“前概念”指學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的概念在先前的生活與學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)形成的認(rèn)識(shí)與觀念。了解學(xué)生的“前概念”，是引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)。如何才能準(zhǔn)確地了解學(xué)生的“前概念”，如何依據(jù)“前概念”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)？下面以我們近期組織的“面積”的前概念調(diào)查研究與教學(xué)實(shí)踐為例，闡述我們的做法。

一、“面積”前概念的調(diào)查

一般來(lái)說(shuō)，教師對(duì)于學(xué)生“前概念”的把握，主要依據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)或教育心理學(xué)理論，即主要來(lái)自于主觀的推測(cè)。而這樣的推測(cè)往往是單薄的、片面的，甚至錯(cuò)誤的。所以，哪怕是有豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師，也要在對(duì)學(xué)生的“前概念”做出主觀推測(cè)的基礎(chǔ)上，組織有效的、有針對(duì)性的調(diào)查。

1.前概念推測(cè)

“面積”與“周長(zhǎng)”是封閉圖形兩個(gè)重要的量度。就學(xué)校數(shù)學(xué)而言，“周長(zhǎng)”的概念先于“面積”概念進(jìn)行學(xué)習(xí)，而就學(xué)生的直觀感知而言，“面積”更容易被學(xué)生感知，但在具體表述時(shí)，“面積”往往用“大小”這個(gè)詞來(lái)表述，但學(xué)生會(huì)怎樣解釋“面積”呢？

2.調(diào)查題設(shè)計(jì)與意圖

為證實(shí)推測(cè)，解答疑惑，我們?cè)O(shè)計(jì)了三個(gè)有層次的調(diào)查題。

調(diào)查題1：從語(yǔ)言的角度，調(diào)查學(xué)生會(huì)用怎樣的詞匯描述物體面的大小。

黑板面比電視機(jī)屏幕面（ ）。這句話中是用黑板面的（ ）和電視機(jī)屏幕面的（ ）在比較。

調(diào)查題2：對(duì)圖形的觀察，調(diào)查學(xué)生對(duì)圖形大小的理解。

在圖1中，哪些圖形可以看出它的大小，哪些圖形沒(méi)有大??？在你認(rèn)為有大小的圖形的序號(hào)上打“√”。

調(diào)查題3：從內(nèi)涵的角度，調(diào)查學(xué)生對(duì)“面積”一詞的理解。

你聽說(shuō)過(guò)“面積”嗎？如果聽說(shuō)過(guò)，面積是什么意思？

3.調(diào)查的對(duì)象與組織

我們認(rèn)為，“面積”前概念的形成與學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程、生活環(huán)境有一定的相關(guān)性。因此，我們聯(lián)系了位于城區(qū)、城鄉(xiāng)結(jié)合部和邊遠(yuǎn)農(nóng)村各一所學(xué)校，并選擇各所學(xué)校的一個(gè)班的學(xué)生作為調(diào)查對(duì)象。

為了后面的調(diào)查題不對(duì)前面的調(diào)查產(chǎn)生前攝影響，在組織調(diào)查時(shí)，我們分成三次先后下發(fā)調(diào)查題，各用兩分鐘時(shí)間完成。

二、“面積”前概念分析

調(diào)查題的主觀性與開放性，使得學(xué)生的回答可能五花八門。為了便于統(tǒng)計(jì)，教師要從回答的差異性中找到相似性，進(jìn)行合理的分類，然后再對(duì)每一類進(jìn)行細(xì)致分析，從相似性中辨析學(xué)生回答的差異性。在“前概念”分析時(shí)，對(duì)有疑問(wèn)的調(diào)查結(jié)果，還可以進(jìn)行個(gè)別訪談。

1.調(diào)查題1的統(tǒng)計(jì)與分析

通過(guò)調(diào)查，基本證實(shí)了我們的想法：大部分學(xué)生能夠結(jié)合具體情境用“大小”來(lái)描述“面積”。

（1）調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)（見表1）

從調(diào)查的三個(gè)班的總體情況看，72.5%的學(xué)生能夠正確描述“面積”，知道比較物體的長(zhǎng)度與兩個(gè)圖形或平面面積的大?。?.33%的學(xué)生不是很清楚，但感覺(jué)到了面積與長(zhǎng)和寬是有關(guān)系的；19.17%的學(xué)生不回答或其他。

