qū)間值，可以根據(jù)擬大于及擬等于關(guān)系把它們排列起來(lái)。

定義4 設(shè)［a－1，a＋1］，［a－2，a＋2］，…，［a－n，a＋n］∈［R，R］，若存在某個(gè)j∈｛1，2，…，n｝，使得

［a－j，a＋j］＜［a－i，a＋i］（［a－j，a＋j］＞［a－i，a＋i］），i＝1，2，…，j－1，j＋1，…，n，則稱［a－j，a＋j］是中最?。ɑ蜃畲螅┑膮^(qū)間值，當(dāng)［a－1，a＋1］，［a－2，a＋2］，…，［a－n，a＋n］是相互關(guān)聯(lián)時(shí)，若（a－j＋a＋j）／2＜（a－i＋a＋i）／2（（a－j＋a＋j）／2＞（a－i＋a＋i）／2）（i＝1，2，…，j－1，j＋1，…，n），則稱［a－j，a＋j］是［a－1，a＋1］，［a－2，a＋2］，…，［a－n，a＋n］中擬最?。ɑ驍M最大）的區(qū)間值［6］。

3 區(qū)間值模糊綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型

設(shè)U＝｛u1，u2，…，un｝為一級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)集，其中ui為一級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)，比如學(xué)生綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)中的“德”，“智”，“體”等評(píng)價(jià)指標(biāo)。由于各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)于綜合測(cè)評(píng)結(jié)果的影響程度不同，比如評(píng)價(jià)指標(biāo)“智”在學(xué)生綜合測(cè)評(píng)中所占的分?jǐn)?shù)比重就比“德”要大，因此我們需要考慮在綜合測(cè)評(píng)的過(guò)程中給各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)賦予權(quán)值，用來(lái)表示評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)于評(píng)價(jià)結(jié)果的相對(duì)重要性程度。設(shè) W ＝ ｛w1，w2，…，為一級(jí)權(quán)重，用來(lái)表示各個(gè)一級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)于評(píng)價(jià)結(jié)果的相對(duì)重要性程度。Ui＝｛ui1，ui2，…，uim｝（i＝1，2，…，n）為第i個(gè)一級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的二級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)集，比如學(xué)生綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)中的一級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)“德”可以有“上進(jìn)心強(qiáng)”，“熱愛(ài)勞動(dòng)”，“遵守校規(guī)校紀(jì)”，“樂(lè)于助人”四個(gè)二級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)為與二級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)集合Ui相對(duì)應(yīng)的二級(jí)權(quán)重集合，用來(lái)表示集合Ui中各個(gè)二級(jí)指標(biāo)對(duì)于相應(yīng)的一級(jí)指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果的相對(duì)重要性程度。V ＝ ｛v1，v2，…，vm｝為評(píng)價(jià)等級(jí)集，可以把評(píng)價(jià)成績(jī)分為五個(gè)等級(jí)區(qū)間，分別為優(yōu)［94，100］，良［86－93］，中［76－85］，及格［61－75］，差［0－60］，這里評(píng)價(jià)等級(jí)vi是區(qū)間［0，100］上的模糊集，隸屬函數(shù)分別為［3］：

假設(shè)A 是被評(píng)價(jià)對(duì)象，P＝｛p1，p2，…，pl｝是由l位專家組成的評(píng)價(jià)人員集合。先對(duì)被評(píng)價(jià)對(duì)象A的二級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，假設(shè)l位評(píng)價(jià)人員對(duì)二級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)uik（k＝1，2，…，m）屬于vj等級(jí)的評(píng)分分別是并且設(shè)則評(píng)價(jià)指標(biāo)uik屬于vj等級(jí)的程度為∈［0，1］（k＝1，2，…，m）。于是可得一級(jí)指標(biāo)ui所對(duì)應(yīng)的各個(gè)二級(jí)指標(biāo)得分分別為矩陣根據(jù)所給二級(jí)權(quán)重，利用矩陣乘法可得：

