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        雙層無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的中繼器放置問(wèn)題

        2013-12-02 14:12:30
        關(guān)鍵詞:中繼器傳感基站

        (杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州310018)

        0 引 言

        在無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)中,如果傳感器在傳輸半徑范圍內(nèi)只能將信息傳遞給高能的中繼器,而中繼器與中繼器之間在傳輸半徑范圍內(nèi)可以相互傳遞信息,這樣的網(wǎng)絡(luò)稱為雙層無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)1 首先對(duì)無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)2-覆蓋2-連通進(jìn)行了研究,在R≥2r的條件下,給出了性能比為O(Dlogn)的貪婪算法,其中D為網(wǎng)絡(luò)的直徑,n為傳感器的數(shù)目。文獻(xiàn)2 假設(shè)傳感器集分布在矩形區(qū)域內(nèi),在R≥4r的條件下給出了兩個(gè)單覆蓋單連通的算法性能比分別為8和6,兩個(gè)雙覆蓋雙連通的算法,性能比均為9/,而文獻(xiàn)3則在三維空間中對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了討論。文獻(xiàn)4 在R=r的假設(shè)前提下針對(duì)2-覆蓋2-連通問(wèn)題設(shè)計(jì)了性能比為24+ε和6/T+12+ε的兩種近似算法,其中T為單覆蓋單連通問(wèn)題中放置的中繼器數(shù)目與網(wǎng)絡(luò)中傳感器數(shù)目的比值。本文在雙層無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)中加入基站,且在R≥4r的情況下,針對(duì)k-覆蓋k-連通問(wèn)題設(shè)計(jì)了性能比為9/2的近似算法,并給出性能比分析。

        1 問(wèn)題描述與定義

        在雙層無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)中,中繼器可以在傳輸半徑范圍內(nèi)與基站和其他中繼器相互傳遞信息,基站與基站可以直接傳遞信息。設(shè)傳感器的集合為X,基站的集合為B,Y表示放置的高能中繼器集合,基站的通訊能力是無(wú)窮的。

        這里假設(shè)R≥4r,對(duì)給定的(r,R,B,X,Y),設(shè)中繼器的傳輸半徑為R,傳感器的傳輸半徑為r,給出雙層無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)上的混合通訊圖MTC(r,R,B,X,Y)的構(gòu)造方法,其中頂點(diǎn)集V =BUXUY,邊集E 定義如下:

        (1)對(duì)任意頂點(diǎn)bi,bj∈B,E 包含無(wú)向邊(bi,bj);

        (2)對(duì)任意頂點(diǎn)y∈Y,z∈Y∪B,如果d (y,z)≤R,則E 包含無(wú)向邊(y,z);

        (3)對(duì)任意頂點(diǎn)x∈X,z∈Y∪B,如果d (x,z)≤R,則E 包含無(wú)向邊(x,z)。

        本文研究雙層無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)的k-覆蓋k-連通放置問(wèn)題,即放置最小數(shù)目的中繼器,使得在MTC(r,R,B,X,Y)網(wǎng)絡(luò)中滿足以下兩個(gè)條件:

        (1)每個(gè)傳感器至少被k個(gè)中繼器覆蓋,即每個(gè)傳感器至少與k個(gè)中繼器相連;

        (2)中繼器與基站構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)達(dá)到k-連通。

        2 算法設(shè)計(jì)與分析(ω=2)

        定義1 如果存在兩個(gè)傳感器s和s',使得d(s,p)=d(s',p)=r,則把位置p 稱作放置中繼器的Pposition[2]。

        算法的大體思想是這樣的,根據(jù)文獻(xiàn)5的思想,把傳感器和基站所在的區(qū)域劃分成若干個(gè)2r×ω的區(qū)域,這里所說(shuō)的滿足特定的條件指的是劃分的每個(gè)區(qū)域至少有一個(gè)傳感器,ω為算法分區(qū)因子,且為正整數(shù),以ω=2為例來(lái)設(shè)計(jì)算法,把每個(gè)區(qū)域叫做分子。在介紹算法之前,先介紹一個(gè)概念。