（2）調(diào)查結(jié)果分析

從總體情況看，學(xué)生在學(xué)習(xí)“面積”概念前并非一片空白，尤其是生活在城區(qū)或鎮(zhèn)上的孩子，他們?cè)缫褟募议L(zhǎng)們關(guān)于“買房”“賣房”“裝修”等談?wù)撝?，耳濡目染了“面積”“大小”等詞匯。能夠?qū)ⅰ懊娣e”正確描述的學(xué)生分為三種情況：

黑板面比電視機(jī)屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（面積）和電視機(jī)屏幕面的（面積）在比較。

黑板面比電視機(jī)屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（大小）和電視機(jī)屏幕面的（大?。┰诒容^。

黑板面比電視機(jī)屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（大）和電視機(jī)屏幕面的（?。┰诒容^。

在上述三類回答中，其中第一類有18人，占15%，且主要集中在城區(qū)與城鎮(zhèn)，訪談這些學(xué)生后知道，他們或是說(shuō)看書知道，或是在數(shù)學(xué)課外書中學(xué)到的；第三類有5人，占4.1%，顯然這樣的表達(dá)，從面積的定義來(lái)看，不能算是“正確的”，但通過(guò)對(duì)5位同學(xué)的訪談后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生也是從“大小”的角度來(lái)表述的。

我們通過(guò)統(tǒng)計(jì)與個(gè)別訪談發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生是通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)“面積”有了初步的感知，并且能夠結(jié)合具體的情境，明白面積就是指（面）的大小。

另外，認(rèn)為“面積”是“長(zhǎng)和寬”在比較的學(xué)生的結(jié)果如下：

黑板面比電視機(jī)屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（長(zhǎng)和寬）和電視機(jī)屏幕面的（長(zhǎng)和寬）在比較。

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，這樣的填法所占的比重，城區(qū)學(xué)生要明顯高于城鎮(zhèn)與偏遠(yuǎn)農(nóng)村學(xué)生。而且通過(guò)了解，我們發(fā)現(xiàn)這樣填寫的學(xué)生并非都是后進(jìn)生，而是各個(gè)層次的學(xué)生都有。

經(jīng)過(guò)個(gè)別訪談了解到，這樣填寫的學(xué)生首先是受制于例子的特殊性。例子中兩個(gè)物體的面都是長(zhǎng)方形，而且黑板面的長(zhǎng)與寬均大于電視機(jī)屏幕面的長(zhǎng)與寬，因此學(xué)生直觀地認(rèn)為是“長(zhǎng)和寬”在比較。因此，就本題而言，這種說(shuō)法不能算錯(cuò)誤，而且學(xué)生已經(jīng)能從兩維的角度來(lái)確定面的大小。

2.調(diào)查題2的統(tǒng)計(jì)與分析

“面積”與“周長(zhǎng)”一樣，是封閉圖形的量度。在具體情境下，學(xué)生是否可以分辨哪些圖形有“面積”，哪些圖形沒(méi)有呢？通過(guò)調(diào)查2的統(tǒng)計(jì)與分析，可以回答這個(gè)問(wèn)題。

（1）調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)

三個(gè)年級(jí)中只有來(lái)自于偏遠(yuǎn)農(nóng)村小學(xué)的兩名學(xué)生認(rèn)為6個(gè)圖形都有大小，其余學(xué)生都可以作出正確回答。在對(duì)偏遠(yuǎn)小學(xué)四位學(xué)生訪談時(shí)，同時(shí)請(qǐng)兩位認(rèn)為6個(gè)圖形都有大小的學(xué)生旁聽，等學(xué)生作出回答后，這兩位學(xué)生也很快發(fā)現(xiàn)了自己存在的問(wèn)題。

（2）調(diào)查結(jié)果分析

人教版三上年級(jí)數(shù)學(xué)在教學(xué)“周長(zhǎng)”時(shí)，學(xué)生對(duì)封閉圖形已經(jīng)有所認(rèn)識(shí)。因此，當(dāng)要求判別哪些圖形有“大小”時(shí)，極大多學(xué)生能夠正確回答。

教師抽查了三類學(xué)校各四位學(xué)生進(jìn)行個(gè)別訪談，詢問(wèn)圖形③⑥沒(méi)有大小的原因，學(xué)生均能從“不是封閉圖形”來(lái)說(shuō)明。