這里Ai為評(píng)價(jià)對(duì)象A在一級(jí)指標(biāo)ui上的區(qū)間值得分。則評(píng)價(jià)對(duì)象A的各個(gè)一級(jí)指標(biāo)的得分構(gòu)成矩陣再根據(jù)所給一級(jí)權(quán)重，利用矩陣乘法可得評(píng)價(jià)對(duì)象A的區(qū)間值評(píng)價(jià)向量：~A＝W·ˉA＝最后再利用區(qū)間值排序，對(duì)向量中的各個(gè)元素根據(jù)區(qū)間值排序方法進(jìn)行排序得到最大的區(qū)間值，從而根據(jù)該區(qū)間值所屬的評(píng)價(jià)等級(jí)得到評(píng)價(jià)對(duì)象A的評(píng)價(jià)等級(jí)。

4 大學(xué)生綜合素質(zhì)的區(qū)間值模糊綜合評(píng)價(jià)

以某師范大學(xué)為例，根據(jù)師范大學(xué)學(xué)生的特點(diǎn)，現(xiàn)按照層次化的方法為待測(cè)對(duì)象A建立評(píng)測(cè)指標(biāo)體系，首先將頂級(jí)指標(biāo)定義為總體，然后將總體細(xì)分為德，智，體，能四個(gè)一級(jí)指標(biāo)。再將一級(jí)指標(biāo)分為多個(gè)二級(jí)指標(biāo)。

如果要對(duì)五位學(xué)生A，B，C，D，E進(jìn)行綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)，按照第3節(jié)所給出的區(qū)間值模糊評(píng)價(jià)方法先對(duì)學(xué)生A進(jìn)行綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)。若由10名評(píng)價(jià)人員組成的評(píng)測(cè)小組對(duì)學(xué)生A就其二級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)u11所給的分?jǐn)?shù)分別85，87，90，88，83，86，93，94，96，88。即得分區(qū)間為［83，96］，代入上述評(píng)價(jià)函數(shù)vj（t），得u11分別屬于“優(yōu)”、“良”、“中”、“及格”，“差”五個(gè)等級(jí)的判別區(qū)間值向量為 R11＝（0，［0，0.2］，［0.4，1］，［0.57，0.71］，［0，1］）T。同樣的，若u12的得分區(qū)間為［75，83］，那么R12＝（0，［0.2，1］，1，［0，0.71］，0）T。根據(jù)表2和表3可以分別看出評(píng)價(jià)對(duì)象：學(xué)生A 的各個(gè) 二級(jí)評(píng) 價(jià)指標(biāo)u11、u12、u13、u14、u21、u22、u23、u31、u32、u33、u41、u42的得分區(qū)間以及相應(yīng)的判別區(qū)間值向量利用公式Ai＝wi·Ri得根據(jù)2.2節(jié)區(qū)間值排序可知區(qū)間值［0.8586，1］最大，由此可知學(xué)生A的最后評(píng)價(jià)等級(jí)為中等。同樣的方法，還可以得到其余的學(xué)生B，C，D，E的評(píng)價(jià)等級(jí)，再根據(jù)區(qū)間值的排序可以得到這五個(gè)學(xué)生的綜合測(cè)評(píng)的名次。

5 結(jié)論

文章給出一種針對(duì)較復(fù)雜多級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系的區(qū)間值模糊綜合評(píng)價(jià)方法并將該方法應(yīng)用在大學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)模型中。實(shí)例表明所給出的區(qū)間值評(píng)價(jià)方法可使評(píng)價(jià)結(jié)果更加高效并且接近實(shí)際。

［1］郭志林，薛明志.Fuzzy區(qū)間數(shù)的一種排序方法及綜合評(píng)判模型［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2005，35（7）：244－247.

［2］郭志林，郭東林.高?？蒲锌?jī)效的區(qū)間數(shù)綜合評(píng)判方法［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，29（1）：75－79.

［3］張興芳，管瑞恩，孟廣武.區(qū)間值模糊綜合和評(píng)判及其應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2002，12：81－84＋116.

［4］張方偉，姚炳學(xué).區(qū)間數(shù)綜合評(píng)判模型的改進(jìn)與應(yīng)用 ［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2006，28（8）：1185－1187.

［5］董九英.高校教師教學(xué)質(zhì)量評(píng)估的區(qū)間數(shù)方法［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（17）：246－248.

［6］王洪英.基于區(qū)間值模糊集的模糊綜合評(píng)判［D］.濟(jì)南：山東大學(xué)，2005.

［7］金秋，李承虎，孟廣武.教育實(shí)習(xí)的區(qū)間值模糊綜合評(píng)判［J］.煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，20（3）：172－175.