董立華

(德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 德州 253023)

關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的再研究*

董立華

(德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 德州 253023)

指出函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)具有嚴(yán)格的一點(diǎn)對(duì)一點(diǎn)特征, 并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明確實(shí)存在著處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù). 其中函數(shù)的連續(xù)性、近似連續(xù)性、對(duì)稱連續(xù)性均是對(duì)函數(shù)某點(diǎn)性質(zhì)的刻畫, 且容易證明函數(shù)連續(xù)一定對(duì)稱連續(xù),也是近似連續(xù)的, 反之不然.

函數(shù)連續(xù); 對(duì)稱連續(xù); 近似連續(xù)

1 函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)

在數(shù)學(xué)分析中函數(shù)”可導(dǎo)必連續(xù)”的說(shuō)法具有嚴(yán)格的一點(diǎn)對(duì)一點(diǎn)的特征,即函數(shù)在一點(diǎn)的可導(dǎo)性只能推出在該點(diǎn)的連續(xù)性而不能推及于其它點(diǎn).例如,函數(shù)x2·D(x)在x=0點(diǎn)可導(dǎo),同時(shí)僅在這一點(diǎn)連續(xù). 一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)分析所討論的連續(xù)函數(shù)在其絕大部分連續(xù)點(diǎn)上總是可導(dǎo)的，因此在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們一直猜測(cè)：連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，至多除去可列個(gè)點(diǎn)外都是可導(dǎo)的. 也就是說(shuō)，連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)至多是可列集. 但是，隨著級(jí)數(shù)理論的發(fā)展，可以利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù).

令：

顯然hm→0(m→∞).當(dāng)n≥m時(shí),φ(10n(x+hm))=φ(10nx±10n-m)=φ(10nx);當(dāng)nlt;m時(shí),

上等式右端必定是整數(shù),且其奇偶性與m一致,由此可知

不存在. 即該函數(shù)f(x)在R上處處連續(xù)而處處不可導(dǎo).

2 函數(shù)的近似連續(xù)

數(shù)學(xué)分析中閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是黎曼可積的,而且積分也有連續(xù)性. 反之, 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上黎曼可積, 那么f(x)的連續(xù)點(diǎn)在[a,b]中處處稠密, 即f(x)在[a,b]的每個(gè)子區(qū)間(c,d)中至少有一個(gè)連續(xù)點(diǎn). 注意到，如果一個(gè)函數(shù)f(x)在[a,b]上的連續(xù)點(diǎn)不是處處稠密的，那么就可斷言f(x)不是黎曼可積的. 例如函數(shù)：

但對(duì)于一個(gè)勒貝格可積的函數(shù)有下面的有關(guān)概念和結(jié)論.

定義1 設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù),x0∈[a,b].假如存在可測(cè)集E?[a,b],使得x0是E之一全密點(diǎn),即：

例如,函數(shù)f(x)在x=0點(diǎn)不是近似連續(xù)的. 其中

顯然，由定義可知f(x)的連續(xù)點(diǎn)必是近似連續(xù)點(diǎn).

容易證明, 勒貝格可積函數(shù)在它的每一個(gè)勒貝格點(diǎn)是近似連續(xù)的,其逆不真.反例如下: 設(shè)

首先證明x=0是f(x)的右近似連續(xù)點(diǎn).為此,令：

由此可知：

同理可證x=0是函數(shù)f(x)的左近似連續(xù)點(diǎn). 因而x=0是f(x)的近似連續(xù)點(diǎn).

即x=0不是f(x)的勒貝格點(diǎn).

注:容易證明,對(duì)于有界可測(cè)函數(shù)而言, 勒貝格點(diǎn)與近似連續(xù)點(diǎn)相同. 上述反例說(shuō)明了在這個(gè)陳述中, 函數(shù)有界的條件是不可去掉的.

3 函數(shù)的對(duì)稱連續(xù)

注:R上的每個(gè)對(duì)稱連續(xù)函數(shù)必在R的某個(gè)稠密子集上連續(xù). 還可進(jìn)一步證明，對(duì)稱連續(xù)函數(shù)必定是幾乎處處連續(xù)的.

[1]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]汪林.實(shí)分析中的反例[M].北京:高等教育出版社,1989.

ARestudyontheContinuityofFunctions

Dong Li-hua

(College of Mathematical Sciences, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023,China)

The continuity and differentiability of functions possess the strict point to point character. By actual examples, we explain that there exist functions which are continuous but non differentiable everywhere. The continuity, approximate continuity and symmetric continuity describe the property of a point of functions. We also prove that, the continuity imply symmetric and approximate continuity, but not vice versa.

functions continuous; symmetric continuous; approximate continuous

1673-2103(2013)05-0005-03

2013-07-10

山東省“十二·五”教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目(2011JG441)；德州學(xué)院教學(xué)改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目(JGLX-A1108)

董立華(1965-)，女,山東平原人，教授，研究方向：函數(shù)論和教育管理.

O171

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