3.調(diào)查題3的統(tǒng)計(jì)與分析

概念一般由概念名稱、概念示例、概念特征與概念定義這四個(gè)部分組成，從調(diào)查題1與2可以了解到學(xué)生對(duì)“面積”的前三個(gè)部分的前概念。那么學(xué)生又是如何概括“面積”，如何給面積下定義的，這可以從調(diào)查題3中找到答案。

（1）調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)（見表2）

（2）調(diào)查結(jié)果分析

這里的“正確描述”并不是指按書本中的規(guī)范表述，而是學(xué)生能用“大小”來(lái)表述“面積”即可以作為正確描述，例如，

答：聽說(shuō)過(guò)，面積的意思是眼睛看過(guò)去的大小。

答：我聽說(shuō)過(guò)“面積”，面積就是封閉圖形的大小。

這樣的學(xué)生占總數(shù)的半數(shù)以上，但沒(méi)有學(xué)生能如課本中那樣下定義。這說(shuō)明，在教學(xué)時(shí)，教師需要有序列舉與引導(dǎo)學(xué)生逐步概括定義。

還有一部分學(xué)生把“面積”與“面”相混淆，例如，

答：我聽說(shuō)過(guò)，面積是一個(gè)圖形的表面。

其他的錯(cuò)誤回答還有與“周長(zhǎng)”相混淆，例如，

答：聽說(shuō)過(guò)，是一個(gè)封閉圖形的周長(zhǎng)。

“面積”與“周長(zhǎng)”作為同時(shí)存在于封閉圖形中的兩個(gè)量度，不管在概念形成時(shí)，還是在應(yīng)用階段，學(xué)生均容易混淆。因此，在教學(xué)“面積”時(shí)，就要盡早地將其與“周長(zhǎng)”進(jìn)行比較，讓學(xué)生更早地區(qū)分兩者的區(qū)別。

三、“面積”的教學(xué)實(shí)踐

調(diào)查與分析為我們提供了鮮活的、真實(shí)的、細(xì)致的“前概念”。透析學(xué)生的“前概念”，可以改進(jìn)原有的教學(xué)設(shè)計(jì)，進(jìn)行更加順應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)心理的教學(xué)。根據(jù)“面積”的前概念調(diào)查，我們得知，學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)中已經(jīng)有了“大小”的觀念，并能正確地區(qū)分哪些圖形有大小，但在具體解釋“面積”時(shí)還不夠完整，且容易與“表面”“周長(zhǎng)”這些概念相淆，因此，我們可以采用比較的策略，組織“面積”的教學(xué)。

1.在與“長(zhǎng)度”的比較中引出“面積”

（1）復(fù)習(xí)“長(zhǎng)度”概念

教師通過(guò)投影出示兩支長(zhǎng)短不同的紅筆與藍(lán)筆，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“長(zhǎng)度”的概念。

教師先后出示下面兩個(gè)句子，請(qǐng)學(xué)生回答。

紅筆比綠筆（ ）。

這句話中是用紅筆的（ ）與綠筆的（ ）在比較。

生：紅筆比綠筆長(zhǎng)。

生：紅筆的長(zhǎng)度與綠筆的長(zhǎng)度在比較。

教師板書“長(zhǎng)度”。

（2）引出“面積”概念

教師通過(guò)投影出示黑板面與電視機(jī)屏幕，引導(dǎo)學(xué)生先后回答下面問(wèn)題。

黑板面比電視機(jī)屏幕面（ ）。

這句話中是用黑板面的（ ）和電視機(jī)屏幕面的（ ）在比較。

生：黑板面比電視機(jī)屏幕面小。

生：黑板面的大小和電視機(jī)屏幕面的大小在比較。

師：黑板面的大小和電視機(jī)屏幕面的大小，這個(gè)大小叫做它們的“面積”。

教師板書“面積”。

師：像黑板、電視機(jī)屏幕還有桌子等，這些我們都稱它為物體。（板書：物體）我們看到一個(gè)物體時(shí)，就可以看到這個(gè)物體的表面，而物體表面的大小，就可以用兩個(gè)字來(lái)概括，叫做……

