韓孝明

(呂梁學院汾陽師范分校 山西呂梁 032200)

長期以來，質(zhì)數(shù)問題在數(shù)學研究領域尤其是數(shù)論研究里占著及其重要的地位.許多數(shù)學家為尋找質(zhì)數(shù)的規(guī)律孜孜不倦，但效果不怎么明顯.那么什么樣的數(shù)是質(zhì)數(shù)？怎么樣從自然數(shù)中把質(zhì)數(shù)篩選出來？質(zhì)數(shù)有那些性質(zhì)？有沒有最大的質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)有哪些用途等等問題一直是質(zhì)數(shù)研究的幾個重要內(nèi)容.本文重點介紹質(zhì)數(shù)的定義，一些簡單性質(zhì)以及尋找質(zhì)數(shù)的一些簡單辦法.

1 質(zhì)數(shù)的定義

大于1的整數(shù)p，如果除了1和p外，沒有其他的正約數(shù)，則稱p為質(zhì)數(shù)，也叫素數(shù)或不可約數(shù).如果大于1的整數(shù)a不是質(zhì)數(shù)，則稱a為合數(shù)，也叫復合數(shù).

在質(zhì)數(shù)定義里應該注意兩個問題：首先，質(zhì)數(shù)、合數(shù)研究的領域是大于1的整數(shù)，所以1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù).其次，在質(zhì)數(shù)范疇里2是唯一的一個偶質(zhì)數(shù)，其余質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).

2質(zhì)數(shù)的性質(zhì)

定理1：設a為大于1的正整數(shù)，若p是a的大于1的最小正約數(shù)則p必為質(zhì)數(shù).

證明：(反證法)假設p不是質(zhì)數(shù).因為p>1，所以p為合數(shù)，那么p必然有1，p以外的正約數(shù)q，使得q∣p.

因為p∣a，所以q∣a，于是q是a的1，a以外且小于p的正約數(shù)，這與已知矛盾，故p必為質(zhì)數(shù).

定理4：質(zhì)數(shù)的個數(shù)無限.

證明：(反證法)假設質(zhì)數(shù)的個數(shù)是有限的，共有n個，它們分別為p1，p2，…，pn.

令a=p1p2…pn+1

如果a是質(zhì)數(shù)，由于a≠ pi(i=1,2,…n),因此質(zhì)數(shù)的個數(shù)最少有n+1個，這與假設質(zhì)數(shù)的個數(shù)有n個矛盾，所以a不是質(zhì)數(shù).

由于a不是質(zhì)數(shù)，那么它是合數(shù)，則a必有一個質(zhì)約數(shù)b，因為1不能被pi(i=1,2,…n)整除，所以 (i=1,2,…n)不能整除a.而質(zhì)約數(shù)b能整除a,所以b不可能等于pi(i=1,2,…n).這就是說，在p1，p2，…，pn之外還有一個質(zhì)數(shù)b，這也與質(zhì)數(shù)的個數(shù)公有n個矛盾.因此，質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無限的.

3質(zhì)數(shù)的篩選

3.1 Eratosthenes篩選法

通過此法篩選出來的100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，47，59，61，67，71，73，79，83，89，97.

除此之外,定理3及Eratosthenes篩選法可判斷某個數(shù)是否是質(zhì)數(shù).

例如：判斷359是否是質(zhì)數(shù).

3.2 Sundaram篩選法

1934年一年輕學生Sundaram也發(fā)現(xiàn)了一種篩選質(zhì)數(shù)的方法，具體方法如下：

先按照下面的淡淡道構造一個數(shù)陣：

第1行為首項是4公差為3的等差數(shù)列：4，7，10，13，16，19…

第2行為首項是7公差為5的等差數(shù)列：7，12，17，22，27，32…

……

第k行為首項是4+3(k-1)公差為2k+1的等差數(shù)列的等差數(shù)列.

這樣一來，便得到一個關于主對角線對稱的數(shù)陣：

Sundaram發(fā)現(xiàn)：若自然數(shù)n出現(xiàn)在上面數(shù)陣中，則2n+1 不是質(zhì)數(shù)，若自然數(shù)不出現(xiàn)在上面數(shù)陣中，則2n+1肯定是質(zhì)數(shù).

證明：從數(shù)陣的構造淡淡道中，很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)陣中數(shù)的通項為：

akj=3k+1+(j-1)(2k+1) (這里k為行數(shù)，j為列數(shù))

若自然數(shù)n出現(xiàn)在數(shù)的第i行與第j列交叉處，則有：

n=aij=3i+1+(j-1)(2i+1) ，

此時， 2n+1=2[3i+1+(j-1)(2i+1)]+1=(2i+1)(2j+1)，

2i+1與2j+1均為2n+1的大于1而小于2n+1的約數(shù)，此時2n+1為合數(shù).

若n不在數(shù)陣中出現(xiàn)且2n+1為合數(shù)，則有2n+1=ab，這里a,b均為大于1的奇數(shù)，

不妨令a=2p+1，b=2q+1，則：

2n+1=(2p+1)(2q+1)=2[p(2q+1)+q]+1.

顯然，p(2q+1)+q為數(shù)陣中的數(shù)，與前面假設矛盾，故2n+1為質(zhì)數(shù).

Sundaram的篩選法從本質(zhì)上是篩掉了質(zhì)數(shù)，而Eratosthenes篩選法恰恰是保留了質(zhì)數(shù).此外，Eratosthenes篩選法不會有遺漏，它能保證每個質(zhì)數(shù)都被篩出，而Sundaram的篩選法卻無法保證這一點，比如唯一的一個偶質(zhì)數(shù)2就篩選不出來.

4質(zhì)數(shù)的科學

關于質(zhì)數(shù)這里有個故事，1742年6月7日，哥德巴赫給歐拉的信中提到這樣一個問題：任何一個大偶數(shù)(n≥4)都可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)的和的形式.并且猜想此定理成立.這就是著名哥德巴赫猜想(即1+1).關于此定理的證明歷來有不少數(shù)學家曾嘗試去證，但效果不明顯.目前關于此定理證明的最高成就屬我國的數(shù)學家陳景潤，他證明了任何一個大偶數(shù)都可以表示成一個奇質(zhì)數(shù)與兩個奇質(zhì)數(shù)的乘積的和的形式(即1+2).關于此猜想的證明經(jīng)歷如下[1]：

1920年，挪威的布朗(Brun)證明了 “9+9 ”.

1924年，德國的拉特馬赫(Rademacher)證明了“7+7 ”.

1932年，英國的埃斯特曼(Estermann)證明了 “6+6 ”.

1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后證明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”.

1938年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了“5+5 ”.

1940年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了 “4+4 ”.

1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)證明了“1+c ”，其中c是一很大的自然數(shù).

1956年，中國的王元證明了 “3+4 ”.

1957年，中國的王元先后證明了 “3+3 ”和 “2+3 ”.

1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩(BapoaH)證明了 “1+5 ”， 中國的王元證明了“1+4 ”.

1965年，蘇聯(lián)的布赫·夕太勃(Byxwrao)和小維諾格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)證明了“1+3 ”.

1966年，中國的陳景潤證明了 “1+2 ”.

關于質(zhì)數(shù)的規(guī)律的探索其路漫漫，希望有興趣的學者共同探討.

參考文獻：

[1]哥德巴赫猜想_互動百科[EB/OL]. http://www.baike.com/wiki/%e5%93%a5%e5%be%b7%e5% b7%b4%e8%b5%ab%e7%8c%9c%e6%83%b3.