        在尋找所有放置中繼器的P-positions時(shí),不一定所找到的P-positions 都在分子內(nèi),給定一個(gè)分子Ti,P為所有P-positions的集合,對(duì)所有p∈P,如果p 不在Ti內(nèi),用一個(gè)邊界上的點(diǎn)q 代替p,點(diǎn)q是Ti到p的最近的距離上的點(diǎn),這樣的操作稱為收縮操作[2]。通過(guò)收縮操作,可以保證新的P-positions 都在區(qū)域內(nèi),且同樣能覆蓋Ti中對(duì)應(yīng)的傳感器集。

        算法1 k-覆蓋k-連通

        步驟1 把X∪B 劃分成邊長(zhǎng)為4r的正方形分子,對(duì)每個(gè)分子,找到所有可以放置中繼器的P-positions,并將其收縮到區(qū)域內(nèi)。

        步驟2 在每個(gè)分子內(nèi),搜索X 中所有的放置中繼器的P-positions的12k-3個(gè)子集,找最小的至少能覆蓋分子內(nèi)每個(gè)傳感器k次的子集。

        步驟3 對(duì)每個(gè)分子Ti,每個(gè)分子內(nèi)至少包含k個(gè)中繼器,如果Ti內(nèi)的中繼器不連通,則在距離A為4r的J,K 兩處放入兩個(gè)中繼器,在以A為圓心,4r為半徑,J,K為端點(diǎn)的圓弧上依次均勻的放入中繼器,當(dāng)k 較大時(shí),可以在以B為圓心,4r為半徑,K,M為端點(diǎn)的圓弧上依次的放入中繼器,使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到k-連通。

        步驟4 使得距離較近的中繼器達(dá)到k-連通。

        (1)使中繼器集Hi達(dá)到行k-連通,設(shè)Hi+1為Hi的右邊的中繼器集合,如果Hi+1和Hi不連通,則在Ti的J 處加入一個(gè)新的中繼器qi,Hi=Hi∪qi,如果Hi和Hi+1還是不連通,則在Ti+1的J 處(與A點(diǎn)距離為4r)放置一個(gè)新的中繼器qi+1,Hi+1=Hi+1∪qi+1;如果Hi和Hi+1沒(méi)有2 連通,則在Ti的K 處放置一個(gè)新的中繼器qi+2,Hi+1=Hi+1∪qi+2,如果Hi和Hi+1沒(méi)有2 連通,則在Ti+1的K 處放置一個(gè)新的中繼器qi+3,則Hi+1=Hi+1∪qi+3;重復(fù)以上步驟,直至所有的覆蓋分子的中繼器集與基站網(wǎng)絡(luò)都達(dá)到行k-連通;如果中繼器沒(méi)有達(dá)到k-連通,則在以A為圓心,4r為半徑,J,K為端點(diǎn)的圓弧上依次均勻的放入中繼器,以B為圓心,4r為半徑,K,M為端點(diǎn)的圓弧上依次均勻的放入中繼器,直到所有的中繼器都達(dá)到行k-連通。

        (2)使中繼器集Hi與基站網(wǎng)絡(luò)都達(dá)到列k-連通。對(duì)每個(gè)分子Hi,LeftTi={q?Hi|q與覆蓋Ti左面相鄰分子的中繼器連通},RightTi={q ?Hi|q與覆蓋Ti右面相鄰分子的中中繼器連通},如果則有H'i=Hi,否則H'i=Hi-LeftTi∪RightTi。

        如果H'i+y和H'i與不連通,則在Ti的J 處放置一個(gè)新的中繼器qi,Hi=Hi∪qi,接下來(lái)的步驟和為使中繼器達(dá)到行連通類似進(jìn)行。放置的規(guī)則如圖1所示:

        圖1 區(qū)域劃分圖

        首先可以由該算法的步驟2和4,得到算法1的時(shí)間復(fù)雜度為O (kn2)。

        定理1算法1 在ω=2 下給出問(wèn)題k-覆蓋k-連通的一個(gè)解,且算法性能比為9/2。

        證明 首先證明該算法得到的中繼器集是k-覆蓋k-連通的,由步驟1、2可以知道每個(gè)分子內(nèi)的傳感器至少被k個(gè)中繼器覆蓋,下面說(shuō)明中繼器集是k-連通的。

        (1)每個(gè)分子內(nèi)的任意兩個(gè)中繼器是k-連通的。由步驟2,每個(gè)分子內(nèi)至少有k個(gè)中繼器,由步驟3,顯然每個(gè)分子內(nèi)的任意兩個(gè)中繼器都是k-連通的。

        (2)任意兩個(gè)不在同一個(gè)分子內(nèi)的中繼器q,q'。假設(shè)q 在分子Ti中,q'在分子Ti+1中,為方便起見(jiàn),設(shè)點(diǎn)q點(diǎn)在第i行第j列,q'在第i'行第j'列,假設(shè)i <i',j <j',并且假設(shè)Ti中存在同一個(gè)中繼器與Ti右邊及下面的分子內(nèi)的中繼器連通,則Ti中一定存在另外k-1 不相同的中繼器與其左邊的分子內(nèi)的中繼器連通,否則有LeftTi∪RightTi=k-1,于是q可以通過(guò)左右兩面k條不同的路徑達(dá)到q'點(diǎn)。

        算法常數(shù)性能比為9/2的證明。設(shè)Ho為算法1 得到的最優(yōu)解,H'表示步驟1、2 產(chǎn)生的中繼器集合,即H' =∪Hi,設(shè)OPT為該問(wèn)題k-覆蓋的最優(yōu)解,根據(jù)Shifting 定理[5]有假定每個(gè)分子至少有一個(gè)傳感器,則H'至少包含k個(gè)中繼器,根據(jù)算法,每個(gè)分子至多額外加入k個(gè)中繼器,因此有所以

        通過(guò)算法1 性能比的分析,發(fā)現(xiàn)運(yùn)用區(qū)域劃分思想放置中繼器的算法的性能比能達(dá)到一個(gè)很好的界,當(dāng)ω=2時(shí)k-覆蓋k-連通的上界為9/2,隨著k值的增大,性能比處于一個(gè)恒定的值,不發(fā)生變化。對(duì)不同的k值使用該算法,發(fā)現(xiàn)不管k值如何變化,所得到的問(wèn)題的算法的性能比均為常數(shù)9/2。

        3 結(jié)束語(yǔ)

        本文針對(duì)算法分區(qū)因子ω=2 設(shè)計(jì)k-覆蓋k-連通問(wèn)題的算法,證明了算法的性能比為9/2,時(shí)間復(fù)雜度為O (kn2),本文只引用了算法分區(qū)因子等于2時(shí)的情況,是因?yàn)殡S著該值的增大,相應(yīng)的算法的時(shí)間復(fù)雜度也會(huì)提高。本文運(yùn)用區(qū)域劃分的思想,將雙層無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)的中繼器放置問(wèn)題提高到了k-覆蓋k-連通,拓寬了無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題的研究領(lǐng)域。

        [1]Hao B,Tang J,Xue G.Fault-tolerant relay node placement in wireless senor networks:Forrmulation and approximation[C].Michigan State:IEEE Workshop on High Performance Switching and Routing,2004:246-250.

        [2]Tang J,Hao B,Sen A.Relay node placement in large scale wireless networks[J].Computer Communications,2006,29(7):490-501.

        [3]崔素輝.無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)若干中繼器放置問(wèn)題[D].杭州:杭州電子科技大學(xué),2009:30-35.

        [4]Liu H,Wan P,Jia X.On Optimal Placement of Relay Nodes for Reliable Connectivity in Wireless Sensor Networks[J].Journal of Combinatorial Optimization,2006,11(2):249-260.

        [5]Hochbaum D S,Maass W.Approximation schemes for covering and packing problems in image processing and VLSI[J].Journal of the ACM,1985,32(1):130-136.

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