生齊答：面積！

長(zhǎng)度與面積是人們刻畫圖形的兩個(gè)重要的既有聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別的幾何量度。長(zhǎng)度是從一維的角度來(lái)刻畫圖形的量度，面積是從二維的角度來(lái)刻畫圖形的量度。在前概念調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，三年級(jí)的學(xué)生對(duì)于面積已經(jīng)有了一定的了解，并且，在日常生活中經(jīng)常用“大小”來(lái)表述。上面的設(shè)計(jì)，通過(guò)對(duì)兩組實(shí)物的比較，喚起學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，直觀感受到面積與長(zhǎng)度的區(qū)別，激發(fā)學(xué)生對(duì)“面積”進(jìn)一步研究的意向。

2.在與周長(zhǎng)及平面圖形的辨析中理解面積

（1）比較物體表面的周長(zhǎng)與面積

教師利用課件出示數(shù)學(xué)書，并用紅色線段動(dòng)畫演示數(shù)學(xué)書本一周，問(wèn)：這一周的長(zhǎng)度是數(shù)學(xué)書本的什么？

生：周長(zhǎng)。

根據(jù)學(xué)生的回答教師出示：封面一周的長(zhǎng)度是封面的周長(zhǎng)。

接著中把整個(gè)封面覆蓋上一層紅色，并設(shè)問(wèn)：這是封面的什么？

生：面積。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出數(shù)學(xué)書，指一指封面的周長(zhǎng)，再摸一摸封面的面積。

學(xué)生操作后，教師拿出一本數(shù)學(xué)書。

師：同樣是這本數(shù)學(xué)書的封面，既有我們以前學(xué)過(guò)的周長(zhǎng)的知識(shí)，又有今天學(xué)的面積的知識(shí)，而且還發(fā)現(xiàn)了周長(zhǎng)與面積的不同。數(shù)學(xué)就是這么學(xué)的，今天學(xué)一點(diǎn)，明天學(xué)一點(diǎn)，然后我們把它們綜合起來(lái)比一比，就發(fā)現(xiàn)了更多的知識(shí)，也就可以解決更多的問(wèn)題。

（2）理解圖形的面積

出示圖1，并提問(wèn)：哪些圖形有面積？

生：圖形①②④⑤有面積。

師追問(wèn)：你認(rèn)為怎樣的圖形有面積？

生：封閉圖形有面積。

教師總結(jié)并板書：封閉圖形面的大小叫做它們的面積。

（3）概括面積的定義

師：現(xiàn)在你能概括一下什么叫做面積嗎？

生：封閉圖形的大小和封閉圖形面的大小叫做它們的面積。

教師總結(jié)并修改板書：物體表面或封閉圖形的大小叫做它們的面積。

“面積”與“周長(zhǎng)”雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但也有密切聯(lián)系。因?yàn)椋谟^察一個(gè)封閉圖形時(shí)，看到圖形邊的長(zhǎng)短時(shí)，同時(shí)也看到圖形面的大小。在我們的教材中，為了學(xué)習(xí)的需要，總是人為地把“周長(zhǎng)”與“面積”分成兩個(gè)學(xué)習(xí)階段，第一階段學(xué)習(xí)周長(zhǎng)，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了米、厘米等長(zhǎng)度單位的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)；第二階段學(xué)習(xí)面積，主要是通過(guò)比較不同物體或封閉圖形面的大小來(lái)概括面積的概念，進(jìn)而通過(guò)擺一擺、數(shù)一數(shù)等活動(dòng)，引出面積單位，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這兩個(gè)重要的概念產(chǎn)生混淆。究其原因，教師在教學(xué)周長(zhǎng)時(shí)，沒(méi)有從面的大小來(lái)分析周長(zhǎng)，在教學(xué)面積時(shí)，又沒(méi)有及時(shí)與周長(zhǎng)進(jìn)行比較。為克服這一弊端，本文采用了在數(shù)學(xué)書本封面的周長(zhǎng)與面積的比較中初步感知面積概念，讓學(xué)生體會(huì)到面積是從另一個(gè)角度對(duì)封閉圖形的認(rèn)識(shí)。

綜合上面的研究過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)學(xué)生“前概念”的調(diào)查研究，可以真實(shí)地了解學(xué)生的思維起點(diǎn)，真切地把握新概念的生長(zhǎng)支點(diǎn)。這樣的實(shí)踐研究植根于學(xué)生，有利于形成教師的教學(xué)特色。

（作者單位：1.浙江省杭州市蕭山區(qū)教研室 2.浙江省杭州市蕭山區(qū)任伯年小學(xué)）

（責(zé)任編輯：馬贊）